Programma di Analisi Complessa 1

Prima parte.
Sarason: Cap. 1, Sez. 1-12, Cap. 2, Sez. 1-9 e Sez. 15-16, Cap. 4, Sez. 1-16, Cap. 5, Sez. 1-17, Cap. 6, Sez. 1-11, Cap. 7, Sez. 1-3. Sez. 5-8 e Sez. 10-17.
Dimostrazioni scelte: Stime di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra, teorema di convergenza di Weierstrass, principio del massimo modulo, lemma di Schwarz.

Seconda parte.
Automorfismi del disco, trasformazioni lineari fratte, automorfismi della sfera di Riemann e del piano complesso.
Sarason: Cap. 3, Sez. 2-5; Cartan: Cap. 6, pag. 178-184.
Serie di Laurent. Singolarita' isolate rimovibili, essenziali, poli. Teorema della singolarita' rimovibile di Riemann. Teorema di Casorati-Weierstrass. Teorema di Cauchy su anelli. Sviluppo di Laurent intorno ad una singolarita' isolata. Stime di Cauchy generali.
Sarason: Cap. 8, sez. 1-12.
Il teorema di Cauchy per domini semplicemente connessi. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali e alla somma di serie infinite.
Cartan: Cap.2, Sez. 1, par. 1-8, pag. 49-64; Sarason: Cap. 10, Sez. 1-10; Cartan: Cap. 3, Sez. 6, pag. 99-108; Henrici: Vol. 1, Sez. 4.8, pag. 249-259, Sez. 4.9, pag. 265-269.
Principio dell'argomento per funzioni meromorfe, teorema di Rouche', teorema di Hurwitz. Teoremi di approssimazione di Runge.
Sarason: Cap. 10, Sez. 11-12, Cap. 9, Sez. 11,13.
Mappe olomorfe locali. Il teorema dell'applicazione conforme di Riemann.
Sarason: Cap. 10, Sez. 13-20.
Funzioni armoniche: proprieta' elementari. Il principio di riflessione di Schwarz.
Sarason: Cap. 7, Sez. 18-20,22, Cap. 10, Sez. 6; Krantz: Cap. 7, Sez. 1,2,4(cenni), 5.
Serie e prodotti infiniti, teorema di fattorizzazione di Weierstrass.
Krantz: Cap. 8, Sez. 1,2.
Prolungamento analitico (cenni).
Henrici: Vol. 1, Cap. 3, pag. 139-155, Krantz: Cap. 8, Sez. 3 (prima parte), Cap. 10, Sez. 1.
Funzioni speciali. Teorema dei numeri primi (cenni).
Krantz: Cap. 15, Sez. 1,2,3.
Dimostrazioni scelte: Teorema di Casorati-Weierstrass, determinazione degli automorfismi olomorfi del piano complesso, teorema della singolarita' rimovibile di Riemann, principio dell'argomento per funzioni meromorfe, teorema di Rouche', teorema dell'applicazione olomorfa locale, principio di riflessione di Schwarz per funzioni olomorfe.

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