Laurea Triennale in Fisica
a.a. 2021-2022
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.

Ogni settimana sara' assegnata una lista di esercizi che verra' discussa in classe la settimana successiva. Questo per darvi il tempo di provare a svolgerli, cosi' che la discussione in classe sia piu' efficace.

Le registrazioni delle lezioni rimarranno disponibili all'interno della classe TEAMS del corso.

• Lezioni di Schoof: nella cartella "FILES/RECORDINGS" del canale "GENERAL";
  
• Lezioni di Geatti: nella cartella "FILES/RECORDINGS" del canale "LEZIONI".

PRIMA SETTIMANA (4-8 ottobre):

• (4/10) Sistemi lineari di m equazioni in n incognite: esempi vari. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema. Sistemi compatibili e incompatibili. Sistemi omogenei. Sistemi a scala. Il metodo di eliminazione di Gauss per ridurre un sistema arbitrario in un sistema equivalente a scala. Esempi di risoluzione.
• (5/10) Lo spazio Rⁿ. Definizione di spazio vettoriale mediante gli 8 assiomi. Definizione di sottospazio vettoriale. Criterio: contiene 0 ed e' chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo sono un sottospazio vettoriale di Rⁿ.
• (6/10) Lo spazio R². Prodotto scalare standard in R². Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
• (7/10) Il sottospazio generato da un insieme di vettori in uno spazio vettoriale (Span). Passare da {soluzioni di un sistema lineare omogeneo} allo Span di vettori. Esempi di spazi vettoriali di funzioni: {polinomi} ⊂ {funzioni continue} ⊂ {funzioni}.
• (8/10) Lineare dipendenza e indipendenza. Definizione di dimensione: se V = Span(v₁,..,v_m) con v_i indipendenti, allora dim V = m.
  
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 2 e Nota 3 (Geometria del piano).
  
  SECONDA SETTIMANA (11-15 ottobre):
• (11/10) Lo spazio R². Ortogonalita' e angolo fra vettori. Proiezione di un vettore su un altro vettore. Area di un triangolo di vertici 0, x, y. Esercizi su R² dai fogli 1 e 2.
• (12/10) Lezione cancellata (sara' recuperata in seguito)
• (13/10) Intersezione e somma di sottospazi di uno spazio vettoriale. k elementi di uno spazio vettoriale sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi e' combinazione lineare dei rimanenti. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Esempi ed esercizi dal foglio 2.
• (14/10) Le basi di uno spazio vettoriale finitamente generato hanno tutte la stessa cardinalita'. Coordinate rispetto ad una base di uno spazio vettoriale. Esercizi dai fogli 1 e 2.
• (15/10) Esercizi dai fogli 1 e 2.
  
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 2 e Nota 3 (Geometria del piano).
  
  TERZA SETTIMANA (18-22 ottobre):
• (18/10) Rette in R². Problemi geometrici nel piano.
• (19/10) Completamento di un insieme di vettori indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale. Esistenza del complementare di un sottospazio di uno spazio vettoriale. Se W ⊂ V allora dim(W) ≤ dim(V), con uguaglianza se e solo se W=V. Esempi di calcolo di un complementare di un sottospazio di uno spazio vettoriale.
• (20/10) Esercizi dal foglio 3.
• (21/10) Esercizi dal foglio 3. Formule di Grassmann. Moltiplicazione fra matrici.
• (22/10) Applicazioni lineari. Esempio: moltiplicazione matrice per vettore. La moltiplicazione fra matrici corrisponde alla composizione di applicazioni lineari. La matrice di una rotazioni in R². La matrice della riflessione rispetto alla retta x=y. La matrice identita'.
  
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 2 e Nota 3 (Geometria del piano).
  
  QUARTA SETTIMANA (25-29 ottobre):
• (25/10) Geometria in R³: rette e piani nello spazio.
• (26/10) Ogni applicazione lineare da Rⁿ ad R^m e' data dalla moltiplicazione per una matrice. Nucleo (ker) e immagine (Im) di una applicazione lineare. Esempi. Dim ker + dim Im = dim V.
• (27/10) Geometria in R³: rette e piani nello spazio. Esercizi dal foglio 4.
• (28/10) La dimensione delle soluzioni di un sistema di m equazioni indipendenti in n incognite e' n-m. Il rango per righe di una matrice e' uguale al rango per colonne. Esprimere Span(v_i) in Rⁿ come spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Giustificazione del metodo.
• (29/10) Esercizi dal foglio 4. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive fra insiemi. Caso lineare: un'applicazione lineare F e' iniettiva se e solo se ker(F)=0. Sia f:V→ W un'applicazione lineare: se F e' iniettiva, allora dim(V)≤ dim(W); se F e' suriettiva, allora dim(V)≥ dim(W).
  
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 4 e Nota 5 (Geometria dello spazio).
  
  QUINTA SETTIMANA (1-5 novembre):
• (1/11) FESTIVO
• (2/11) Esistenza della matrice inversa, calcolo della matrice inversa, formula per una matrice 2x2.
• (3/11) Geometria in R³: rette e piani nello spazio. Il prodotto vettoriale in R³. Esercizi 1,2,3,4 dal foglio 5.
• (4/11) Determinante di una matrice nxn: una funzione multilineare, antisimmetrica, che vale 1 sull'identita' (normalizzata). Calcolo del determinante con l'eliminazione di Gauss per colonne.
• (5/11) Esercizi 5,7,9, 10 dal foglio 5. Permutazioni di un insieme. Il gruppo delle permutazioni di un insieme di n elementi S_n. La cardinalita' di S_n e' n!. Ogni permutazione e' prodotto di trasposizioni (scambi). Il segno di una permutazione.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 4 e Nota 5 (Geometria dello spazio).
  
  SESTA SETTIMANA (8-12 novembre):
• (8/11) Volume di un parallelepipedo di spigoli x, y, z. Orientazione di coppie di vettori del piano e di terne di vettori dello spazio. Trasformazioni geometriche del piano: traslazioni, dilatazioni, rotazioni intorno all'origine.
• (9/11) Determinanti: det(AB) = det(A)det(B) (formula di Binet), det(A) = det(A^t), formula di Laplace, regola di Cramer.
• (10/11) Rotazioni intorno ad un punto arbitrario del piano. Riflessioni rispetto ad una retta per l'origine e ad una retta arbitraria. Esercizi dal foglio 6.
• (11/11) Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Calcolo della matrice matrice inversa con Gauss per colonne. Cambiamenti di base.
• (12/11) Cambiamenti di base.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 4 e Nota 5 (Geometria dello spazio).
  • Nota 7(a) (trasformazioni geometriche del piano)
  
  SETTIMA SETTIMANA (15-19 novembre):
• (15/11) Isometrie del piano. Classificazione tramite i punti fissi.
• (16/11) Numeri complessi. Campi.
• (17/11) Esercizi dal foglio 7.
• (18/11) Ogni polinomio di grado n ha n radici in C. Le radici non reali di un polinomio a coefficienti reali vengono in coppie di radici complesse coniugate. Autovalori e autospazi di un'applicazione lineare. Polinomio caratteristico.
• (19/11) Sia p(X)=Xⁿ + .... + a₁ x + a₀ il polinomio caratteristico di una matrice A. Allora il prodotto delle radici di p e' uguale a det(A)=(-1)ⁿ a₀ e la somma delle radici di p e' uguale a traccia(A)= -a_n-1.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 7(a) (trasformazioni geometriche del piano)
  
  OTTAVA SETTIMANA (22-26 novembre):
• (22/11) Trasformazioni geometriche dello spazio: rotazioni intorno ad un vettore arbitrario, riflessioni rispetto ad un piano arbitrario.
• (23/11) Il polinomio caratteristico di un'applicazione lineare non dipende dalla matrice rappresentativa. Una matrice A e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base dello spazio fatta di autovettori di A.
• (24/11) Esercizi dal foglio 8.
• (25/11) Molteplicita' geometrica e algebrica di un autovalore: 1 ≤ molt. geom. ≤ molt. alg.. Autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Esiste una base di autovettori di F se e solo se la molteplicita' geometrica e la molteplicita' algebrica di ogni autovalore per ogni autovalore di F.
• (26/11) Prodotti scalari su uno spazio vettoriale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 7(a) (trasformazioni geometriche del piano)
  • Nota 1 (Spazi euclidei).
  
  NONA SETTIMANA (29 novembre - 3 dicembre):
• (29/11) Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: esempi. Coordinate di un vettore in una base ortonormale. Vettori v₁,...,v_k a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti.
• (30/11) Complemento ortogonale ad un sottospazio. Isometrie lineari. Matrici ortogonali. Matrici simmetriche (reali). Prodotti Hermitiani. Applicazioni lineari unitarie. Matrici unitarie. Gli autovalori di una matrice unitaria hanno modulo uno.
• (1/12) Prodotti hermitiani: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare; basi ortonormali e procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi dal foglio 9.
• (2/12) Esercizi dal foglio 9. Esempi espliciti di autovalori e autovettori su C di matrici in O(2), SO(2), U(2), SU(2). Le applicazioni lineari Hermitiane hanno autovalori reali. L'identita' e^ix = cos(x) + isin(x).
• (3/12) Il teorema spettrale per mappe unitarie, hermitiane, simmetriche e ortogonali.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 1 (Spazi euclidei).
  • Nota 11 (Spazi hermitiani).
  
  DECIMA SETTIMANA (6-10 dicembre):
• (6/12) Le coniche del piano: introduzione, descrizione delle coniche in forma canonica.
• (7/12) Forme quadratiche reali.
• (8/12) FESTIVO
• (9/12) Esercizi dal foglio 10.
• (10/12) INAUGURAZIONE ANNO ACCADEMICO
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 8 (Applicazioni lineari simmetriche e forme quadratiche).
  • Nota 9 (Coniche).
  
  UNDICESIMA SETTIMANA (13-17 dicembre):
• (13/12) Riduzione di una conica in forma canonica tramite un'isometria. Esempi.
• (14/12) Riduzione di una quadrica in forma canonica tramite un'isometria. Quadriche in forma canonica.
• (15/12) Esercizi dal foglio 11.
• (16/12) Esempi di quadriche. Minimi quadrati (regressione lineare).
• (17/12) Matrici stocastiche. La matematica dell'algoritmo "Page rank" di Google.
  • Nota 6 (Algebra lineare).
  • Nota 1 (Spazi euclidei). Minimi quadrati: sez. 4, pag. 11.
  • Nota 9 (Coniche).
  • Nota 10 (Quadriche).
  
  DODICESIMA SETTIMANA (20-22 dicembre):
• (20/12) Esercizi di riepilogo.
• (21/12) La matematica di Google.
• (22/12) Esercizi di riepilogo.