Laurea Triennale in Ingegnearia Medica
a.a. 2024-2025
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.





PRIMA SETTIMANA (25, 26, 27 settembre):


• Sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Spazi vettoriali. Lo spazio Rⁿ: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale.



SECONDA SETTIMANA (2, 3, 4 ottobre):


• Spazi vettoriali e sottospazi. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo sono un sottospazio. Sottospazio generato da un insieme di vettori (span di vettori). Come passare da un'espressione all'altra di un sottospazio dato: da soluzioni di un sistema lineare omogeneo a span di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale.



TERZA SETTIMANA (9, 10, 11 ottobre):


• Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. Dimensione di uno spazio vettoriale. Determinazione di una base dello span di un insieme di vettori. Intersezione e somma di sottospazi di uno spazio vettoriale. Come passare da un'espressione all'altra di un sottospazio dato: da span di vettori a soluzioni di un sistema lineare omogeneo.



QUARTA SETTIMANA (16, 17, 18 ottobre):


• Somma e intersezione di sottospazi di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale V. Sottospazi complementari di un sottospazio U in V.



QUINTA SETTIMANA (23, 24, 25 ottobre):


• Distanze in R², circonferenze. Rette e piani in R³: equazioni cartesiane e parametriche. Intersezioni. Distanze in R³, sfere.



SESTA SETTIMANA (30, 31 ottobre):


• Rette e piani in R³: intersezioni, distanze, sfere e piani tangenti. Matrici, moltiplicazione di matrici. Applicazioni lineari.



SETTIMA SETTIMANA (6, 7, 8 novembre):


• Il rango per righe di una matrice coincide col rango per colonne. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive, applicazione inversa. Calcolo dell'inversa di una matrice invertibile. Data un'applicazione lineare f:V → W, il nucleo e' un sottospazio di V, l'immagine e' un sottospazio W. Un'applicazione lineare f e' iniettiva se e solo se Ker(f)=0. Vale la seguente relazione fra le dimensioni dim ker(f) + dim im(f) = dim V.



OTTAVA SETTIMANA (13, 14, 15 novembre):


• Matrice inversa, determinanti, sviluppo di Laplace rispetto alle colonne, permutazioni. Formula del determinante ∑_{σ ∈ Sn}ε(σ) a_1,σ(1)...a_n,σ(n). Sviluppo di Laplace rispetto alle righe.



NONA SETTIMANA (20, 21, 22 novembre):


• Isomorfismi di spazi vettoriali. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare V → W , rispetto ad una base di V ed una base di W.
  Numeri complessi: somma e prodotto di numeri complessi, coniugio. Forma trigonometrica di un numero complesso e interpretazione geometrica del prodotto. Il Teorema Fondamentale dell'Algebra (enunciato). Il caso dei polinomi a coefficienti reali.



DECIMA SETTIMANA (27, 28, 29 novembre):


• Cambiamento di base, autovalori, autovettori, diagonalizzabilita'.



UNDICESIMA SETTIMANA (4, 5, 6 dicembre):


• Prodotto scalare, trasformazioni di R² e di R³ che preservano le distanze, matrici ortogonali, matrici simmetriche.



DODICESIMA SETTIMANA (11, 12, 13 dicembre):


• Prodotti scalari, procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, matrici simmetriche e ortogonali. Spazi vettoriali su C, prodotto Hermitiano canonico su Cⁿ, matrici Hermitiane e unitarie.



TREDICESIMA SETTIMANA (18, 19, 20 dicembre):


• Matrici simmetriche, ortogonali, hermitiane e unitarie. Il teorema spettrale.



QUATTORDICESIMA SETTIMANA (8,9,10 gennaio 2025):


• Forme quadratiche; diagonalizzazione. Coniche.



QUINDICESIMA SETTIMANA (15, 16,17 gennaio 2025):


• Esercizi.