Laurea Triennale in Fisica
a.a. 2020-2021
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.

Ogni settimana sara' assegnata una lista di esercizi che verra' discussa in classe la settimana successiva. Questo per darvi il tempo di provare a svolgerli, cosi' che la discussione in classe sia piu' efficace.



PRIMA SETTIMANA (28 settembre-2 ottobre 2019):


• (28/09) Introduzione ai sistemi lineari: il metodo di eliminazione di Gauss.
• (29/09) Lo spazio Rⁿ. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. span di elementi di uno spazio vettoriale. Somma e intersezione di sottospazi.
• (30/10) Esercizi su sistemi lineari e span di vettori in R² ed R³.
• (1/10) Prodotto scalare nel piano: definizione, proprieta'. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Angolo fra vettori.
• (2/10) Proiezione ortogonale di un vettore lungo un altro vettore.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 2 (Geometria del piano).



SECONDA SETTIMANA (5-9 ottobre):

• (5/10) Lineare indipendenza e dipendenza. Base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale (e' ben definita). Esempio di spazio di dimensione infinita. Ogni spazio vettoriale ha una base.
• (6/10) Completamento di un insieme di vettori indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale. W sottospazio di W implica dim(W) minore o uguale di dim(V). Uguaglianza W=V se e solo se dim(W)= dim(V).
• (7/10) Discussione Esercizi 2.
• (8/10) Rette in R². Problemi geometrici nel piano.
• (9/10) Rette e piani in R³ (continua).


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 2 (Geometria del piano).
• Nota 3 (rette e circonferenze del piano).
• Nota 4 (geometria dello spazio).



TERZA SETTIMANA (12-16 ottobre):

• (12/10) Portare lo span di vettori in forma cartesiana (cioe' come insieme di zeri di un sistema di equazioni lineari).
• (13/10) Determinare una base di un sottospazio dato. Determinare la dimensione di un sottospazio dato.
• (14/10) Discussione degli Esercizi 3.
• (15/10) Rette e piani nello spazio. Il prodotto vettoriale in R³.
• (16/10) Volume del parallelepipedo che ha per spigoli tre vettori dati. Determinazione delle tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto dato.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 3 (rette e circonferenze del piano).
• Nota 4 (geometria dello spazio).
• Nota 5 (rette e piani dello spazio).



QUARTA SETTIMANA (19-23 ottobre):

• (19/10) Somma diretta di sottospazi di uno spazio vettoriale. Complemento di un sottospazio vettoriale. La dimensione della somma diretta e' la somma delle dimensione degli addendi. Formula di Grassmann. Coordinate rispetto ad una base di uno spazio vettoriale.
• (20/10) Matrici e moltiplicazione fra matrici. Applicazioni lineari. Nucleo (ker ) e immagine di un'applicazione lineare.
• (21/10) Discussione Esercizi 4 (continua).
• (22/10) LEZIONE da RECUPERARE
• (23/10) Discussione Esercizi 4 (fine). Esempi di applicazioni lineari geometriche.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 5 (rette e piani dello spazio).
• Nota 7.a (isometrie del piano)



QUINTA SETTIMANA (26-30 ottobre):

• (26/10) Applicazioni lineari: dim(ker )+ dim(immagine) = dim(dominio). Rango per colonne = rango per righe.
• (27/10) Ogni applicazione lineare da Rⁿ a R^m e' data dalla "moltiplicazione matrice per vettore". Ogni spazio vettoriale di dimensione n e' isomorfo a Rⁿ.
• (28/10) Discussione Esercizi 5 (continua).
• (29/10) Discussione Esercizi 5. Trasformazioni geometriche del piano: traslazioni, rotazioni, riflessioni.
• (30/10) Trasformazioni geometriche del piano: riflessioni rispetto ad una retta arbitraria, rotazioni con centro di rotazione arbitraria.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 7.a (isometrie del piano)



SESTA SETTIMANA (2-6 novembre):

• (2/11) Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto a basi fissate in dominio e codiminio.
• (3/11) Permutazioni.
• (4/11) Discussione Esercizi 6.
• (5/11) Trasformazioni geometriche del piano: loro caratterizzazione mediante i punti fissi. Orientazioni del piano.
• (6/11) Introduzione ad alcune trasformazioni geometriche dello spazio.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 7.a (isometrie del piano)
• Nota 7.b (isometrie dello spazio)



SETTIMA SETTIMANA (9-13 novembre):

• (9/11) Determinanti: funzioni multilineari, alternanti, con valore 1 nell'identita'. Sviluppo di Laplace del determinante, lungo una riga o lungo una colonna.
• (10/11) Formula del determinante. Regola di Sarrus per il determinante di una matrice 3x3. Una matrice quadrata A e' invertibile se e solo se det(A) e' diverso da zero.
• (11/11) Esercizi 7
• (12/11) Orientazione in R³. Numeri complessi.
• (13/11) Numeri complessi.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 5 (Geometria in R³)



OTTAVA SETTIMANA (16-20 novembre):

• (16/11) Regola di Cramer e formula per la matrice inversa (coi minori). Spazi vettoriali e algebra lineare su C.
• (17/11) Polinomio caratteristico, autovalori, autovettori di un'applicazione lineare. Il determinante e' uguale al prodotto degli autovalori; la traccia e' la somma degli autovalori. Rispetto ad una base di autovettori (se esiste) la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare e' diagonale.
• (18/11) Esercizi 8.
• (19/11) Numeri complessi.
• (20/11) Spazi vettoriali con prodotto scalare.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 1 (Spazi vettoriali euclidei).



NONA SETTIMANA (23-27 novembre):

• (23/11) Autovalori e autospazi: diagonalizzazione di matrici. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
• (24/11) La molteplicita' geometrica e' minore o uguale della molteplicita' algebrica. Una matrice e' diagonalizzabile se e solo se la molteplicita' geometrica e' uguale alla molteplicita' algebrica.
• (25/11) Esercizi 9.
• (26/11) Spazi vettoriali con prodotto scalare. Basi ortonormali. Coordinate in una base ortonormale. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
• (27/11) Complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi. Isometrie di uno spazio vettoriale con prodotto scalare. Esempi nel piano e nello spazio. Isometrie che fissano l'origine: conservano norma e angolo fra vettori.


• Nota 6 (Algebra lineare).
• Nota 1 (Spazi vettoriali euclidei).
• Nota 7 (Isometrie).



DECIMA SETTIMANA (30 novembre- 4 dicembre):

• (30/11) Prodotti hermitiani. Prodotto hermitiano standard in Cⁿ. Basi ortonomali. Prodecimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.
• (1/12) Applicazioni hermitiane ed unitarie. Teorema spettrale: se F e' un'applicazione lineare simmetrica, hermitiana o unitaria, allora esiste una base ortonormale dello spazio composta da autovettori di F. Nel caso ortogonale questo e' vero, purche' tutti gli autovalori di F siano reali.
• (2/12) Esercizi 10.
• (3/12) Le isometrie di uno spazio vettoriale (con prodotto scalare) che fissano l'origine sono lineari.
• (4/12) Forme quadratiche reali: diagonalizzazione.


• Nota 1 (Spazi vettoriali euclidei).
• Nota 7 (Isometrie).
• Nota 6 (Spazi vettoriali hermitiani).




UNDICESIMA SETTIMANA (7-11 dicembre):

• (7/12) PONTE
• (8/12) FESTA
• (9/12) Esercizi 11.
• (10/12) Introduzione alle coniche del piano.
• (11/12) Coniche: riduzione a forma canonica tramite isometrie (continua).


• Nota 9 (coniche).




DODICESIMA SETTIMANA (14-18 dicembre):

• (14/12) Quadriche in R³. Esempi.
• (15/12) Classificazione delle quadriche in R³.
• (16/12) Esercizi 12.
• (17/12) Coniche: riduzione a forma canonica tramite isometrie.
• (18/12) Coniche: classificazione e descrizione.


• Nota 9 (coniche).
• Nota 10 (quadriche).




TREDICESIMA SETTIMANA (21-22 dicembre):

• (21/12) Medoto dei minimi quadrati. Massimi e minimi di una forma quadratica sulla sfera unitaria.
• (22/12) La matematica di Google.