Corso di Laurea triennale in Matematica
Anno Accademico 2015-16
Primo semestre
Diario delle lezioni di ANALISI REALE e COMPLESSA
Parte 2: Analisi Complessa



    LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

    Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
    Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
    Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.

    TUTORATO

    Durante le ore di tutorato potete chiedere chiarimenti sugli argomenti svolti a lezione. Ogni venerdi' sera trovate sul sito un foglio di esercizi sugli argomenti della settimana. Questi esercizi saranno discussi durante il tutorato della settimana successiva.


    PRIMA SETTIMANA:

  • Richiami sui numeri complessi. Definizione di funzione olomorfa, cioe' derivabile in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi: polinomi nella variabile z, funzioni razionali e loro derivate. Gli operatori differenziali d/dz e d/dz̅.
  • L'esponenziale complesso e il logaritmo complesso.
  • Serie numeriche complesse: convergenza e convergenza assoluta. Serie di funzioni complesse: convergenza puntuale e convergenza uniforme. La serie geometrica complessa e la serie di potenze corrispondente.

  • Sarason, Cap. I, sez. 1-11 (queste sono cose che dovreste gia' sapere...); Cap.II, sez. 1-9.
  • Sarason, Cap. IV, sez. 1-5; sez. 9-11.
  • Sarason, Cap. V, sez. 1-8.


    SECONDA SETTIMANA:

  • Serie di potenze. Il dominio di convergenza di una serie di potenze (Teorema di Abel). Raggio di convergenza di una serie di potenze: teorema di Cauchy-Hadamard e criterio del rapporto (senza dimostraz.). Serie derivata di una serie di potenze: il suo raggio di convergenza e' uguale a quello della serie originale. Esempi.
  • Nel dominio convergenza, la somma di una serie di potenze convergente e' una funzione olomorfa con derivata uguale alla somma della serie derivata. La somma di una serie di potenze convergente e' una funzione olomorfa le cui derivate di ogni ordine sono olomorfe. Esempi.
  • Integrazione complessa. Integrale di una derivata olomorfa su una curva. Lemma di Goursat.

  • Sarason, Cap. V, sez. 9-10, Es.1(sez.9); sez.12 (senza dim.), Es.2(sez.12); sez.13 (senza dim.); sez. 14; sez. 15-16.
  • Sarason, Cap. VI, sez.1-4; sez. 5-7; sez. 8-10; Cap. VII, sez. 1.


    TERZA SETTIMANA:

  • Teorema di Cauchy: una funzione olomorfa su un convesso ammette primitiva olomorfa. Formula integrale di Cauchy. Applicazioni della formula integrale di Cauchy: il Teorema Fondamentale dell'Algebra, calcolo di particolari integrali reali.
  • Applicazioni della formula integrale di Cauchy: sviluppabilita' locale in serie di potenze di una funzione olomorfa su un aperto. Stime di Cauchy. Teorema di Liouville e sue varianti (caratterizzazione dei polinomi di grado n).

  • Sarason, Cap. VII, sez. 2-5;
  • Sarason, Cap. VII, sez. 7-8; sez. 11-12; Es.1(sez.11).


    QUARTA SETTIMANA:

  • Zeri di funzioni olomorfe. Il principio di identita'. Teorema di convergenza di Weierstrass.
  • Principio del massimo modulo. Lemma di Schwartz. Il gruppo degli automorfismi olomorfi del disco unita'.
  • Serie di Laurent. Espansione in serie di Laurent di una funzione olomorfa su un anello.

  • Sarason, Cap. VII, sez. 13-17; Aut(D) pag1 , pag2, pag3.
  • Sarason, Cap. VIII, sez. 1-7.


    QUINTA SETTIMANA:

  • Serie di Laurent e singolarita' isolate: singolarita' rimovibili, poli e singolarita' essenziali. Criteri per determinare il tipo di singolarita'. Teorema di Casorati-Weierstrass. La sfera di Riemann.
  • Funzioni razionali sulla sfera di Riemann: hanno lo stesso numeri di zeri & di poli (contati con la molteplicita'). Funzioni meromorfe. Esempi di funzioni con vari tipi di singolarita' (vedi esercizi5). Il gruppo degli automorfismi olomorfi del piano complesso e della sfera di Riemann. Residuo di una funzione in un punto singolare: definizione, qualche esempio di calcolo.

  • Sarason, Cap. VIII, sez. 8-12.
  • La sfera di Riemann S2 1, 2; Aut(C) 3 ; Aut(S2) 4


    SESTA SETTIMANA:

  • Logaritmo lungo una curva in C*. Indice di avvolgimento di una curva chiusa attorno a un punto. Contorni. Indice di avvolgimento di un contorno attorno a un punto. Lemma di saparazione (senza dim.). Teorema di Cauchy per contorni.

  • Sarason, Cap. IX, sez. 1, 2, 4-10.



    SETTIMA SETTIMANA:

  • Teorema dei residui. Applicazione al calcolo di integrali definiti.
  • Il principio dell'argomento. Teorema di Rouche'. Teorema dell'applicazione aperta.
  • Teorema della mappa di Riemann (enunciato). Esempi ed esercizi di ricapitolazione.

  • Sarason, Cap. X, sez. 1-5 (leggere); sez. 8-10.
  • Cartan, Cap. III, sez.6.
  • Sarason, Cap. IX, sez. 3; Cap. X, sez. 11-14.




    Fine