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SETTIMANA |
DATA |
ARGOMENTI
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| Settimana 1 |
1 ( 11/12/2006 - 2 ore). |
Prodotto scalare standard in IR^2 e sue proprieta'.
Vettori ortogonali, norma di un vettore,
coseno dell'angolo fra due vettori.
Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz e diseguaglianza triangolare.
Proiezione ortogonale di un vettore su una retta vettoriale fissata.
Basi ortonormali in IR^2.
Esercizi.
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2 ( 13/12/2006 - 2 ore). |
Riferimenti cartesiani ortonormali del piano IR^2.
Aree di triangoli con un vertice nell'origine. Aree di triangoli qualsiasi, come
differenza di aree di triangoli con un vertice nell'origine.
Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano cartesiano IR^2.
Vettori normali ad una retta data.
Equazioni cartesiane e parametriche di rette passanti per un punto ed ortogonali
ad una retta data.
Esercizi.
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3 ( 14/12/2006 - 2 ore). |
Equazioni cartesiane e parametriche di: rette per due punti distinti,
rette ortogonali ad una retta data e passanti per un punto dato.
Intersezioni fra rette: casi parametrici, casi cartesiani e casi misti.
Distanza punto retta e distanza fra due rette parallele.
Esercizi.
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| Settimana 2 |
4 ( 18/12/2006 - 2 ore). |
Circonferenze nel piano reale. Circonferenza determinata da due sue corde.
Intersezioni di una circonferenza ed una retta e di due circonferenze.
Retta tangente in un punto appartenente ad una circonferenza. Rette tangenti
ad una circonferenza da un punto esterno al cerchio determinato dalla circonferenza.
Esercizi.
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5 ( 20/12/2006 - 2 ore). |
Trasformazioni del piano cartesiano: traslazioni, dilatazioni e rotazioni attorno all'origine ed attorno
ad un punto qualsiasi del piano cartesiano.
Trasformazioni di figure geometriche: rette, circonferenze, quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, ecc...
Esercizi. |
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6 ( 21/12/2006 - 2 ore) |
Trasformazioni del piano cartesiano: simmetrie rispetto a rette vettoriali e rispetto a rette
affini qualsiasi.
Determinanti di una rotazione e di una simmetria.
Trasformazioni di figure geometriche: rette, circonferenze, quadrati, rettangoli,
rombi, triangoli, ecc...
Orientazione di due vettori nel piano cartesiano. Basi equiorientate del piano e basi ortonormali equiorientate.
Esercizi.
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| Settimana 3 |
7 ( 08/01/07 - 2 ore). |
IR^3 come spazio cartesiano. Rette e piani vettoriali coordinati in IR^3. Prodotto scalare,
angolo fra due vettori, diseguaglianza di Cauchy-Schwartz e triangolare, proiezione ortogonale.
Proiezione di in vettore su una retta vettoriale e su un piano vettoriale.
Prodotto vettoriale in IR^3, come properieta' esclusiva di IR^3. Proprieta' del prodotto vettoriale.
Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati.
Orientazione di terne di vettori e basi orientate positivamente (equivalentemente, equiorientate con la base canonica).
Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale.
Esercizi.
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8 (10/01/07 - 2 ore). |
Equazioni di rette e piani nello spazio cartesiano: equazioni vettoriali parametriche,
equazioni scalari parametriche ed equazioni cartesiane. Passaggio dalle une alle altre.
Vettori normali ad una retta e vettore normale ad un piano.
Fascio di piani di asse una retta. Applicazioni.
Esercizi.
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9 (11/01/07 - 2 ore). |
Piani perpendicolari ad una retta data.
Altre applicazioni dei fasci di piani: proiezione ortogonale di una retta su un piano dato
Intersezioni in IR^3: piano-piano, retta-piano e retta-retta: casi cartesiano, parametrico e misto.
Piano per 3 punti.
Distanza punto-retta e distanza tra due rette parallele in IR^3.
Distanza punto-piano.
Esercizi.
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| Settimana 4 |
10 (15/01/07 - 2 ore). |
Piano passante per una retta l e parallelo ad una retta m, sghemba ad l.
Distanza fra due rette sghembe.
Sfere in IR^3: equazioni cartesiane. Piano tangente ad una sfera in un suo punto.
Il vettore normale al piano tangente in un punto q della sfera e' proporzionale
al gradiente della sfera valutato nel punto q.
Intersezioni: sfera-retta e sfera-piano.
Circonferenze in IR^3.
Esercizi.
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11 (17/1/07 - 2 ore). |
Trasformazioni di IR^3: traslazioni e dilatazioni. Trasformazioni di figure geometriche
(cubi, prismi, parallelepipedi) mediante traslazioni e dilatazioni.
Rotazione di dato angolo attorno all'asse x_1 orientato positivamente (cioe' attorno al vettore e_1).
Matrici ortogonali e loro proprieta' elementari.
Formule di rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata.
Esercizi.
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12 (18/01/07 - 2 ore). |
Trasformazioni di IR^3: rotazioni attorno ad una retta orientata non passante per l'origine. Trasformazioni
di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto di IR^3.
Esercizi
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| Settimana 5 |
13 (22/01/07 - 2 ore). |
Svolgimento esercizi riepilogativi su tutti gli argomenti delle prime 12 lezioni per preparazione
al I esonero.
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14 ( 24/01/07 - 2 ore). |
Gruppi di Trasformazioni dello spazio cartesiano IR^n.
Trasformazioni dello spazio vettoriale euclideo IR^n: Isometrie lineari e matrici ortogonali.
Determinante ed autovalori di matrici ortogonali.
Traslazioni come isometrie dello spazio cartesiano IR^n ma non dello spazio vettoriale euclideo IR^n.
Classificazione delle isometrie dello spazio cartesiano IR^n.
Affinitą; Affinitą lineari e matrici invertibili. Classificazione delle affinitą dello spazio cartesiano IR^n.
Luoghi geometrici isometrici e luoghi geometrici affinemente equivalenti: se C e C' sono isometrici, sono
anche affinemente equivalenti ma
non vale il viceversa.
Due rette di IR^n sono sempre isometriche e quindi affinemente equivalenti.
Esercizi ed esempi.
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15 (25/01/07- 2 ore). |
Forme canoniche metriche delle coniche di IR^2: studio delle proprieta' geometriche.
Forme canoniche affini delle coniche di IR^2.
Coniche isometriche e coniche affinemente equivalenti.
Generalita' sulle coniche euclidee in IR^2.
Esercizi.
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| Settimana 6 |
16 (29/01/07 - 2 ore). |
Esistenza di una base ortonormale di autovettori di una matriche simmetrica reale.
Applicazione allo studio della equazione di una conica generale per semplificare
la parte omogenea di grado 2.
Traslazioni in IR^2 per semplificare la parte lineare e/o la parte in grado
zero della equazione di una conica generale.
Algoritmo di riduzione di una conica alla sua forma canonica metrica.
Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica.
Esercizi.
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17 (31/01/07 - 2 ore). |
Esempi di riduzione a forma canonica metrica ed affine di una conica in IR^2 ed
isometrie o affinita' tra riferimenti. Esempi di classificazione affine ed euclidea di una conica.
Esercizi.
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18 ( 01/02/07 - 2 ore). |
Forme canoniche affini delle quadriche di IR^3.
Determinazione del tipo di una quadrica in IR^3 per mezzo dello studio del rango della matrice
simmetrica della parte omogenea di grado due della quadrica e della geometria delle
sezioni della quadrica con piani opportuni.
Deduzione della forma canonica affine di una quadrica in IR^3.
Esercizi.
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| Settimana 7 |
19 ( 05/02/2007 - 2 ore).
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Geometria Proiettiva: costruzione di IP^1(IR) e di IP^2(IR).
Esercizi.
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20 (07/02/2007 - 2 ore). |
Geometria del piano proiettivo IP^2: equazioni parametriche
e cartesiane di rette proiettive, intersezioni tra rette proiettive.
Fasci di rette proiettive.
Chiusura proiettiva di rette affini.
Punti impropri delle rette affini in carte affini (schermi) di IP^2.
Esercizi.
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21 (08/02/2007 - 2 ore). |
Riferimenti proiettivi standard di IP^1 e di IP^2.
Proiettivitą di IP^1 e IP^2.
Teorema fondamentale delle proiettivitą.
Punti fissi di una proiettivitą.
Luoghi fissi e luoghi di punti fissi di una proiettivitą.
Esercizi.
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| Settimana 8 |
22 (12/02/07 - 2 ore). |
Prospettivitą.
Costruzione grafica di una prospettivitą (costruzione di Steiner) ed applicazioni.
Coniche del piano proiettivo rappresentate da polinomi omogenei di II grado e matrici simmetriche 3x3 associate.
Esercizi.
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23 (14/02/07 - 2 ore). |
Coniche proiettive e proiettivita': forme canoniche proiettive.
Chiusura proiettiva di una conica affine contenuta in una delle tre carte fondamentali
e suoi punti impropri.
Corrispondenza tra coniche proiettive e curve che si determinano nelle tre carte fondamentali
A_0, A_1 e A_2. Esistono coniche proiettive che in una carta rappresentano l'insieme vuoto
oppure che in una carta rappresentano solo una retta.
Esercizi.
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24 ( 15/02/07 - 2 ore). |
Classificazione affine delle coniche dallo studio dei loro punti impropri e
delle loro chiusure proiettive.
Esercizi di ricapitolazione.
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