PRIMA SETTIMANA (30 settembre) :
- Campi di numeri. Teorema dell'elemento primitivo. Omomorfismi di anelli F → C.
Gli anelli F ⊂ FR ⊂ FC.
L'omomorfismo di anelli F → FC.
SECONDA SETTIMANA (7, 8 ottobre) :
- Norma, traccia, polinomio caratteristico di un elemento di un campo di numeri. Norma, traccia e polinomio caratteristico di un elemento in termini degli omomorfismi F → C. Discriminante di un'ennupla di elementi di un campo di numeri di grado n. Caratterizzazione di una base di F tramite il discriminante.
- L'omomorfismo di anelli F → FR. L'anello degli interi OF di un campo di numeri F. Caratterizzazioni di OF.
TERZA SETTIMANA (14, 15 ottobre) :
- Un campo di numeri F coincide con il campo delle frazioni dell'anello OF. Esistenza di una Z base di OF. Caratterizzazione di una base di OF tramite il discriminante. Discriminante di un campo. Campi quadratici e i loro anelli degli interi.
- Gli ideali di OF hanno indice finito. Anelli Noetheriani, dimensione di Krull, integralità, domini di Dedekind.
QUARTA SETTIMANA (21, 22 ottobre) :
- In un dominio di Dedekind R, ogni ideale non nullo si decompone in modo unico come prodotto di ideali primi. Il gruppo degli ideali frazionari in un dominio di Dedekind.
- Ogni ideale frazionario non nullo si decompone in modo unico come prodotto di ideali primi, con esponenti interi. Gli ideali frazionari principali sono un sottogruppo del gruppo degli ideali frazionari. Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind R. Il gruppo delle classi è banale se e solo se ogni ideale principale è principale
se e solo se R è PID se e solo se R è UFD. Ideali primi in OF.
QUINTA SETTIMANA (28, 29 ottobre) :
- Esempi: Q(√-5), il piu' piccolo esempio di campo di numeri con gruppo delle classi non banale,
il campo Q(α), con α zero del polinomio X3-X+1.
-
Se un'ennupla di elementi di un campo di numeri ha discriminante non nullo e privo di fattori quadratici, allora è una Z base di OF. La funzione ζ di Riemann e la funzione ζF di Dedekind.
Gruppi abeliani finitamente generati. Introduzione ai reticoli (continua).
SESTA SETTIMANA (4, 5 novembre) :
- Caratterizzazioni equivalenti di un reticolo. Covolume di un reticolo. Sottoreticoli. Relazione fra il covolume di un reticolo e di un suo sottoreticolo. Esempi.
- Il prodotto Hermitiano su FC e il prodotto scalare dato dalla sua restrizione su
FR. Il reticolo OF in FR. Il covolume di
OF. Esempi. Alcuni criteri per calcolare il discriminante di un campo.
SETTIMA SETTIMANA (11, 12 novembre) :
- Enunciato del teorema di Minkowski: Ogni classe del gruppo delle classi Cl(OF) contiene un ideale di norma limitata da una costante assoluta (Minkowski constant) che dipende dal campo. Di conseguenza Cl(OF) e' finito. Esempi di calcolo di Cl(OF), per F=Q(√10),
F=Q(√-47).
- Teorema di Blichfeldt. Convex body theorem di Minkowski. Dimostrazione del teorema di finitezza di Cl(OF) di Minkowski. Calcolo di Cl(OF), per F=Q(√-163).
OTTAVA SETTIMANA (18, 19 novembre) :
- Decomposizione dell'ideale principale in OF generato da un numero primo p.
Primi ramificati, non ramificati, primi che si spezzano completamente. Teorema di Dedekind: in un campo di numeri F, un numero primo e' ramificato se e solo se divide il discriminante ΔF. Discriminante di una k-algebra: definizione e proprieta'. Il campo ciclotomico Q(ζl) con l primo: l'unico primo ramificato e' p=l. Enunciato del Dirichlet Unit Theorem.
NONA SETTIMANA (25, 26 novembre) :
- Determinazione delle unita' OF* di OF , per F=Q(∜2) ed F=Q(√67). La dimostrazione del Dirichlet Unit Theorem.
DECIMA SETTIMANA (2, 3 dicembre) :
- Il reticolo delle unita' OF* e il suo covolume per F=Q(∜2). Il regolatore R F.
La funzione Γ e la sua equazione funzionale. La funzione ζ di Riemann.
La funzione ζF: introduzione alla class number formula. La funzione zeta estesa ZF e le sue proprieta'. Poisson summation formula.
UNDICESIMA SETTIMANA (9, 10 dicembre) :
- Reticolo duale. Il differente. Poisson summation formula in Rn, funzione ζ, residuo in s=1, continuazione analitica.
DODICESIMA SETTIMANA (16, 17 dicembre) :
- Illustrazione del progetto.