Laurea Triennale in Matematica
Anno Accademico 2013-2014
Secondo semestre.
Diario delle lezioni di Topologia Algebrica
Settimana 1:
Richiami sul gruppo fondamentale. Introduzione all'omologia e alle sue applicazioni in topologia. CW complessi.
Simplessi e Delta-complessi. Complessi di catene e gruppi di omologia associati. Complesso delle catene simpliciali e gruppi di omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi: il toro.
Settimana 2:
Omologia simpliciale di S2 ed S3. Omologia simpliciale delle superfici compatte (cenni). Complesso delle catene singolari e gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. L'omologia singolare del punto.
"Chain maps" fra complessi e omomorfismi indotti in omologia. Operatore "prisma" e "chain homotopic chain maps". Mappe omotope fra spazi topologici inducono lo stesso omomorfismo in omologia.
Settimana 3:
Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi di omologia isomorfi. Esempi.
Successioni esatte di gruppi abeliani. Successioni esatte corte di complessi e successione esatta lunga di omologia associata.
Settimana 4: Snake lemma. La successione esatta lunga di omologia e di omologia ridotta di una coppia. Esempi. La successione esatta lunga di omologia di una terna. Isomorfismo fra i gruppi di omologia ridotta di una "buona" coppia (X,A) e quelli dello spazio quoziente X/A , una volta dimostrato il Teorema di Escissione. I gruppi di omologia della sfera.
Settimana 5:
Preliminari alla dimostrazione del Teorema di Escissione: suddivisione baricentrica e isomorfismo tra gruppi di omologia
singolare e omologia "a valori in un ricoprimento".
Settimana 6:
Completamento della dimostrazione del Teorema di Escissione. Esempi ed esercizi.
Settimana 7:
Successione di Mayer-Vietoris. Esempi. Il Lemma dei 5. I gruppi di omologia simpliciale e i gruppi di omologia singolare di un Delta-complesso sono isomorfi (caso finito-dimensionale).
Settimana 8:
Applicazioni dell'omologia alla topologia: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di invarianza della dimensione, i teoremi di separazione.
Settimana 9:
Teorema di invarianza del dominio. Grado di una mappa della sfera Sn in se': definizione, proprieta' e applicazioni. Una sfera ammette campi vettoriali tangenti non nulli se e solo se ha dimensione dispari. Il complesso dell'omologia cellulare di un CW-complesso finito-dimensionale. Isomorfismo tra omologia cellulare e omologia singolare di un CW-complesso. Calcolo dell'omologia degli spazi proiettivi complessi e quaternionici.
Settimana 10:
Calcolo dell'omologia degli spazi proiettivi reali. Caratteristica di Eulero-Poicare'.
Omologia a coefficienti in un gruppo abeliano G. Enunciato del teorema dei coefficienti universali in omologia. Esempi: sfera, spazi proiettivi.
Settimana 11:
Omologia a coefficienti in un gruppo abeliano G. Dimostrazione del teorema dei coefficienti universali in omologia. Gruppi di coomologia di un complesso. Teorema dei coefficienti universali in coomologia.
Settimana 12:
Calcolo della coomologia di sfere, superfici di Riemann, spazi proiettivi reali, complessi e quaternionici a coefficienti in un gruppo abeliano.
Il cup product: definizione e proprieta' di base. L'anello della coomologia a coefficienti in Z2 dello spazio proiettivo reale P2.
Settimana 13:
Definizione di varieta' differenziabile. Esempi: sfere e spazi proiettivi. Orientazione differenziale e orientazione omologica di una varieta'.
Il rivestimento orientabile 2-1 di una varieta' non orientabile. La classe fondamentale di una varieta' compatta orientabile.
La classe fondamentale a coefficienti in Z2 di una varieta' compatta arbitraria.
Cap product. Enunciato della Dualita' di Poincare' per varieta' compatte orientabili.
Settimana 14:
Ulteriori osservazioni sulla dualita' di Poincare' e sull'omologia delle varieta'. Cenni al teorema di de Rham: il complesso delle forme differenziali su una varieta', il caso di un aperto di R3 (gradiente, rotore, divergenza), l'omomorfismo di de Rham, l'enunciato del teorema ed il suo significato.
Fine