Seconda settimana:
Decomposizione cellulare dello spazio proiettivo complesso CPⁿ, del toro T, della somma connessa di n tori T # T #...# T, della somma connessa di n piani proiettivi RP² # RP² #...# RP² . Richiami sul teorema di Van Kampen per lo spazio unione di due aperti. Il gruppo fondamentale di uno spazio Y ottenuto da uno spazio X (connesso per archi) attaccando una 2-cella o una n-cella, per n maggiore di 2. Il gruppo fondamentale di un CW complesso ottenuto da una 0-cella e' il gruppo libero con un generatore per ogni 1-cella e una relazione per ogni 2-cella. Esempio: il gruppo fondamentale di T # T #...# T e di RP² # RP² #...# RP² .

Terza settimana:
Triangolazioni di una superficie compatta senza bordo. Costruzione di una superficie compatta a partire da un poligono "etichettato". Classificazione delle superfici compatte.

Quarta settimana:
Rivestimenti p: Ã--> A: definizione. Esempi: rivestimenti di S¹. Sollevamenti di curve e di omotopie fra curve con punto iniziale fissato in uno spazio A, a curve e omotopie fra curve con punto iniziale fissato in à . L'omomorfismo indotto p_*: Π₁(Ã,ã₀) --> Π₁(A,a₀): iniettivita' e caratterizzazione dell'immagine. Uguaglianza fra la cardinalita' della fibra di p (che e' costante su A), e la cardinalita' delle classi laterali p_* Π₁(Ã,ã₀)\ Π₁(A,x₀). Criterio per il sollevamento di mappe f: (Y,y₀)--> (A,a₀) al rivestimento (Ã,ã₀) .

Quinta settimana:
Sollevamenti di mappe f: (Y,y₀)--> (A,a₀) al rivestimento (Ã,ã₀): due sollevamenti che coincidono in un punto coincidono ovunque. Costruzione del rivestimento universale di uno spazio connesso per archi, localmente connesso per archi, semilocalmente semplicemente connesso.

Sesta settimana:
Classificazione dei rivestimenti di uno spazio che ammette rivestimento universale. Automorfismi di rivestimento. Rivestimenti normali.

Settima settimana:
Simplessi e Delta-complessi. Complessi di catene e gruppi di omologia associati. Complesso delle catene simpliciali e gruppi di omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi: il toro e la bottiglia di Klein.

Ottava settimana:
Calcolo dell'omologia simpliciale delle superfici compatte: esempi. Complesso delle catene singolari di uno spazio e gruppi di omologia singolare. Omologia singolare di un punto. Omologia ridotta. Omomorfismo indotto da una applicazione continua f: X --> Y fra i rispettivi gruppi di omologia singolare. Invarianza omotopica dei gruppi di omologia singolare. Conseguenza: spazi omotopicamemte equivalenti hanno gruppi di omologia singolare isomorfi.

Nona settimana:
Gruppi di omologia relativa. Successione esatta corta di complessi di catene, "snake lemma" e successione esatta lunga di omologia. Successione esatta lunga di omologia e successione esatta lunga di omologia ridotta di una coppia di spazi (X,A), con A ⊂ X.

Decima settimana: Successione esatta lunga di omologia ridotta di spazio, sottospazio e quoziente (X, A, X/A). Applicazione al calcolo dell'omologia delle sfere. Excision Theorem (cenni alla dimostrazione). Successione esatta di Mayer-Vietoris. Applicazione al calcolo dell'omologia delle sfere. Il Lemma dei Cinque.

Undicesima settimana:
Equivalenza di omologia simpliciale e omologia singolare. Conseguenze. Teorema di invarianza della dimensione. Omologia cellulare di un CW complesso di dimensione finita. L'omologia singolare dello spazio proiettivo complesso CPⁿ e dello spazio proiettivo quaternionico HPⁿ.

Dodicesima settimana:
Il grado di una mappa continua f: Sⁿ ---> Sⁿ: definizione e proprieta'. Formula per il bordo d_n del complesso cellulare (solo enunciato). L'omologia singolare dello spazio proiettivo reale RPⁿ. La caratteristica di Eulero di un CW complesso finito.

Tredicesima settimana:
Applicazioni del grado: non esistono campi vettoriali non nulli sulle sfere di dimensione pari. Teorema di separazione. Teorema di invarianza del dominio. Teorema di Ulam-Borsuk in dimensione 2. Cenni all'omologia a coefficienti in un gruppo abeliano arbitrario. Teorema di Ulam-Borsuk in dimensione maggiore di 2.

Quattordicesima settimana:
Cenni al teorema dei coefficienti universali in omologia. Calcolo dell'omologia della sfera e dello spazio proiettivo a coefficienti in Z₂. Cenni alla coomologia e al teorema dei coefficienti universali in coomologia.