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SETTIMANA |
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ARGOMENTI
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| Settimana 1 |
1 (10/12/2007 - 2 ore). |
Richiami di nozioni gia' affrontate nel corso di Geometria 1.
Prodotto scalare standard in IR^n. Proprieta' del prodotto scalare standard. ([T] pag. 105).
Vettori ortogonali ([T], pag. 111).
Norma di un vettore. Versori. Rendere un vettore un versore. ([T], pag. 118-119).
Basi ortogonali ed ortonormali.
Matrici cambiamento di base. Basi ortonormali in IR^n e matrici ortogonali: la matrice cambiamento di base tra due qualsiasi
basi ortonormali e' una matrice ortogonale. ([T], pag. 115-117).
Esercizi.
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2 (12/12/2007 - 2 ore). |
Coseno dell'angolo convesso formato da due vettori. ([T], pag. 118-119).
Relazione di congruenza tra matrici quadrate. ([T], pag. 115-117).
Orientazione di basi. Basi equiorientate. Basi ortonormali positivamente orientate ([T], pag. 147-149).
Matrici ortogonali speciali e non speciali ([T], Osservazione 6.5 pag. 146).
Matrici simmetriche ed antisimmetriche. ([T], Definizione 1.10 pag. 22).
Riferimenti cartesiani ortonormali. Distanza fra due punti ([T], pag. 128-129, 133-135).
Aree di triangoli con un vertice nell'origine. Aree di triangoli qualsiasi, come
differenza di aree di triangoli con un vertice nell'origine ([T], pag. 151).
Esercizi.
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3 (13/12/2007 - 2 ore). |
Trasformazioni notevoli del piano cartesiano: traslazioni, rotazioni attorno all'origine ed attorno
ad un punto qualsiasi del piano cartesiano, simmetrie rispetto a rette vettoriali e rispetto a rette
affini qualsiasi. ([T], pag. 171-177).
Isometrie dirette ed inverse. Le isometrie conservano la distanza, gli angoli, ecc..([T], pag. 143-146).
Le isometrie
lineari dirette conservano l'orientazione di basi; le isometrie lineari inverse non conservano l'orientazione di basi
([T], pag. 148-149).
Trasformazioni di figure geometriche: rette, circonferenze, quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, ecc...
Esercizi.
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| Settimana 2 |
4 (17/12/2007 - 2 ore). |
Simmetrie rispetto a punti di IR^2. Dilatazioni e deformazioni ([T], pag. 171-179).
Affinita': le affinita' non conservano la distanza o gli angoli. le affinita' conservano l'appartenenza ed il parallelismo
([T], pag. 135-141).
Le isometrie sono affinita' ma non e' vero il viceversa (per esempio le dilatazioni e le deformazioni).
Trasformazioni di figure geometriche: rette, circonferenze, quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, ecc...
Figure geometriche affinemente equivalenti. Proprieta' affini (o della geometria affine) ([T], pag. 136).
Figure geometriche congruenti (o isometriche). Proprieta' euclidee (o della geometria euclidea) ([T], pag. 144).
Due figure isometriche sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.
Due rette di IR^2 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
Forme canoniche di rette ([T], pag. 180-181).
Circonferenze nel piano cartesiano IR^2: equazioni parametriche e cartesiane ([T], pag. 181-182).
Intersezioni di una circonferenza ed una retta e di due circonferenze ([T], pag. 182-184).
Esercizi.
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5 (19/12/2007 - 2 ore). |
Retta tangente in un punto appartenente ad una circonferenza. Rette tangenti
ad una circonferenza da un punto esterno al cerchio determinato dalla circonferenza ([T], pag. 185-186).
Circonferenza determinata da due sue corde (Esercizio).
Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale IR^3, come properieta' esclusiva di IR^3.
Proprieta' del prodotto vettoriale ([T], pag. 189-191).
Esercizi.
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6 (20/12/2007 - 2 ore) |
Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati.
Orientazione di terne di vettori e basi orientate positivamente (equivalentemente, equiorientate con la base canonica).
Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale ([T], pag. 191-193).
Trasformazioni notevoli dello spazio cartesiano IR^3: traslazioni;
rotazione di dato angolo attorno all'asse x_1 orientato positivamente (cioe' attorno al vettore e_1).
Formule di rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata.
Rotazioni attorno ad una retta orientata non passante per l'origine.
Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto di IR^3. Trasformazioni
di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
Due piani e rette di IR^3 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
Forme canoniche di piani e di rette di IR^3 ([T], pag. 227-236).
Esercizi.
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| Settimana 3 |
7 (07/01/2008 - 2 ore). |
Sfere in IR^3: equazioni cartesiane ([T], pag. 237-238).
Intersezioni sfera-piano: piano secante, piano tangente e piano esterno ad una sfera.
Equazione cartesiana del piano tangente ad una sfera in un suo punto ([T], pag. 238-239).
Circonferenze in IR^3: rappresentazioni cartesiane. Centro e raggio di una circonferenza
sezione di una sfera e di un suo piano secante ([T], pag. 240-241).
Intersezioni: sfera-retta ([T], pag. 241-242).
Esercizi.
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8 (09/01/2008 - 2 ore). |
Operatori e matrici ortogonali: non sempre sono diagonalizzabili ([T], pag. 279-280).
Operatori autoaggiunti in basi ortonormali e matrici simmetriche sono concetti equivalenti ([T], pag. 280-283).
Matrici simmetriche e forme quadratiche. Rappresentazione di una forma quadratica in basi differenti determina
matrici congruenti. ([T], pag. 283- 286)
Esercizi.
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9 (10/01/2008 - 2 ore). |
Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (dimostrazione completa nel caso
2x2 e 3x3) ([T], pag. 291-292).
Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti. Conseguenze e formulazioni equivalenti ([T],
pag. 292-295).
Trasformazioni di coordinate che diagonalizzano una forma quadratica ([T], 295-296).
Rango e segnatura di una forma quadratica. Forme quadratiche (semi)definite positive,
(semi)definite negative ed indefinite. ([T], pag. 288 e 296-298).
Esercizi.
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| Settimana 4 |
10 (14/01/2008 - 2 ore). |
Esercizi riepilogativi su forme quadratiche di ordine 3.
Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate ([T], pag. 301-302)
Coniche del piano cartesiano: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica. Matrice
simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata ([T]. pag. 303-304).
Coniche reali e supporti ([T], pag. 304-305).
Esercizi ed esempi.
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11 (16/01/2008 - 2 ore). |
Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti ([T], pag. 305-306).
Matrice completa di una isometria o di un'affinita' di IR^2 ([T], pag. 307). Equazione matriciale
di coniche congruenti ed affinemente equivalenti ([T], pag. 307).
Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa (Esempio 12.3 [T], pag. 306).
Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine) ([T], pag. 309).
Esercizi.
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12 (17/01/2008 - 2 ore). |
Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine)
([T], pag. 310).
Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica
di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine)
([T], pag. 310).
Parabole e coniche a centro. Ellisse ed iperbole ([T], pag. 311).
Forme canoniche metriche ed affini delle coniche di IR^2 ([T], pag. 311).
Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche ([T],
pag. 312-316).
Esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metriche. Esistono infinite
forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia) ([T], pag. 317-318).
Esercizi.
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| Settimana 5 |
13 (21/01/2008 - 2 ore). |
Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2 ([T], pag. 319-322).
Classificazione metrica di una conica.
Isometria tra i due riferimenti.
Come disegnare una qualsiasi conica P(X_1, X_2) = 0 del piano nel riferimento originale (IR^2; O, x_1, x_2).
Esercizi.
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14 (23/01/2008 - 2 ore). |
Forme canoniche affini delle coniche di IR^2 ([T], pag. 323-325).
Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica.
Algoritmo di riduzione a forma canonica affine di una conica ([T], pag. 325-327).
Classificazione affine di una conica.
Esempi di riduzione a forma canonica metrica ed affine di una conica di IR^2 ed
isometrie ed affinita' tra riferimenti.
Esercizi ed esempi.
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15 (24/01/2008 - 2 ore). |
[T, pag. 329-336].
Classificazione di una quadrica in IR^3 per mezzo dello studio della matrice
simmetrica completa, di quella della parte omogenea di grado due della quadrica e della forma quadratica
ad essa associata.
Proprieta' metriche (i.e. invarianti per isometrie di IR^3) di una quadrica.
Proprieta' affini (i.e. invarianti per affinita' di IR^3) di una quadrica.
Quadriche generali. Paraboloidi. Quadriche a centro: ellissoidi ed iperboloidi.
Quadriche semplicemente degeneri: Coni e Cilindri.
Quadriche doppiamente o triplamente degeneri.
Significato geometrico di generale, semplicemente, doppiamente e triplamente degenere.
Esercizi ed esempi.
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| Settimana 6 |
16 (28/01/2008 - 2 ore). |
Forme canoniche metriche delle quadriche di IR^3 ([T], pag. 337).
Studio della geometria delle forme canoniche metriche delle quadriche
e delle loro sezioni piane ([T], pag. 338-347).
Ellissoidi: piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani e piani tangenti.
Ellissoidi generali immaginari.
Iperboloidi: ad una e a due falde. Piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani.
L'iperboloide ad una falda e' doppiamente rigato. Rette di una medesima schiera sono sghembe; rette di schiere diverse
si intersecano in un punto.
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17 (30/01/2008 - 2 ore). |
Paraboloide ellittico. Studio delle sue sezione piane.
Paraboloide iperbolico. E' doppiamente rigato. Studio delle sue sezioni piane.
Cono immaginario. Cono quadrico e sue generatrici. Studio delle sue sezioni piane.
Cilindro ellittico, parabolico ed iperbolico. Studio delle sezioni piane.
Piani incidenti e piani paralleli.
Piano doppio.
Esercizi
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18 (31/01/2008 - 2 ore). |
Esercizi sulla classificazione delle quadriche. Studio delle loro sezioni piane. Determinazione delle
eventuali rigature.
[D] Geometria Proiettiva. Costruzione della retta proiettiva reale IP^1(IR) = IP^1.
Coordinate omogenee su IP^1.
IP^1 contiene due carte (o schermi) affini fondamentali A_0 e A_1. IP^1 = A_0 u A_1.
Punto all'infinito di A_0 e punto all'infinito di A_1.
Esercizi ed esempi
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| Settimana 7 |
19 (04/02/2008- 2 ore).
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[D] Geometria Proiettiva. Costruzione del piano proiettivo reale IP^2(IR) = IP^2. Coordinate omogenee su IP^2.
IP^2 contiene tre carte (o schermi) affini fondamentali A_0, A_1 e A_2. IP^2 = A_0 u A_1 u A_2.
Retta all'infinito di A_0, di A_1 e di A_2.
Geometria del piano proiettivo IP^2:
intersezioni tra rette proiettive. In IP^2 non esiste la nozione di parallelismo.
Chiusura proiettiva di rette affini. Punti impropri delle rette in carte affini di IP^2.
Esercizi.
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20 (06/02/2008 - 2 ore). |
[D] Geometria Proiettiva. Geometria del piano proiettivo IP^2: equazioni parametriche
e cartesiane di rette proiettive. Per due punti distinti di IP^2 passa una ed una sola retta proiettiva.
Fasci di rette proiettive per un punto.
Riferimenti proiettivi standard di IP^1 e di IP^2. Punti e rette fondamentali del riferimento di IP^2.
Proiettivitą di IP^1. Matrici rappresentative di una proiettivita'.
Esercizi.
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21 (07/02/2008 - 2 ore). |
[D] Geometria Proiettiva. Proiettivitą di IP^2. Matrici rappresentative di una proiettivita' di IP^2.
Teorema fondamentale delle proiettivitą di IP^n, con n = 1 oppure 2.
Punti fissi di una proiettivitą. Luoghi fissi e luoghi di punti fissi di una proiettivitą.
Determinazione delle matrici associate ad una proiettivita' che trasforma ordinatamente n+2 punti generali dati
di IP^n in altri n+2 punti generali di IP^n, n = 1,2.
Esercizi.
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| Settimana 8 |
22 (11/02/2008- 2 ore). |
[D] Geometria Proiettiva.
Prospettivitą.
Costruzione grafica di una prospettivitą (costruzione di Steiner).
Caratterizzazione delle prospettivita'. Una proiettivita' e' o una prospettivita' oppure e' una composizione di due
prospettivita'.
Applicazioni della costruzione di Steiner: costruzione di una proiettivita' da IP^1 a IP^1 senza uso
di coordinate omogenee di punti.
Teorema di Pappo e di Desargues. Applicazioni.
[D] Coniche proiettive. Coniche del piano proiettivo rappresentate da polinomi omogenei di II grado e
matrici simmetriche 3x3 associate.
Esercizi.
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23 (13/02/2008- 2 ore). |
[D] Coniche proiettive.
Coniche proiettive e proiettivita': forme canoniche proiettive.
Classificazione proiettiva delle coniche.
Calcolo di rette tangenti in un punto non singolare di una conica proiettiva a punti reali.
Esercizi.
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24 (14/02/2008 - 2 ore). |
Chiusura proiettiva di una conica affine contenuta in una delle tre carte fondamentali
e suoi punti impropri.
Corrispondenza tra coniche proiettive e curve che si determinano nelle tre carte fondamentali
A_0, A_1 e A_2. Esistono coniche proiettive che in una carta rappresentano l'insieme vuoto
oppure che in una carta rappresentano solo una retta.
Classificazione affine delle coniche dallo studio dei loro punti impropri e
delle loro chiusure proiettive.
Esercizi
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