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SETTIMANA |
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ARGOMENTI
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| Settimana 1 |
1 (05/03/2007 - 2 ore). |
Insiemi finiti ed insiemi numerabili
Sottoinsiemi di un insieme.
Unione ed intersezione di insiemi. Insiemi differenza. Complementare di un sottoinsieme. Diagrammi di Venn.
Cardinalita' di un insieme. Principio di inclusione ed esclusione ed applicazioni.
Partizione di un insieme mediante suoi sottoinsiemi.
Esercizi ed esempi.
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2 (07/03/2007 - 2 ore). |
Relazioni di equivalenza su un insieme A. Esempi e controesempi.
Classi di equivalenza degli elementi di A. Esempi concreti: le ore dell'orologio, abitanti di
palazzi divisi in scale, ecc...
Classi di equivalenza su gli interi Z rispetto alla divisibilita' per un qualsiasi intero n:
le classi sono [0], [1], ....., [n-1].
Due classi di equivalenza su A se si intersecano allora coincidono.
Una relazione di equivalenza su A induce una partizione di A in classi di equivalenza.
Viceversa una partizione di A induce una relazione di equivalenza su A e
le classi di equivalenza sono costituite dai sottoinsiemi che costituiscono la partizione.
Esercizi ed esempi.
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3 (09/03/2007 - 2 ore). |
Applicazioni: dominio, codominio ed insieme immagine.
Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive tra insiemi.
Operazioni ed applicazioni composte.
L'insieme A_S delle biezioni di un insieme S in se' ha il prodotto operatorio che e'
associativo, non commutativo, esiste sempre un elemento identico e per ogni elemento esiste
l'inverso.
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 2 |
4 (12/03/2007 - 2 ore). |
Concetto di Gruppo. Esempi concreti.
Gruppi abeliani e non.
Inversa di una composizione di due biezioni di un insieme in se'.
Fondamenti di combinatoria di insiemi finiti.
Esercizi ed esempi.
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5 (14/03/2007 - 2 ore). |
Combinatoria: disposizioni con e senza ripetizioni; permutazioni; combinazioni.
Fattoriale di un intero non-negativo e coefficienti binomiali.
Sviluppo di potenze n-esime di un binomio e triangolo di Tartaglia
per mezzo dei coefficienti binomiali.
Insieme delle parti di un insieme dato e somma di coefficienti binomiali.
Esercizi ed esempi. |
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6 (16/03/2007 - 2 ore) |
Gruppo simmetrico su n elementi: Sym(n).
Rappresentazione tabellare delle permutazioni: regola dell'inversa e della composta. Esempio: quadrato latino
di tutti gli elementi di Sym(3).
Rappresentazione in prodotto di cicli delle permutazioni di Sym(n).
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 3 |
7 (19/03/2007 - 2 ore). |
Nozione di orbita di un elemento rispetto ad una permutazione di Sym(n).
Ogni permutazione di Sym(n) si scrive, a meno dell'ordine, in modo unico
come prodotto di cicli disgiunti.
Il prodotto di cicli disgiunti e' commutativo (falso se le relative orbite dei cicli si interescano).
Il prodotto di potenze di un fissato ciclo e' commutativo.
Permutazione inversa di un k-ciclo e permutazione inversa di un prodotto di cicli disgiunti.
Ordine di una permutazione ciclica.
Prodotti di trasposizioni.
Esercizi ed esempi.
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8 (21/03/2007 - 2 ore). |
Classe di una permutazione.
Permutazioni di classe pari e di classe dispari.
Significato della parita' della classe di una permutazione per mezzo delle sue possibili fattorizzazioni
in prodotti di trasposizioni.
Il sottoinsieme Alt(n) delle permutazioni di Sym(n) di classe pari soddisfa gli assiomi di gruppo.
Esercizi ed esempi.
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9 (23/03/2007 - 2 ore). |
Sottogruppi (H, *) di un gruppo astratto (G,*).
Per ogni n, Alt(n) e' un sottogruppo di Sym(n).
Nozione di laterale destro H*g in un gruppo (G,*) di un sottogruppo H di G rispetto ad un elemento g non
appartenente ad H.
Alt(n) definisce una relazione di equivalenza su Sym(n), in cui le classi di equivalenza sono i laterali destri,
cioe' [id] = Alt(n) e [(1,2)] = Alt(n) (1,2).
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 4 |
10 (26/03/2007 - 2 ore). |
Ordine di un gruppo e di un sottogruppo.
Ordine di un elemento g di un gruppo G, ord(g).
Sottogruppo ciclico di un gruppo G generato da un elemento g: e' sempre abeliano e ha ordine uguale a ord(g).
Esempi di gruppi ciclici: (ZZ,+), i sottogruppi (mZZ, +) per ogni intero m, i sottogruppi di
Sym(n) generati da d-cicli.
Esempi di gruppi non ciclici: Sym(n) non puo' essere ciclico perche' non abeliano,
Alt(n) non puo' essere ciclico perche' non abeliano,
il sottogruppo di Sym(4) dato da H = { id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)} nonostante
abeliano e' non ciclico, perche' tutti i suoi elementi hanno ordine 2.
Esercizi ed esempi.
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11 (28/03/2007 - 2 ore). |
Un sottogruppo H di un gruppo G induce sempre una relazione di equivalenza su G.
Le classi di equivalenza sono i laterali destri H*g. I laterali destri sono tutti in biiezione con H.
Indice di H in G := [G:H].
Teorema di Lagrange e conseguenze immediate.
Esercizi ed esempi.
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12 (30/03/2007 - 2 ore). |
Esercizi di riepilogo sulle prime 11 lezioni per preparazione al I Esonero.
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| Settimana 5 |
13 (02/04/2007 - 2 ore). |
Assioma del buon ordinamento sui naturali ed applicazioni: principio di induzione I e II forma.
Divisione e divisibilita' sugli interi.
Se a e' un intero e b e' un intero non nullo, esistono e sono univocamente determinati due interi q e r tali che: (1)
r e' non negativo e minore di |b|, (2) a = bq + r.
Esercizi ed esempi.
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14 (04/04/2007 - 2 ore). |
Numeri primi.
Dati due interi a e b, esiste ed e' univocamente determinato (a,b) := il Massimo Comun Divisore positivo di a e b.
Algoritmo Euclideo per il calcolo di (a,b). Identita' di Bezout.
Numeri interi coprimi. Conseguenze: se p e' un numero primo tale che p | ab, allora o p | a oppure p | b.
Esercizi ed esempi.
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15 (06/04/2007 - 2 ore). |
Interruzione attivita' didattica per festivita' Pasquali.
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| Settimana 6 |
16 (09/04/2007 - 2 ore). |
Interruzione attivita' didattica per festivita' Pasquali.
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17 (11/04/2007 - 2 ore). |
Dati due interi a e b, esiste ed e' univocamente determinato [a,b] := il minimo comune multiplo positivo di a e b.
Relazione fondamentale: |a b| = (a,b) [a,b]. Determinazione del m.c.m. fra due interi per mezzo del calcolo del M.C.D.
Applicazioni: (a) il gruppo abeliano (ZZ, +) e' ciclico generato da 1 o da -1. (b) Ogni sottogruppo H di (ZZ, +)
e' ciclico generato da un opportuno intero positivo m, i.e. esiste m positivo t.c. H = m ZZ.
Dati due interi m e n, si ha che: (a) il sottogruppo determinato dalla intersezione di mZZ e di nZZ e'
il sottogruppo generato dal m.c.m. [m,n]; (b) il sottogruppo m ZZ + n ZZ e' quello generato dal M.C.D. (m,n).
L'insieme ZZ_m delle classi resto modulo m e' equivalente all'insieme dei laterali destri di ZZ rispetto al
suo sottogruppo mZZ.
L'insieme ZZ_m delle classi resto modulo m ha una struttura di gruppo: [a] + [b] = [a+b]. Rispetto a tale operazione,
ZZ_m e' ciclico.
Esercizi ed esempi.
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18 (13/04/2007 - 2 ore). |
Generatori di un gruppo ciclico astratto. Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico astratto e' a sua volta ciclico.
Applicazioni: generatori di ZZ_m, sottogruppi di ZZ_m.
Laterali destri di ZZ_m rispetto a suoi sottogruppi non banali.
Espressione b-adica degli interi.
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 7 |
19 (16/04/2007 - 2 ore).
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Teorema della fattorizzazione unica in ZZ. Applicazione per un altro modo di calcolare
M.C.D. e m.c.m.
Teorema: Esistono infiniti numeri primi in ZZ.
Congruenze fra gli interi. Definizioni e prime proprieta'.
Equazioni congruenziali su ZZ modulo m ed equazioni lineari in ZZ_m.
Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una soluzione di un'equazione congruenziale.
Esercizi ed esempi.
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20 (18/04/2007 - 2 ore). |
Se un'equazione congruenziale ammette una soluzione, ne ammette infinite.
Espressione della soluzione generale di un'equazione congruenziale.
Sistemi monici di equazioni congruenziali.
Teorema Cinese dei resti e soluzioni di un sistema monico di equazioni congruenziali.
Piccolo Teorema di Fermat.
Funzione di Eulero e numeri coprimi con un n dato. Proprieta' della funzione di Eulero.
Esercizi ed esempi.
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21 (20/04/2007 - 2 ore). |
Equazioni alle differenze lineari del I ordine: soluzione dell'omogenea e della non omogenea.
Regime permamente o di equilibrio asintoticamente stabile.
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 8 |
22 (23/04/2007 - 2 ore). |
Equazioni alle differenze lineari del II ordine: caso omogeneo.
Equazioni alle differenze lineari del II ordine: caso non omogeneo.
Esercizi ed esempi.
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23 (25/04/2007 - 2 ore). |
Interruzione attivita' didattica per festivita' 25 Aprile.
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24 (27/04/2007 - 2 ore). |
Esercizi di riepilogo sulle lezioni da 13 a 23 per preparazione al II Esonero.
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