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SEMESTRE |
SETTIMANA |
DATA |
ARGOMENTI
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Settimana 1 |
1 (27/09/2010 - 2 ore). |
[T] Capitolo 1
Teoria ingenua degli insiemi.
Indeterminate, n-uple, vettori.
Sistemi di equazioni lineari. Significati geometrici.
Matrice dei coefficienti di un sistema lineare, vettore dei termini noti di un sistema lineare. Matrice completa
di un sistema lineare.
Sistemi lineari omogenei e non omogenei.
Sistemi lineari compatibili ed incompatibili.
Un sistema lineare omogeneo e' sempre compatibile.
Esempi.
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2 (29/09/2010 - 2 ore). |
Descrizione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare SL(m,n, IR)
in funzione di una soluzione particolare di esso e dell'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo
SLO(m,n, IR) associato al sistema di partenza.
Matrici quadrate: diagonali, triangolari superiori ed inferiori.
Operazioni tra matrici. matrice nulla e matrice opposta di una matrice data.
Trasposta di una matrice.
Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.
Pivots di una matrice. Matrici ridotte per righe.
Matrici ridotte a gradini (o a scala). Pivots principali.
Sistemi lineari a gradini (o a scala). Pivots principali
e parametri indipendenti da cui dipendono le soluzioni del sistema.
Un SL(m,n, IR) ridotto a gradini e compatibile, con k pivots principali,
ammette soluzioni dipendenti da n-k parametri liberi.
Esempi.
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3 (30/09/2010 - 2 ore). |
Sistemi lineari equivalenti.
Operazioni elementari tra righe di una matrice. Modificazioni elementari e modificazioni
di matrici.
Applicazioni ai sistemi lineari.
Algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan.
Risoluzioni di sistemi lineari qualsiasi.
Esercizi ed esempi.
[T] Capitolo 2
Prodotto righe per colonne fra matrici.
Esercizi riepilogativi di settimana I: FOGLIO 1 sul sito web
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| I |
Settimana 2 |
4 (04/10/2010 - 2 ore). |
Proprieta' elementari del prodotto tra matrici.
Matrici riga e matrici colonna.
Trasposta di una matrice prodotto.
Matrice identita' nxn
Matrici quadrate di ordine 2 invertibili.
Esempi: matrici diagonali invertibili.
Matrici invertibili ed unicita' di soluzioni di sistemi lineari.
Esempi.
2 ORE ESERCITAZIONI EXTRA TENUTE DAL DOCENTE Aula 8 PP1 ore 11:30-13:30.
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5 (06/10/2010 - 2 ore). |
Sottomatrici di una matrice data.
Rango di una matrice. Rango di una matrice e modificazioni elementari.
Applicazioni: Teorema di Rouche'-Capelli e legami con l'algoritmo di riduzione a scala di Gauss-Jordan.
Esercizi ed esempi. |
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6 (07/10/2010 - 2 ore). |
[T] Capitolo 3
Determinanti di matrici quadrate: proprieta' elementari.
Calcolo del determinante di una matrice 2 x 2
Calcolo del determinante di una matrice 3 x 3 (metodo di Sarrus)
Cofattore o complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata.
Calcolo del determinante secondo lo sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o ad una colonna.
Rango di una matrice qualsiasi e determinanti di sue sottomatrici quadrate.
Una matrice nxn ha rango massimo n se e solo se il suo determinante e' non nullo.
Caratterizzazione di invertibilita' di una matrice quadrata per mezzo del suo determinate.
Determinazione dell'inversa di una matrice quadrata invertibile mediante la matrice aggiunta.
Esercizi ed esempi.
Esercizi riepilogativi di settimana II: FOGLI 2a e 2b sul sito web
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| I |
Settimana 3 |
7 (11/10/2010 - 2 ore). |
Applicazioni: formule di Cramer per determinare le soluzioni di sistemi lineari non omogenei quadrati di
rango massimo.
Minori di ordine k di una matrice rettangolare M e rango di M.
Teorema di Kronecher: caratterizzazione del rango di una matrice qualsiasi
mediante lo studio dei minori massimali e matrici orlate.
Teorema di Binet. Applicazioni: determinante di una matrice inversa.
Esercizi ed esempi.
2 ORE ESERCITAZIONI EXTRA TENUTE DAL DOCENTE Aula 8 PP1 ore 11:30-13:30.
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8 (13/10/2010 - 2 ore). |
[T] Capitolo 4
Segmenti orientati e segmenti equipollenti. Relazione di equivalenza di equipollenza.
Nozione di vettore geometrico e di spazio dei vettori geometrici
Somma tra vettori geometrici: regola del parallelogramma.
Vettore geometrico nullo, vettore geometrico opposto.
Operazioni tra vettori geometrici.
Spazi vettoriali reali: assiomi ed esempi.
Esempi di spazi vettoriali: IR^n, le matrici, le funzioni reali di variabile reale, ecc....
Sottospazi vettoriali: sottospazi propri e sottospazi banali. Esempi.
Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo SLO(p,q) di p equazioni in q indeterminate costituisce sempre
un sottospazio di IR^q.
Esercizi riepilogativi di settimana III: FOGLI 3a e 3b sul sito web
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9 (14/10/2010 - 2 ore). |
UNA ORA DI LEZIONE RECUPERATA 8/11/2010 (AULA 8 PP1, 11:30-12:15)
UNA ORA DI LEZIONE RECUPERATA 15/11/2010 (AULA 8 PP1, 11:30-12:15)
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| I |
Settimana 4 |
10 (18/10/2010 - 2 ore). |
Sottospazi vettoriali di matrici: matrici tirangolari superiori (inferiori), matrici diagonali, ecc....
Sottospazio intersezione e sottospazio somma di due sottospazi.
Somma diretta di sottospazi. Significato geometrico della somma diretta.
Sistemi di vettori.
Esercizi ed esempi.
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11 (21/10/2009 - 2 ore). |
Combinazioni lineari di vettori di V.
Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti.
r vettori sono linearmente dipendenti se e solo se ciascuno di essi puo' essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti.
W : = Lin {v_1,...,v_r} e' sempre un sottospazio di V.
ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori v_1, ...v_r se, e solo se,
i vettori v_1,...,v_r sono vettori linearmente indipendenti.
Esercizi ed esempi.
Esercizi riepilogativi di settimana IV: FOGLIO 4 sul sito web
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12 (22/10/2009 - 2 ore). |
UNA ORA DI LEZIONE RECUPERATA 22 /11/2010 (AULA 8 PP1, 11:30-12:15)
UNA ORA DI LEZIONE RECUPERATA 29/11/2010 (AULA 8 PP1, 11:30-12:15)
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| I |
Settimana 5 |
13 (25/10/2010 - 2 ore). |
Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali finitamente generati o di dimensione finita.
Lo spazio vettoriale delle funzioni reali di variabile reale (o dei polinomi in un'indeterminata)
ha dimensione infinita.
Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Teorema di estrazione di una base da un sistema di generatori di V.
Teorema di estensione ad una base di V a partire da un sistema di vettori linearmente indipendenti in V.
Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalita'.
Ogni spazio di dimensione finita ammette una base.
Definizione di DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V: e' una buona definizione (i.e. non dipende dalla base
prescelta ma e' una proprieta' intrinseca dell spazio vettoriale).
Esercizi ed esempi.
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14 (27/10/2010 - 2 ore). |
{0} e' finitamente generato ma non ha basi.
Applicazioni: basi e dimensioni di sottospazi propri di V.
Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali.
Estensione di una base di un sottospazio di V ad una base di V.
Sottospazi supplementari in V.
Esempi in IR^3.
Lo spazio delle matrici n x n (in particolare 3 x 3) risulta decomposto in somma diretta dei sottospazi di
matrici simmetriche e di matrici antisimmetriche.
Nel caso 3 x 3 lo spazio delle matrici dipende da 9 parametri liberi,
le matrici simmetriche dipendono da 6 parametri liberi, le matrici antisimmetriche da 3 parametri liberi.
Lo spazio delle matrici n x n (in particolare 3 x 3) risulta decomposto in somma dei sottospazi di
matrici triangolari superiori e di matrici triangolari inferiori. La somma non e' diretta dato che l'intersezione dei
due sottospazi e' costituita dalle matrici diagonali.
Base canonica di IR^n, base canonica di M(p x q; IR); ecc....
Dimensioni degli spazi vettoriali noti: IR^n, M(p x q; IR), Sym(3 x 3; IR), Antisym (3 x 3; IR), Diag (nxn; IR),
Triang(3x3; IR).
Dimensione dello spazio vettoriale prodotto di due spazi vettoriali.
Codimensione di un sottospazio proprio W di V.
Se V = IR^n, la codimensione di W e' il numero minimo di equazioni cartesiane indipendenti per
descrivere il sottospazio W.
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15 (29/10/2009 - 2 ore). |
Componenti di vettori rispetto alle differenti basi di uno spazio vettoriale V.
Matrici M_e(v) di sistemi di vettori v rispetto ad una base e.
Dimensione del Lin (v) e rango della matrice M_e(v).
Matrice cambiamento di base (o di passaggio) da una base e ad una base v di V.
Matrice di trasformazione delle componenti (o delle coordinate) di un vettore in due basi diverse.
[T] Capitolo 9
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
Dominio, codominio ed insieme immagine di un'applicazione lineare.
Esercizi ed esempi.
Esercizi riepilogativi di settimana V: FOGLIO 5 sul sito web
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| I |
Settimana 6 |
16 (1/11/2010 - 2 ore). |
FESTIVITA' OGNISANTI
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17 (3/11/2010 - 2 ore). |
Un'applicazione lineare f:V -> W e' individuata univocamente dalle immagini dei vettori di una base di V.
Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare.
Il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali, rispettivamente di V e di W.
Applicazioni iniettive e suriettive.
Caratterizzazione di iniettivita' per mezzo del Ker(f).
Caratterizzazione di suriettivita' per mezzo della dimensione di Im(f).
Esercizi ed esempi.
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18 (4/11/2010 - 2 ore). |
Generatori del sottospazio immagine di un'applicazione lineare.
Teorema di Nullita' piu' Rango: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
Applicazioni biiettive o Isomorfismi di spazi vettoriali.
Spazi vettoriali isomorfi.
Due spazi vettoriali sono isomorfi se, e solo se, hanno la stessa dimensione.
Formula di Grassmann.
Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLI 6, 6a, 6b sul sito web
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| I |
Settimana 7 |
19 (8/11/2010 - 2 ore). |
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita e matrici.
Calcolo di una base del Ker(f) e di una base di Im(f)
Calcolo di equazioni cartesiane e parametriche del Ker(f) e dell'Im(f).
Determinazione dell'insieme delle controimmagini di un vettore.
Rango di una matrice: significato geometrico come dimensione dell'immagine
dell'applicazione lineare associata alla matrice data.
Significato del teorema di Rouche'-Capelli e del teorema di Nullita' piu' Rango in termini
di applicazioni lineari ed insieme delle controimmagini di un vettore.
RECUPERO DI UNA ORA DI TEORIA DEL 14/10/2010 (AULA 8 PP1 11:30 - 12:15)
1 ORA ESERCITAZIONI EXTRA TENUTE DAL DOCENTE Aula 8 PP1 ore 12:30-13:15.
Esercizi ed esempi.
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20 (10/11/2010 - 2 ore). |
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e variazioni delle matrici rappresentative in basi diverse.
Rango di un'applicazione lineare.
[T] Capitolo 10
Matrice rappresentativa di combinazioni lineari di applicazioni lineari.
Composizione di applicazioni lineari e matrici rappresentative.
Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in se'. Operatori lineari o Endomorfismi di spazi vettoriali.
Automorfismi di spazi vettoriali.
Matrici rappresentative in basi diverse di un medesimo operatore.
Matrici quadrate coniugate (o simili). Relazione di coniugio o similitudine tra matrici.
Esercizi ed esempi.
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21 (11/11/2010 - 2 ore) |
Due matrici rappresentano lo stesso operatore lineare se e solo se sono coniugate.
Problema della diagonalizzabilita' di un'applicazione lineare.
Nozione di autovalore (reale) e di autovettore di un'applicazione lineare.
V_a(F) = Autospazio di un autovalore a dell'operatore F.
Un autospazio e' sempre un sottospazio di V.
Autospazio come nucleo dell' endomorfismo F - a I.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Condizioni di diagonalizzabilita' di un operatore lineare in termini delle dimensioni degli autospazi.
Un operatore lineare f su uno spazio vettoriale V e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base
per V costituita da autovettori di f.
Esercizi riepilogativi di settimana VII: FOGLIO 7 sul sito web
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| I |
Settimana 8 |
22 (15/11/2010 - 2 ore). |
CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore in termini delle dimensioni degli autospazi.
Calcolo degli autovalori di un operatore lineare.
Polinomio caratteristico di una matrice.
Teorema di Hamilton-Cayley (senza dimostrazione)
Due matrici simili (o coniugate) hanno lo stesso polinomio caratteristico, quindi stessa traccia e stesso determinate.
I coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice sono INVARIANTI
per classi di coniugio o similitudine.
Polinomio caratteristico di un operatore lineare. Traccia e determinante di un operatore.
Esercizi.
RECUPERO DI UNA ORA DI TEORIA DEL 14/10/2010 (AULA 8 PP1 11:30 - 12:15)
1 ORA ESERCITAZIONI EXTRA TENUTE DAL DOCENTE Aula 8 PP1 ore 12:30-13:15.
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23 (17/11/2010 - 2 ore). |
Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
Relazione tra le due molteplicita'.
CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore lineare f mediante le molteplicita' algebriche e geometriche
degli autovalori (reali) di f.
Diagonalizzabilita' di endomorfismi in dimensione 2.
Diagonalizzabilita' di endomorfismi in dimensione 3.
[T] Capitolo 5
Prodotti scalari su spazi vettoriali.
Spazi vettoriali euclidei.
Prodotto scalare standard in IR^n.
Proprieta' del prodotto scalare standard.
Esercizi.
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24 (18/11/2010 - 2 ore). |
Prodotti scalari e matrici simmetriche.
Matrici definite positive.
Teorema dei minori principali o di Jacobi-Sylvester (dimostrazione solo nel caso 2 x 2).
Vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare.
La nozione di ortogonalita' dipende strettamente dal prodotto scalare fissato sullo spazio vettoriale
euclideo (V, <,>).
Esercizi riepilogativi di settimana VIII: FOGLIO 8 sul sito web
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Settimana 9 |
25 (22/11/2010 - 2 ore). |
Un sistema di vettori a due a due ortogonali e' un sistema di vettori linearmente indipendenti.
Norma di un vettore. Versori. Versorizzazione di un vettore.
Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli convessi tra 2 vettori.
Basi ortogonali ed ortonormali.
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Sottospazio ortogonale ad un insieme S.
L'ortogonale di un sottoinsieme S ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.
Complemento ortogonale di un sottospazio.
Somma diretta ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo.
Esercizi
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26 (24/11/2010 - 2 ore). |
Norma di un vettore. Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz. Angolo convesso formato da due vettori in uno spazio vettoriale euclideo.
Versori. Versorizzazione di un vettore.
Basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo.
Matrice del prodotto scalare in una base ortonormale.
Decomposizione di un vettore secondo le sue componenti rispetto ad una base ortonormale.
Matrici ortogonali.
Relazione di congruenza tra matrici.
Le matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali sono matrici ortogonali.
In basi ortonormali le nozioni di congruenza e similitudine (o coniugio) coincidono.
Esercizi ed esempi.
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27 (25/11/2010 - 2 ore). |
Proiezioni ortogonali su sottospazi.
[T] Capitolo 6.
Spazi Affini. Azione per traslazione su uno spazio affine. Dimensione di uno spazio affine.
Rette in uno spazio affine. Vettore direttore di una retta affine.
Equazioni parametriche di rette in uno spazio affine.
Varieta' lineari in uno spazio affine.
Giacitura di una varieta' lineare.
Riferimenti cartesiani in uno spazio affine. Coordinate di punti in uno spazio affine.
Spazi euclidei. Distanza fra due punti.
Esercizi riepilogativi di settimana IX: FOGLI 9a e 9b sul sito web
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| I |
Settimana 10 |
28 (29/11/2010 - 2 ore). |
Mutue posizioni di rette in uno spazio affine: incidenti, parallele e sghembe.
Affinita' ed affinita' lineari in uno spazio affine.
Figure geometriche affinemente equivalenti.
Proprieta' affini e Geometria affine.
Isometrie ed isometrie lineari in uno spazio euclideo.
Figure geometriche isometriche (equiv. congruenti).
Proprieta' metriche (o euclidee) e Geometria euclidea.
Un'isometria e' un'affinita'. Non e' vero il viceversa. Due figure isometriche sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.
Affinita': le affinita' non conservano la distanza o gli angoli. Le affinita' conservano l'appartenenza
ed il parallelismo.
Isometrie dirette ed inverse. Le isometrie conservano la distanza, gli angoli, ecc..
Orientazioni di spazi vettoriali. Basi positivamente e negativamente orientate.
Trasformazioni lineari ed orientazioni
Le isometrie lineari dirette conservano l'orientazione di basi; le isometrie lineari inverse
non conservano l'orientazione di basi.
Esercizi.
RECUPERO DI DUE ORE DI TEORIA DEL 14/10/2010 (AULA 8 PP1 11:30 - 13:15)
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29 (1/12/2010 - 2 ore). |
[T] Capitolo 7.
Aree di parallelogrammi e di triangoli
con un vertice nell'origine ed interpretazione via determinanti. Aree di triangoli qualsiasi.
Equazioni cartesiane e parametriche di rette e di punti nel piano cartesiano: passaggio dalle une alle altre.
Giacitura di una retta, vettore direttore di una retta, parametri direttori di una retta.
Vettore normale ad una retta.
Mutue posizioni di due rette in IR^2 ed intersezioni: rette parallele, incidenti o coincidenti.
Formule di Geometria in IR^2: distanza tra 2 punti, retta per due punti, retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare)
ad una data, proiezione ortogonale di un punto su una retta, distanza punto-retta, ecc....
Esercizi.
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30 (2/12/2010 - 2 ore) |
Angolo convesso fra due rette orientate
Punto medio di un segmento, punto simmetrico rispetto ad un altro.
Fasci di rette propri in IR^2.
Fasci di rette impropri in IR^2.
Condizioni lineari sui fasci. Applicazioni.
Trasformazioni notevoli del piano cartesiano: traslazioni.
Rotazioni attorno all'origine di angolo t.
Esercizi riepilogativi di settimana X: FOGLIO 10 sul sito web
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| I |
Settimana 11 |
31 (6/12/2010 - 2 ore). |
Rotazioni di angolo t attorno ad
un punto qualsiasi del piano cartesiano.
Formule di simmetrie rispetto a punti e rispetto a rette qualsiasi.
Applicazioni: trasformazioni di figure geometriche tipo rette, circonferenze, quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, punti simmetrici rispetto ad un centro, retta simmetrica rispetto ad una retta, ecc...
Dilatazioni e deformazioni: sono affinita' ma non isometrie.
Due rette di IR^2 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
Forme canoniche metriche (o anche affini) di rette.
Circonferenze nel piano cartesiano come luoghi geometrici.
Equazioni parametriche e cartesiane di circonferenze di dato centro e dato raggio. Passaggio dalle une alle altre.
Esercizi.
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32 (8/12/2010 - 2 ore). |
FESTIVITA' IMMACOLATA
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33 (9/12/2010 - 2 ore). |
Rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza.
Intersezioni tra due circonferenze.
Equazione della retta tangente in un punto appartenente ad una circonferenza.
Equazioni di rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto esterno al cerchio determinato
[T] Capitolo 8
Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale IR^3, come proprieta' esclusiva di IR^3.
Proprieta' del prodotto vettoriale.
Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale.
Esercizi.
Esercizi riepilogativi di settimana XI: FOGLIO 11 sul sito web
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| I |
Settimana 12 |
34 (13/12/2010 - 2 ore). |
Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3
con spigoli dati.
Orientazione di terne di vettori e basi orientate positivamente (equivalentemente, equiorientate con la base canonica).
Spazio cartesiano IR^3. Sottovarieta' lineari: punti, rette e piani.
Equazioni parametriche e cartesiane di piani di IR^3.
Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.
Giacitura e parametri di giacitura di un piano.
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35 (15/12/2010 - 2 ore). |
Equazioni parametriche e cartesiane di rette di IR^3.
Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.
Giacitura, vettore direttore e parametri direttori di una retta.
Vettore normale ad un piano.
Piano vettoriale normale ad una retta.
Mutue posizioni di rette e piani in IR^3. Intersezioni.
Rette sghembe in IR^3.
Intersezioni e teorema di Rouche'- Capelli
Esercizi
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36 (16/12/2010 - 2 ore). |
Fasci e stelle di piani in IR^3.
Stelle di rette in IR^3.
Fasci di rette su un piano di IR^3.
Formule di Geometria in IR^3: retta per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta,
retta per un punto e perpendicolare ad un piano, piano per 3 punti non allineati, piano per un punto e
parallelo ad un piano dato, proiezione ortogonale di una retta su un piano,
distanza punto-piano, distanza tra due rette sghembe, ecc....
Esercizi
Esercizi riepilogativi di settimana XII: FOGLIO 12 sul sito web
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Settimana 13 |
37 (20/12/2010 - 2 ore). |
Trasformazioni notevoli dello spazio cartesiano IR^3: traslazioni.
Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto di IR^3.
Rotazione di dato angolo attorno all'asse x_i orientato positivamente (cioe' attorno al
vettore e_i della base canonica).
Formule di rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata. Rotazioni attorno ad una retta
orientata non passante per l'origine.
Trasformazioni di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
Due piani e due rette di IR^3 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
Forme canoniche metriche (ed affini) di piani in IR^3.
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38 (22/12/2010 - 2 ore). |
Sfere di IR^3: equazioni parametriche e cartesiane.
Piani secanti, esterni e tangenti ad una sfera. Coniche sezioni.
Centro e raggio di una circonferenza sezione piana di una sfera.
[T] Capitolo 11.
Operatori e matrici ortogonali: non sempre sono diagonalizzabili.
Operatori autoaggiunti in basi ortonormali e matrici simmetriche sono concetti equivalenti. Non e' vero in
qualsiasi base.
Matrici rappresentative in basi ortonormali distinte sono congruenti.
Matrici simmetriche e forme quadratiche. Rappresentazione di una forma quadratica in basi differenti determina
matrici congruenti.
Esercizi.
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39 (23/12/2010 - 2 ore). |
Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (dimostrazione completa nel caso
2x2 e 3x3).
Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti. Conseguenze e formulazioni equivalenti
Trasformazioni di coordinate che diagonalizzano una forma quadratica
Rango di una forma quadratica. Forme quadratiche (semi)definite positive,
(semi)definite negative ed indefinite.
Conseguenze e formulazioni equivalenti del Teorema Spettrale.
Autovettori di un operatore autoaggiunto, relativi ad autovalori diversi, sono ortogonali.
Esercizi.
Esercizi riepilogativi di settimana XIII: FOGLIO 13 sul sito web
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Settimana 14 |
40 (10/1/2011 - 2 ore). |
Segnatura di una forma quadratica.
Teorema di Sylvester.
Riduzione a forma canonica di Sylvester di una forma quadratica.
[T] Capitolo 12
Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate.
Coniche del piano cartesiano: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica. Matrice
simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata.
Coniche reali e supporti.
Esercizi.
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41 (12/01/2011 - 2 ore). |
Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti.
Matrice completa di un'isometria o di un'affinita' di IR^2. Equazione matriciale
di coniche congruenti ed affinemente equivalenti.
Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.
Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica
di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
Parabole. Coniche a centro: ellisse ed iperbole.
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42 (13/01/2011 - 2 ore). |
Forme canoniche metriche ed affini delle coniche di IR^2.
Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche.
Esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metriche. Esistono infinite
forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia).
Forme canoniche affini delle coniche di IR^2.
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Settimana 15 |
43 (17/01/2011- 2 ore).
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Classificazione di una conica.
Classificazione metrica di una conica.
Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2.
Isometria tra i due riferimenti.
Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica per mezzo del Teorema di Sylvester.
Algoritmo di riduzione a forma canonica affine di una conica. Affinita' tra i due riferimenti.
Esercizi.
RECUPERO DI DUE ORE DI TEORIA DEL 08/12/2010 (AULA 8 PP1 11:30 - 13:15)
Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLIO 14 sul sito web
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44 (19/01/2010 - 2 ore). |
[T] Capitolo 13
Classificazione di una quadrica in IR^3 per mezzo dello studio della matrice
simmetrica completa, di quella della parte omogenea di grado due della quadrica e della forma quadratica
ad essa associata.
Proprieta' metriche (i.e. invarianti per isometrie di IR^3) di una quadrica.
Proprieta' affini (i.e. invarianti per affinita' di IR^3) di una quadrica.
Quadriche generali.
Quadriche semplicemente, doppiamente o triplamente degeneri.
Significato geometrico di generale, semplicemente, doppiamente e triplamente degenere.
Esercizi ed esempi.
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45 (20/01/2011 - 2 ore). |
Paraboloidi. Quadriche a centro: ellissoidi ed iperboloidi.
Quadriche semplicemente degeneri: Coni e Cilindri.
Piano tangente in un punto ad una superficie definita da un polinomio f(X_1, X_2, X_3) = 0.
Forme canoniche metriche delle quadriche di IR^3.
Tabella fondamentale delle forme canoniche metriche ed affini delle quadriche: esistono 17 tipologie
di quadriche euclidee ed affini; esistono infinite quadriche non congruenti all'interno di una medesima tipologia.
Studio della geometria delle forme canoniche metriche delle quadriche
e delle loro sezioni piane.
Ellissoidi: piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani e piani tangenti.
Ellissoidi generali immaginari.
Esercizi ed esempi.
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| I |
Settimana 16 |
46 (24/01/2011- 2 ore). |
Iperboloidi a due falde. Piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani.
L'iperboloide ad una falda e' doppiamente rigato. Rette di una medesima schiera sono sghembe; rette di
schiere diverse si intersecano in un punto.
Paraboloide ellittico. Studio delle sue sezione piane.
Paraboloide iperbolico. E' doppiamente rigato. Studio delle sue sezioni piane.
Cono immaginario. Cono quadrico e sue generatrici. Studio delle sue sezioni piane. Generatrici di un cono reale.
2 ORE ESERCITAZIONI EXTRA TENUTE DAL DOCENTE Aula 8 PP1 ore 11:30-13:15.
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47 (26/01/2011- 2 ore). |
Equazioni parametriche del cono come rotazione attorno ad un asse. Generatrici e direttrici in forme
parametriche.
Cilindro ellittico, parabolico ed iperbolico. Studio delle sezioni piane. Generatrici di un cilindro.
Il piano tangente in un punto liscio P di un cono e/o di un cilindro e' costante lungo tutta la generatrice passante
per P.
Quadriche dopppiamente degeneri: Piani incidenti e piani paralleli. Luogo singolare.
Quadriche triplamente degeneri: Piano doppio.
Esercizi riepilogativi su QUADRICHE: FOGLIO 15 sul sito web.
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48 (27/01/2011 - 2 ore). |
Fondamenti di Geometria Proiettiva
Ampliamento della retta e del piano affine con elementi all'infinito.
Retta e piano proiettivi. Coordinate omogenee.
Elementi impropri (o all'infinito) della retta e del piano affine.
La retta proiettiva ha 2 carte (o schermi) affini principali.
Il piano proiettivo ha 3 carte (o schermi) affini principali.
Le equazioni di luoghi geometrici del piano proiettivo sono esclusivamente equazioni omogenee.
Punti impropri di rette affini. Chiusura proiettiva di rette affini.
Due rette proiettive distinte sono sempre incidenti. Nel piano proiettivo tutti i fasci di rette sono a centro.
Punti all'infinito delle coniche del piano affine: l'ellisse e' esterna alla retta all'infinito,
la parabola e' tangente alla retta all'infinito, l'iperbole e' secante la retta all'infinito.
Classificazione affine delle coniche per mezzo dello studio del loro comportamento all'infinito.
Esercizi riepilogativi su GEOMETRIA PROIETTIVA: FOGLIO 16 sul sito web
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