Corso di Laurea triennale in Matematica
Anno Accademico 2016-17
Primo semestre
Diario delle lezioni di ANALISI REALE e COMPLESSA
Parte 2: Analisi Complessa



    LINEE GUIDA PER L'ESAME

  • Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
    Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
    Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.

  • Per capire la materia e come si applica alla risoluzione dei problemi, vanno studiate tutte le dimostrazioni viste durante il corso.
    All'orale dovete essere in grado di ricostruire le dimostrazioni elencate qui sotto :     Esistenza della derivata complessa e condizioni di Cauchy-Riemann, Teorema di Cauchy per regioni convesse- formula integrale di Cauchy su cerchi- sviluppabilita' locale in serie di potenze, Stime di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra, zeri di funzioni olomorfe e principio di identita', teorema di convergenza di Weierstrass, principio del massimo modulo, lemma di Schwarz, determinazione degli automorfismi olomorfi del disco unita'. Teorema di Casorati-Weierstrass, determinazione degli automorfismi olomorfi del piano complesso e della sfera di Riemann, caratterizzazione dei vari tipi di singolarita', Teorema dei residui (come segue dal Teorema di Cauchy generale), principio dell'argomento per funzioni meromorfe, teorema di Rouche', teorema dell'applicazione aperta.

    TUTORATO

    Durante le ore di tutorato potete chiedere chiarimenti sugli argomenti svolti a lezione. Ogni venerdi' sera trovate sul sito un foglio di esercizi sugli argomenti della settimana. Questi esercizi saranno discussi durante il tutorato della settimana successiva.


    PRIMA SETTIMANA (15, 16, 18 novembre):

  • Richiami sui numeri complessi. Definizione di funzione olomorfa: derivabile in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Gli operatori differenziali d/dz e d/dz̅.
  • Esempi di funzioni olomorfe e calcolo della loro derivata complessa: i polinomi complessi, l'esponenziale complesso, funzioni trigonometriche complesse. Il logaritmo complesso: domini che ammettono una determinazione continua del logaritmo, olomorfia di una determinazione continua del logaritmo compesso e sua derivata.
  • Serie numeriche complesse: convergenza e convergenza assoluta. Serie di funzioni complesse: convergenza puntuale e convergenza uniforme sui compatti. La serie geometrica complessa. Serie di potenze e dominio di convergenza di una serie di potenze.

    • Sarason, Cap. I, sez. 1-11 (queste sono cose che dovreste gia' sapere...); Cap.II, sez. 1-9, sez.16.
    • Sarason, Cap. IV, sez. 1-5; sez. 8-13.
    • Sarason, Cap. V, sez. 1-9.
    • Sarason, Esercizi: n. 1,2,3, p. 35; n. 1,2,3, p. 37.


    SECONDA SETTIMANA (22, 23, 25 novembre):

  • Serie di potenze: raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard e criterio del rapporto per la determinazione del raggio di convergenza (senza dimostrazione). Serie derivata di una serie di potenze: il suo raggio di convergenza e' uguale a quello della serie originale. La somma di una serie di potenze e' una funzione olomorfa sul disco di convergenza e la sua derivata e' la somma della serie derivata. Sul disco di convergenza la somma di una serie di potenze ammette derivate olomorfe di ogni ordine.
  • Esempi di serie di potenze. Integrazione complessa: introduzione. L'integrale di una derivata complessa lungo una curva chiusa e' nullo.
  • Lemma di Goursat. Teorema di Cauchy per aperti convessi: una funzione olomorfa su un aperto convesso ammette primitiva olomorfa.

    • Sarason, Cap. V, sez. 10-16.
    • Sarason, Cap. VI, sez. 1-10.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 1-3.


    TERZA SETTIMANA (29, 30 novembre, 2 dicembre):

  • Formula integrale di Cauchy. Sviluppabilita' locale in serie di potenze di una funzione olomorfa su un aperto. Formula integrale di Cauchy per le derivate di una funzione olomorfa.
  • Stime di Cauchy. Teorema di Liouville: una funzione olomorfa intera e limitata e' costante.
  • Zeri di funzioni olomorfe: gli zeri di una funzione olomorfa su un aperto formano un insieme discreto. Insiemi di unicita' e principio di identita' per funzioni olomorfe. L'algebra delle funzioni olomorfe su un aperto connesso e' un dominio di integrita'.

    • Sarason, Cap. VII, sez. 5, 6 (vedi esercizi), 7 (vedi esercizi), 8.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 11.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 13, 14.
    • Sarason, Esercizi: n. 1,2, p.51; n.2,3, p.54; n.3, p. 80;


    QUARTA SETTIMANA (6 e 7 dicembre):

  • Il Teorema Fondamentale dell'Algebra. Il principio del massimo modulo. Il Lemma di Schwarz.
  • Gli automorfismi olomorfi del disco unita'. Un biolomorfismo tra il disco unita' e il semipiano superiore.

    • Sarason, Cap. VII, sez. 12, 16.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 17.
    • Cartan, p.182-184.


    QUINTA SETTIMANA (13, 14 e 16 dicembre):

  • Il Teorema di Convergenza di Weierstrass. Serie di Laurent.
  • Espandibilita' in serie di Laurent di funzioni olomorfe su un anello.
  • Serie di Laurent e singolarita': singolarita' rimovibili, poli, singolarita' essenziali. Teorema di Casorati-Weierstrass.

    • Sarason, Cap. VII, sez. 15.
    • Sarason, Cap. VIII, sez. 1-10.


    SESTA SETTIMANA (20, 21 e 23 dicembre):

  • Applicazione del Teorema di Casorati-Weierstrass alla determinazione del gruppo degli automorfismi olomorfi del piano complesso. La sfera di Riemann. Le trasformazioni razionali fratte. Il gruppo degli automorfismi olomorfi della sfera di Riemann.
  • Contorni. Variazione del logaritmo lungo una curva del piano complesso. Enunciato del Teorema dei residui. Calcolo del residuo di una funzione in un punto singolare.
  • Applicazione del Teorema dei residui al calcolo di integrali: tipo I (funzioni razionali di seno e coseno), tipo II (integrali impropri di funzioni razionali), tipo III (integrali impropri di prodotti di una funzione reale per un esponenziale).

    • Cartan, Cap. VI, Sez. 2.
    • Sarason, Cap. VIII, sez. 12.
    • Sarason, Cap. IX, sez. 3,4,6,7 (leggere).
    • Sarason, Cap. X, sez. 8 (enunciato).
    • Cartan, Cap. III, sez. 6.



    SETTIMA SETTIMANA (9, 10 e 12 gennaio):

  • Applicazione del Teorema dei residui al calcolo di integrali: tipo IV (prodotti di funzioni razionali per potenze frazionarie/reali), tipo V (prodotti di funzioni razionali per logaritmi).
  • Il principio dell'argomento per funzioni meromorfe. Teorema di Rouche'. Modello locale di un mappa olomorfa. Teorema dell'applicazione aperta (cenni).
  • Il teorema di Cauchy generale (enunciato). Il teorema dei residui: come segue dal teorema di Cauchy generale. Teorema della mappa di Riemann: enunciato e significato. Esempi ed esercizi dal foglio 9.

    • Cartan, Cap. III, sez. 6.
    • Sarason, Cap. X, sez. 8, 9(cenni), sez. 11 + es.2, pag.130, sez. 12, 13(cenni), 14.
    • Cartan, Cap. VI, sez. 3 (cenni).




    Fine