Laurea Triennale in Ingegnearia Medica
a.a. 2022-2023
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.





PRIMA SETTIMANA (28, 29, 30 settembre 2022):


Sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Lo spazio Rⁿ: somma di vettoro e prodotto di un vettore per un numero reale.




SECONDA SETTIMANA (5, 6, 7 ottobre 2022):


Spazi vettoriali, sottospazi. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo sono un sottospazio. Sottospazi come span di vettori. Come passare da un'espressione all'altra di un sottospazio dato.




TERZA SETTIMANA (12, 13, 14 ottobre 2022):


Vettori linearmente dipendenti e indipendenti in uno spazio vettoriale. Basi, esistenza di una base, dimensione di uno spazio vettoriale. Se W ⊆ V allora dim W ≤ dim V, con uguaglianza se e solo se W = V. Intersezione e somma di sottospazi di uno spazio vettoriale.




QUARTA SETTIMANA (19, 20, 21 ottobre 2022):


Completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base. Complementi di un dato sottospazio e loro dimensione. Coordinate rispetto ad una base. Formule di Grassmann.




QUINTA SETTIMANA (26, 27, 28 ottobre 2022):


Geometria nel piano R²: prodotto scalare, norma, area triangolo, proiezione ortogonale, equazioni parametriche delle rette. Rette tangenti ad una circonferenza, piani e rette in R³. Problemi geometrici in R³.




SESTA SETTIMANA (2, 3, 4 novembre 2022):


Prodotto vettoriale, volume parallelepipedo, vettore normale di un piano. Prodotto di matrici. Mappe lineari. Il prodotto di matrici e' lineare. L'immagine di una applicazione lineare e' un sottospazio vettoriale del codominio.




SETTIMA SETTIMANA (9, 10, 11 novembre 2022):


Il rango per righe e' uguale al rango per colonne. Uno spazio vettoriale V di dimensione n e' isomorfo a Rⁿ. Inversa di una matrice 2 x 2.




OTTAVA SETTIMANA (16, 17, 18 novembre 2022):


Funzioni multilineari antisimmetriche. Determinanti. Teorema di Laplace.




NONA SETTIMANA (23, 24, 25 novembre 2022):


Teorema di Binet (il determinante di un prodotto di matrici e' il prodotto dei rispettivi determinanti). Regola di Cramer. Traccia di una matrice. Matrice rappresentativa. Cambiamento di base.


DECIMA SETTIMANA (30 novembre, 1, 2 dicembre 2022):

Cambiamento di base, campi, numeri complessi. Prodotto scalare, norma e disuguaglianza di Cauchy Schwarz su spazi euclidei generali. Un insieme ortogonale e' indipendente.


UNDICESIMA SETTIMANA (7, 9 dicembre 2022):

Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Teorema di decomposizione ortogonale (ogni elemento puo' essere scritto in modo unico come la somma della sua proiezione su un sottospazio dato e la sua proiezione sull'ortogonale del sottospazio). Autovalori ed autovettori (continua).


DODICESIMA SETTIMANA (13, 14, 15 dicembre 2022):

Autovalori ed autovettori. Un'applicazione lineare T e' rappresentabile con una matrice diagonale se e solo se ci sono n=dim(V) autovettori indipendenti. Ad autovalori distinti corrispondono autovettori indipendenti. Polinomio caratteristico: definizione e proprieta'. Autovalori e zeri del polinomio caratteristico. Molteplicita' geometrica e molteplicita' algebrica di un autovalore. Esempi.


TREDICESIMA SETTIMANA (20, 21, 22 dicembre 2022):

Matrici di cambiamento di base, matrici simili. Condizioni per la diagonalizzabilita' di una matrice/trasformazione lineare. Matrici diagonalizzanti. Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta per rappresentare una trasformazione lineare. Esempi. Trasformazioni simmetriche.