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ARGOMENTI
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| APRILE |
1 (9/4/10 - 3 ore). |
Richiami su applicazioni lineari e matrici rappresentative in basi date.
Richiami sui cambiamenti di basi. Notazione di Einstein.
Richiami sulla relazione di coniugio (o similitudine) tra matrici.
Conseguenze nelle rappresentazioni matriciali di endomorfismi in differenti basi.
Richiami sui cambiamenti di basi ortonormali in spazi vettoriali euclidei.
Applicazione Aggiunta di un'applicazione lineare fra spazi vettoriali euclidei. Solo se le basi
sono ortonormali la matrice rappresentativa dell'applicazione aggiunta di A coincide con la matrice trasposta di A.
Trasformazioni ortogonali e trasformazioni ortogonali speciali: strutture gruppali. Gruppo ortogonale
O(n,IR) e gruppo speciale ortogonale SO(n,IR). Nelle notazioni tensoriali questi sono Orth e Orth^+.
Le applicazioni lineari ortogonali non speciali non hanno una struttura di gruppo.
Corrispondenza biunivoca tra basi ortonormali, positivamente orientate (o destre) di IR^n ed elementi
di SO(n,IR)=Orth^+.
Esercizi ed esempi.
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2 (16/4/10 - 3 ore). |
Richiami sulla relazione di congruenza tra matrici.
Concetti geometrici che rimangono invarianti per classi di coniugio e che rimangono invarianti per classi di congruenza.
In basi ortonormali la relazione di similitudine e quella di congruenza tra coincidono.
Ortogonale di un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale euclideo: l'ortogonale ha sempre una struttura
di sottospazio vettoriale, anche se S era solo un sottoinsieme.
Doppio ortogonale e Span(S).
Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Teorema di nullita' piu' rango ed interpretazioni geometriche.
Teorema di Rouche' Capelli su compatibilita' e numero di soluzioni di un sistema lineare: significati geometrici
(propedeutici per lo studio degli stadi di equilibrio).
Struttura delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (o equivalentemente delle controimmagini di un vettore
rispetto ad un'applicazione lineare) in termini dei teoremi di Rouch'-Capelli e Nullita'+Rango.
Traduzione della tabella di equilibri in termini di
dimensioni del nucleo e dell'immagine dell'applicazione lineare individuata dalla matrice di equilibrio.
Esercizi ed esempi.
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3 (23/4/10 - 2 ore). |
Applicazioni della tabella di equilibri. Calcoli di carichi compatibili e calcolo dell'esspressione
generale dello spazio dei vincoli ammissibili.
Risultato: l'immagine di un'applicazione lineare coincide con l'ortogonale del nucleo dell'applicazione
lineare aggiunta (propedeutico per il Teorema dei lavori virtuali).
Traduzione della tabella di equilibri in termini di
dimensioni dei nuclei della matrice di equilibrio e della matrice di cinematica (aggiunta della matrice di equilibrio).
Esercizi ed esempi.
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| MAGGIO |
4 (7/5/10 - 3 ore). |
Traccia e determinante di un endomorfismo.
Polinomio caratteristico (o equazione secolare) di un endomorfismo.
Il polinomio caratteristico di una matrice: coefficienti, traccia e determinante.
Il polinomio caratteristico e' invariante per classi di coniugio.
Nell'ambito della geometria delle masse (o euclidea) i coefficienti del polinomio caratteristico sono invarianti
per classe di congruenza.
I coefficienti del polinomio caratteristico (o equazione secolare) vengono detti pertanto INVARIANTI METRICI dell'endomorfismo.
Polinomio caratteristico di un endomorfismo speciale ortogonale di IR^3: se l'endomorfismo non
e' l'identita', allora esiste sempre una direzione privilegiata corrispondente all'autospazio
dell'autovalore semplice 1; tale autospazio coincide con l'asse di rotazione dell'endomorfismospeciale ortogonale.
Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V.
Dimensione dello spazio vettoriale duale V*.
V e V* avendo stessa dimensione, sono isomorfi. L'isomorfismo fra V e V* non e' canonico in generale.
Algebra tensoriale. Prodotto tensoriale di due spazi vettoriali: definizione ed esempi.
Dimensione di un prodotto tensoriale di due spazi vettoriali e confronto con la dimensione del
prodotto cartesiano.
Esercizi ed esempi.
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5 (14/5/10- 3 ore). |
Potenza tensoriale di uno spazio vettoriale V. Tensori di ordine k su V.
Se V e' uno spazio vettoriale euclideo, V e V* sono canonicamente isomorfi.
Isomorfismo canonico: V* tensor W e' canonicamente isomorfo a Hom(V,W).
Tensori decomponibili o Diadi.
Rango di una diade.
3 Definizioni differenti di una diade e compatibilita' fra le 3 definizioni.
Prodotto tensoriale (o diadico) tra due vettori di IR^3.
Tensori del II ordine in IR^3.
Corrispondenza fra tensori del II ordine ed morfismi (o applicazioni lineari) di spazi vettoriali.
Esercizi ed esempi.
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6 (21/5/10 - 3 ore). |
I tensori del secondo ordine su IR^3 hanno una struttura di algebra: prodotto tra tensori.
Lin = algebra dei tensori del secondo ordine su IR^3. dim(Lin) = 9.
Traccia e determinante di un tensore. Polinomio caratteristico (o equazione secolare) di un tensore
del secondo ordine su IR^3. Esso e' invariante per congruenza. I coefficienti del polinomio caratteristico di
un tensore S sono: det(S), Tr(S) e II(S) e sono invarianti metrici del tensore.
Prodotto fra diadi (equiv. fra tensori decomponibili).
Tensori invertibili, inverso di un tensore, trasposto di un tensore.
Prodotto scalare fra tensori.
Tensori simmetrici e tensori antisimmetrici.
I tensori simmetrici del II ordine formano una sotto-algebra (Sym) di Lin tale che dim(Sym) = 6.
I tensori anti-simmetrici del II ordine formano una sotto-algebra (Skew) di Lin tale che dim(Skew) = 3.
Lin = Skew + Sym e' una decomposizione in somma diretta ortogonale. Equivalentemente,
ogni tensore si scrive in modo unico come somma di un tensore simmetrico e di un tensore alterno (o antisimmetrico).
Un tensore antisimmetrico di qualsiasi ordine ha sempre rango pari.
Un tensore antisimmetirco non nullo del II ordine su IR^3 ha sempre un nucleo uni-dimensionale,
detto asse del tensore antisimmetrico.
Rappresentazione di un tensore antisimmetrico. Isomorfismo ASSIALE tra Skew e IR^3. Corrispondenza tra
coordinate dell'asse e rappresentazione matriciale del tensore antisimmetrico.
Significato geometrico della corrispondenza assiale. L'asse e' il nucleo del tensore anti-simmetrico.
Famiglia ad un parametro di tensori in ORTH^+ (rotazioni), asse istantaneo di rotazione, tensore spin e
corrispondenza assiale con il tensore spin. L'asse del tensore spin e
l'asse istantano di rotazione della famiglia in Orth^+ coincidono.
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7 (28/5/10 - 3 ore). |
Simbolo di Ricci: prodotto misto e classi di permutazioni.
Tensori simmetrici e teorema spettrale: diagonalizzabilita' di tensori simmetrici.
Esempi semplici di tensori degli sforzi: tensione, trazione e taglio. Equazione secolare e invarianti metrici
(i.e. polinomio caratteristico e coefficienti come invarianti per congruenza).
Autovalori e molteplicita' algebrica e geometrica.
Vettore tensione e valori di tensione normale e tangenziale per una qualsiasi sezione piana.
Tensori degli sforzi. Decomposizione di un tensore degli sforzi in parte sferica e parte deviatorica.
I tensori tensione, trazione e taglio sono i building blocks di tutti i tensori degli sforzi (o simmetrici)
Ricerca di Autovalori ed autovettori di un tensore simmetrico. Questi sono rispettivamente le tensioni e le
direzioni principali (equiv. assi centrali principali).
Tensori simmetrici definiti positivi. Teorema dei minori principali per
verificare che un tensore simmetrico e' definito positivo.
Tensore di Inerzia J come caso particolare di un tensore simmetrico definito positivo: l'asse z e' asse principale
centrale (equiv. autovettore) relativamente al valore di Inerzia j_0.
Tensore di inerzia ridotto J_r, ellisse di inerzia ad esso associata. Forma canonica dell'ellisse affine.
Significati meccanici.
Cenni sulla polarita' definita da un' ellisse affine e sulle Polarita' di Inerzia
(i.e. ellisse di inerzia e polarita' da essa subordinate)
CONSEGNA DA PARTE DEL DOCENTE AGLI ISCRITTI DEI FOGLI DI VALUTAZIONE SCRITTA PER RICEVERE L'IDONEITA'.
I FOGLI DI VALUTAZIONE DOVRANNO ESSERE RICONSEGNATI AL DOCENTE IN DATA 7/6/2010.
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