Laurea Triennale in Fisica
a.a. 2019-2020
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria
LINEE GUIDA PER L'ESAME
Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.
PRIMA SETTIMANA :
- (1/10) Sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
- (4/10) Geometria di R2: prodotto scalare fra due vettori, lunghezza di un vettore, angolo fra due vettori.
- (2/10) Lo spazio Rn, in particolare R2 ed R3. Somma di vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare.
Definizione di spazio vettoriale.
Sottospazi. Criteri.
Esempi: soluzioni di un sistema lineare omogeneo, sottospazio span di vettori.
- (3/10) Intersezione e somma di sottospazi.
Passaggio da un sottospaziono espresso come {soluzioni di sistema un omogeneo} a span di vettori.
Classificazione dei sottospazi di R2 e di R3.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 2 (Geometria del piano).
SECONDA SETTIMANA (7-11 ottobre):
- (7/10) Intersezione di sottospazi.
Ogni problema = sistema lineare.
Sottospazi affini. Indipendenza lineare.
- (10/10) Indipendenza lineare, basi, dimensione.
- (8/10) Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione. Area del parallelogramma determinato da due vettori del piano. Discussione Esercizi1.
- (9/10) Rette nel piano. Soluzioni di vari problemi di geometria del piano.
- (11/10) Rette e circonferenze nel piano. Rette e piani nello spazio.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 2, Nota 4 (Geometria del piano).
- Nota 3, Nota 5 (Geometria dello spazio).
TERZA SETTIMANA (14-18 ottobre):
- (14/10) Formule di Grassmann.
- (17/10) Convertire span ==> equazioni.
- (15/10) Discussione Esercizi2. Rette e piani nello spazio: forma cartesiana e forma parametrica.
- (16/10) Prodotto scalare in R3: definizione e proprieta'. Norma di un vettore, angolo fra due vettori. Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione e su un piano. Prodotto vettoriale in R3: definizione e proprieta'.
Soluzioni di vari problemi di geometria dello spazio.
- (18/10) Volume del parallelogramma determinato da tre vettori dello spazio. Orientazione. Soluzioni di vari problemi di geometria dello spazio.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 3, Nota 5 (Geometria dello spazio).
QUARTA SETTIMANA (21-25 ottobre):
- (21/10) Applicazioni lineari, applicazioni lineari
Rn --> Rm tramite espressioni lineari omogenee.
L'immagine di un'applicazione lineare e' un sottospazio del codominio;
il nucleo (il ker) e' un sottospazio del dominio.
- (24/10) Moltiplicazione fra matrici.
Ogni applicazione lineare e' una moltiplicazione fra matrici.
- (25/10) Per un'applicazione lineare: dim dominio = dim ker + dim immagine.
- (22/10) Esercizi3.
- (23/10) Traslazioni, dilatazioni,
riflessioni rispetto agli assi cartesiani e all'origine.
Riflessione rispetto ad una retta l per l'origine.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 7.a (Trasformazioni geometriche del piano).
QUINTA SETTIMANA (28-31 ottobre) :
- (28/10) Ogni spazio vettoriale V di dimensione finita e' isomorfo a Rn.
- (30/10) Applicazioni lineari invertibili. Applicazione lineare inversa.
- (31/10) Inversa di una matrice 2 x 2.
- (29/10) Esercizi4
- (1/11) FESTA
- Nota 6 (Algebra lineare).
SESTA SETTIMANA:
- (4/11) Calcolo della matrice inversa, mediante l'eliminazione di Gauss.
- (6/11) Permutazioni e segno di una permutazione.
- (7/11) Formula del determinante di una matrice n x n.
- (5/11) Esercizi5
- (8/11) Trasformazioni geometriche dello spazio.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 7.b (Trasformazioni geometriche del piano).
SETTIMA SETTIMANA:
- (11/11) Determinanti: sviluppo di Laplace,
regola di Cramer, teorema di Binet.
- (14/11) Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.
- (12/11) Esercizi6
- (13/11) Trasformazioni dello spazio.
- (15/11) Numeri complessi.
- Nota 6 (Algebra lineare).
- Nota 7.b (Trasformazioni geometriche del piano).
OTTAVA SETTIMANA:
- (18/11) Autovalori, autovettori,
polinomio caratteristico, traccia.
- (20/11) Cambiamento di base,
diagonalizzazione, basi di autovettori.
- (21/11) La molteplicita' algebrica di un autovettore e' minore o uguale della molteplicita' geometrica. Si ha uguaglianza per ogni autovalore se e solo l'applicazione e' diagonalizzabile.
- (19/11) Esercizi7
- (22/11) No lezione per inaugurazione anno accademico.
- Nota 6 (Algebra lineare).
NONA SETTIMANA:
- (25/11) Prodotti scalari su spazi vettoriali reali: proprieta', basi ortonormali. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.
- (26/11) Esercizi 8.
- (27/11) Proiezioni ortogonali su sottospazi.
- (28/11) Algebra lineare su C.
Prodotti Hermitiani su spazi vettoriali complessi.
Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
- (29/11) Applicazioni ortogonali e unitarie e loro matrici rappresentative.
- Nota 1 (Spazi euclidei).
- Nota 11 (Spazi Hermitiani).
DECIMA SETTIMANA:
- (2/12) Applicazioni simmetriche e hermitiane.
- (4/12) Forme quadratiche reali.
- (5/12) Isometrie lineari.
La disuguaglianza di Cauchy Schwartz nel caso complesso.
- (3/12) Esercizi 9.
- (6/12) Introduzione alle coniche in R2.
- Nota 7 (Isometrie di Rn ).
- Nota 11 (Spazi Hermitiani).
- Nota 9 (Coniche).
UNDICESIMA SETTIMANA:
- (9/12) Metodo dei minimi quadrati. L'algebra lineare di Google.
- (12/12) Spazi vettoriali di dimensione infinita (cenni).
- (10/12) Esercizi 10.
- (11/12) Riduzione di una conica a forma canonica metrica e classificazione.
- (13/12) Lezione cancellata per maltempo.
DODICESIMA SETTIMANA:
- (16/12) Quadriche: riduzione a forma canonica metrica.
- (18/12) Classificazione delle quadriche.
- (19/12) Esercizi.
- (17/12) Esercizi 11.
- (20/12) Descrizione delle coniche in forma canonica. Esempi.
- Nota 9 (Coniche).
- Nota 9bis (Quadriche).