Laurea Triennale in Fisica
a.a. 2018-2019
semestre 1.
Diario delle lezioni di Geometria
LINEE GUIDA PER L'ESAME
Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.
PRIMA SETTIMANA (1-5 ottobre 2018):
- (1/10) Lo spazio delle ennuple reali Rn. Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica.
- (3/10) Prodotto scalare in Rn: definizione e proprieta'. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' fra vettori, angolo fra vettori.
- (5/10) Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari (parte 1).
- (2/10) Riferimenti affini e relativa coordinata affine su una retta, lunghezza orientata di un segmento orientato, punto medio. Cambiamenti di riferimento e delle relative coordinate: trasformazioni affini: esempi.
- (4/10) Riferimenti affini su un piano e relative coordinate. Equazione di una retta, quando 2 equazioni rappresentano rette incidenti, distinte parallele, la stessa retta. Fasci di rette.
Equipollenza di segmenti orientati e vettori come classi di equivalenza di segmenti orientati.
- Nota 1 (Spazi euclidei): pag. 1-5.
- Nota 6 (Algebra lineare): pag. 1-3.
SECONDA SETTIMANA (8-12 ottobre):
- (10/10) Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione. Insiemi generati da un numero finito di vettori in Rn.
- (12/10) Proprieta' degli insiemi generati da un numero finito di vettori in Rn Vettori linearmente indipendenti.
- (8/10) Somma di vettori e moltiplicazione per uno scalare, loro proprieta': i vettori di una retta, di un piano, dello spazio sono spazi vettoriali.
Basi dei vettori di una retta e di un piano: componenti di un vettore rispetto a una base.
- (9/10) Riferimenti affini su una retta e su un piano come punto origine piu' base dei vettori.
- (11/10) Riferimenti cartesiani nel piano, distanza di 2 punti, lunghezza di un vettore, prodotto interno di due vettori, sue proprieta' e suo significato geometrico, vettori ortogonali, retta per un punto ortogonale a un'altra, distanza di un punto da una retta.
- Nota 6 (Algebra lineare): pag. 10-11.
TERZA SETTIMANA:
- (15/10) Vettori linearmente indipendenti e dipendenti.
In Rn : come trovare un insieme di generatori linearmente indipendenti di un sottospazio, a partire da un insieme di generatori qualunque; come determinare se un vettore appartiene o meno allo span di vettori dati.
- (17/10) Spazi vettoriali (reali) e sottospazi: definizioni. Esempi: insiemi generati da un numero finito di vettori in uno spazio vettoriale V sono sottospazi vettoriali di V. Le soluzioni di un'equazione lineare omogenea in n incognite, e piu' in generale le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite, sono un sottospazio vettoriale di Rn.
L'intersezione di sottospazi di uno spazio vettoriale e' un sottospazio.
- (19/10) Gli spazi vettoriali finitamente generati ammettono una base. Due basi qualunque hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato.
- (16/10) Cambiamento di riferimento affine e relative coordinate nel piano. Trasformazioni affini, traslazioni e dilatazioni. Cambiamento di riferimento cartesiano, matrici 2x2 ortogonali, trasformazioni ortogonali rotazioni e riflessioni rispetto a una retta.
- (18/10) Matrici reali: somma di 2 matrici e prodotto per uno scalare: l'insieme delle matrici nxm e' uno spazio vettoriale. Prodotto di 2 matrici.
- Nota 6 (Algebra lineare): pag. 4-14.
QUARTA SETTIMANA:
- (22/10) Coordinate di un vettore in una base fissata. Identificazione di uno spazio vettoriale di dimensione n con una base fissata con Rn.
Completamenti di un insieme di elementi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione finita ad una base. Sottospazi complementari ad un sottospazio dato
- (24/10) Somma di sottospazi di uno spazio vettoriale dato. Formule di Grassmann: enunciato e significato.
- (23/10) Proprieta' del prodotto di matrici, trasposta di una matrice, matrici invertibili, matrici elementari e loro relazione con le operazioni elementari sulle righe di una matrice, ogni matrice invertibile e' prodotto di matrici elementari.
Proprieta' che caratterizzano il determinante. una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' diverso da zero, il determinante di un prodotto di matrici e' il prodotto dei loro determinanti, una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante.
- (25/10) Proprieta' che caratterizzano il determinante. una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' diverso da zero, il determinante di un prodotto di matrici e' il prodotto dei loro determinanti, una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante.
- (26/10) Permutazioni , formula del determinante.
- Nota 6 (Algebra lineare): pag.13-15.
QUINTA SETTIMANA:
- (29/10) lezione cancella per maltempo.
- (30/10) lezione cancella per maltempo.
- (31/10) Complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata, sviluppo del determinante secondo una riga o una colonna, matrice aggiunta e calcolo dell'inversa.
Spazio delle righe e delle colonne di una matrice, rango per righe e rango per colonne, loro uguaglianza. Calcolo del rango di una matrice usando i determinanti dei suoi minori quadrati.
- (1/11) Festa.
- (2/11) Ponte.
SESTA SETTIMANA:
- (7/11) Formula di Grassmann. Esercizi di riepilogo.
- (9/11) Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Esempi: la derivata sullo spazio delle funzioni differenziabili f: R ---> R, il prodotto matrice-vettore. Proprieta' delle applicazioni lineari: l'immagine del sottospazio generato da un insieme finito di vettori {v1,..,vk} nel dominio e' il sottospazio generato dalle loro immagini {L(v1),..,L(vk)} nel codominio; un'applicazione lineare e' completamente determinata dai valori assunti sugli elementi di una qualsiasi base del dominio. Immagine di un sottospazio tramite un'applicazione lineare.
- (5/11) Sistemi lineari: teorema di Rouche'-Capelli, regola di Cramer, riduzione di un sistema lineare risolubile qualunque a un sistema quadrato.
- (6/11) Numeri complessi, somma e prodotto, coniugato e modulo di un numero complesso, inverso di un numero complesso, disuguaglianza triangolare.
- (8/11) Rappresentazione "in coordinate polari", argomento di un numero complesso, interpretazione geometrica del prodotto: formula per le potenze e le radici: ogni numero complesso diverso da zero ha n radici ennesime distinte.
- Nota 6 (Algebra lineare): sez.7.
SETTIMA SETTIMANA:
- (12/11) Altri esempi di applicazioni lineari: la proiezione ortogonale lungo un vettore, la derivata sui polinomi. Nucleo di un'applicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il nucleo e' zero. La relazione fra le dimensioni di dominio, nucleo e immagine di un'applicazione lineare: enunciato ed esempi.
- (14/11) Lezione cancellata per presentazione piani di studio.
- (16/11) Dimostrazione della formula dim V=dim Ker L+ dim L(V). Conseguenze: il rango per righe di una matrice e' uguale al rango per colonne, la dimensione dello spazio delle soluzioni di una sistema lineare omogeneo e' uguale al numero di incognite meno il rango della matrice dei coefficienti.
- (13/11) Riferimenti e coordinate affini nello spazio, equazioni parametriche e cartesiane di piani e rette, posizione reciproca di rette e piani, fasci di piani, piani paralleli contenenti due rette sghembe, retta con data direzione incidente due rette sghembe.
- (15/11) Riferimenti e coordinate cartesiane, distanza di due punti, lunghezza di un vettore, prodotto interno di due vettori, sue proprieta' algebriche e sua caratterizzazione geometrica.
- Nota 6 (Algebra lineare): sez.7.
OTTAVA SETTIMANA:
- (19/11) Teorema di Rouche'-Capelli: un sistema lineare e' compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti e' uguale al rango della matrice completa.
Soluzioni di un sistema linerare compatibile: somma di una soluzione particolare e dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.
- (21/11) Applicazioni lineari e matrici.
- (23/11) Matrici rappresentative di cambiamenti di base. Matrici rappresentative di un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. Esercizi.
- (20/11) Decomposizione di un vettore nella somma di uno parallelo e uno ortogonale a una data direzione. Distanza di un punto da un piano e da una retta, distanza di due piani paralleli e di due rette sghembe.
- (22/11) Area di un parallelogramma, prodotto vettoriale di due vettori, sue proprieta' algebriche, terne di vettori destrorse e sinistrorse, caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale. Prodotto misto e volume di un parallelepipedo.
- Nota 6 (Algebra lineare): sez.7.
NONA SETTIMANA:
- (26/11) Applicazioni lineari F:V-->V diagonalizzabili. Caratterizzazione delle applicazioni lineari diagonalizzabili. Esempi dalla geometria.
Autovalori e autospazi di un'applicazione lineare. Calcolo degli autovalori e degli autospazi di un'applicazione lineare data (continua). Polinomio caratteristico di un'applicazione lineare
- (28/11) Calcolo degli autovalori e degli autospazi di un'applicazione lineare data: esempi. Autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
- (30/11) Matrici coniugate. Matrici coniugate hanno lo stesso polinomio caratteristico.
- (27/11) Cambiamenti di riferimenti affini e cartesiani nello spazio.
Trasformazioni affini e isometrie. Riflessione ortogonale rispetto a un piano.
- (29/11) Le radici del polinomio caratteristico di una matrice reale simmetrica 2x2 sono reali e, se distinte, i corrispondenti autovettori sono ortogonali tra loro.
- Nota 6 (Algebra lineare): sez.7.
DECIMA SETTIMANA:
- (5/12) Autovalori e autospazi di un'applicazione lineare: esercizi.
- (7/12) Spazi vettoriali con un prodotto scalare. Basi ortogonali e ortonormali. Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
- (3/12) Equazione di una conica : le due matrici ad essa associate: come variano al variare del riferimento cartesiano.Invarianti dell'equazione di una conica. Cambiamento di coordinate per cui un'equazione assume la forma canonica.
- (4/12) Classificazione delle coniche usando gli invarianti.
- (6/12) Centro di una conica. Come trovare le rette componenti di una conica degenere.
- Nota 1 (Spazi euclidei): pag. 6-11.
UNDICESIMA SETTIMANA:
- (10/12) Il complemento ortogonale ad un sottospazio U di uno spazio vettoriale V con prodotto scalare. Decomposizione di V in somma diretta di U e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale di un vettore su U.
- (12/12) Distanza di un punto da un sottospazio. Isometrie di uno spazio vettoriale con prodotto scalare. Una isometria e' lineare se e solo se manda l'orgine in se'. Isometrie lineari di Rn e matrici ortogonali.
- (14/12) Lezione cancellata
- (11/12) Alcune semplici proprieta' delle ellissi iperboli e parabole: fuochi, direttrici, eccentricitˆ, equazione in coordinate polari.
- (13/12) Equazioni parametriche e cartesiane di curve e superficie nello spazio, retta tangente, piano tangente. Cenni su coni cilindri e superficie di rotazione.
- Nota 1 (Spazi euclidei): pag. 6-11.
- Nota 7 (Isometrie): pag. 1-8.
DODICESIMA SETTIMANA:
- (19/12) Applicazioni lineari simmetriche: definizione e proprieta'. Proprieta' di diagonalizzabilita' delle applicazioni lineari simmetriche.
- (21/12) Esercizi.
- (17/12) Equazione di una quadrica, le due matrici ad essa associate, come cambiano al cambiare del riferimento cartesiano, invarianti dell'equazione e sua riduzione a forma canonica
- (18/12) Quadriche a centro, classificazione secondo il rango della matrice completa: quadriche non degeneri, coni e cilindri su coniche non degeneri, quadriche riducibili.
- (20/12) Classificazione delle quadriche non degeneri: ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi.
- Nota 8 (Applicazioni lineari simmetriche): pag. 1-3.
- Nota 10 (superfici).
TREDICESIMA SETTIMANA:
- (7/1) Cenni alle forme quadratiche. Esercizi di riepilogo.
- (9/1) Esercizi di riepilogo.
- (11/1) Esercizi di riepilogo.
- (8/1) Esercizi di riepilogo.
- (10/1) Esercizi di riepilogo.