I semestre - A.A. 2025-2026
Docente:
Prof. Giulio
Codogni e-mail:
codogni@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Codocente: Prof. Flaminio Flamini (1 CFU = 10 Ore) e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Pagina web del corso: vedi al sito Sito e Programma
Argomenti svolti dal Codocente (Prof. F. Flamini):
* Lezione 29/10/2025 (2 ore)
Apostol-Parag. 4.13 Spazi lineari (o vettoriali) di Matrici
Matrici m righe e n colonne. Matrici riga (1 sola riga e n colonne), matrici colonna (m righe e una sola colonna)
O = matrice nulla mxn
M_{m,n}(IR) = insieme delle matrici mxn. Ha una struttura di IR-spazio vettoriale
Matrici elementari E_{i,j}, 1 <= i <=m, 1 <= j <= n
M_{m,n}(IR) è finitamente generato dalle matrici elementari E_{i,j}
M_{1,n}(IR) si identifica a IR^n
Il sistema delle matrici elementari {E_{i,j}} è un sistema di vettori linearmente indipendenti in M_{m,n}(IR)
Il sistema {E_{i,j}} è una BASE di M_{m,n}(IR). Pertanto dim(M_{m,n}(IR)) = mn come IR-spazio vettoriale
Caso m=n MATRICI QUADRATE DI ORDINE n per cui im(M_{n,n}(IR)) = n^2
INTEGRAZIONE DI APOSTOL
Diagonale principale di una matrice quadrata di ordine n. Matrice identità di ordine n: I_n
Diag_{n,n} = matrici diagonali di ordine n. Formano un sottospazio vettoriale di dimensione n di M_{n,n}(IR)
Scal_{n,n} = Span(I_n) = matrici scalari di ordine n. Formano un sottospazio vettoriale di dimensione 1 (o retta vettoriale) di M_{n,n}(IR)
Inclusioni proprie (o strette) di sottospazi vettoriali: si ha {O} < Scal_{n,n}(IR) < Diag_{n,n}(IR) < M_{n,n}(IR)
* Lezione 30/10/2025 (2 ore)
Arricchimento della stratificazione di inclusioni proprie di sottospazi vettoriali {O} < Scal_{n,n}(IR) < Diag_{n,n}(IR) < M_{n,n}(IR) vista la lezione precedente
Sottospazi vettoriali di matrici quadrate triangolari superiori e triangolari inferiori di ordine n
Calcolo di una base e della loro dimensione nei casi n=2 e n=3
I sottospazi TriangSup_{n,n} e TriangInf_{n,n} si interecano nel sottospazio Diag_{n,n}
Nel caso n=2 i sottospazi TriangSup_{2,2} e TriangInf_{2,2} sono IPERPIANI in M_{2,2}(IR) mentre nel caso n=3 la loro CODIMENSIONE in M_{3,3}(IR) è 3
Trasposta di una matrice rettangolare A in M_{m,n}(IR): determina una matrice in M_{n,m}(IR)
Comportamento della trasposizione rispetto alla combinazione lineare: (cA+dB)^T = c A^T + d B^T
Nel caso di matrici quadrate di ordine n ha senso parlare di MATRICI SIMMETRICHE (A = A^T) e MATRICI ANTISIMMETRICHE (A^T=-A)
Sym_{n,n}(IR) forma un sottospazio di M_{n,n}(IR): calcolo esplicito di una base e della dimensione per n=2,3
Antisym_{n,n}(IR) forma un sottospazio di M_{n,n}(IR): calcolo esplicito di una base e della dimensione per n=2,3
Sym_{n,n}(IR) e Antisym_{n,n}(IR) (a differenza dei sottospazi di matrici triangolari) si intersecano solo in {O}
Conseguenze: presa B una base di Sym_{n,n}(IR) e B' una base di Antisym_{n,n}(IR) sia ha che Span{B,B'} = M_{n,n}(IR) ed inoltre che l'unione insiemistica BuB' individua un'altra base di M_{n,n}(IR) differente dalla base data da tutte matrici elementari
Verifica che ogni matrice M quadrata di ordine n si scrive in modo unico come M = 1/2 (M+M^T) + 1/2 (M-M^T) dove M+M^T = parte simmetrica di M mentre M-M^T= parte antisimmetrica di M
Motivazioni con corsi/argomenti superiori
(1) Meccanica dei Solidi, Statica, Scienza delle Costruzioni: le parti simmetriche di M saranno associate a TENSORI DI SFORZI (trazione, pressione e taglio) le parti antisimmetriche a TENSORE SPIN e CORRISPONDENZA ASSIALE di rotazioni assiali di corpi rigidi
(2) Geometria: matrici simmetriche saranno associate a parti quadratiche di CONICHE e di QUADRICHE
(3) Architettura Tecnica: PARABOLOIDE A SELLA ed auto-equilibrio della struttura per via del comportamento della matrice simmetrica associata al paraboloide a sella. Utilizzo in architettura per coperture a "grandi volte"
* Lezione 08/01/2026 (2 ore)
Apostol-Parag. 7.14 e Dispense online su Coniche di IR^2 (a cura di Prof.ssa L. Geatti)
Coniche del piano cartesiano IR^2: esempi di varie tipologie di coniche
Forma quadratica di una conica, parte lineare di una conica, termine noto di una conica
Supporto di una conica
Matrice simmetrica completa 3x3 di una conica e matrice simmetrica 2x2 della forma quadratica di una conica: equazioni matriciali
Trasformazioni della geometria euclidea (isometrie cioè trasformazioni Mx + c dove M matrice ortogonale e c vettore traslazione) e loro azione sulle coniche
Alla ricerca di invarianti metrici per le coniche (cioè di quantità legate ad una conica che rimangono invarianti anche sotto trasformazioni date da isometrie o sotto cambio di equazione cartesiana)
Invariante 1 = Rango della matrice simmetrica completa di una conica: rg=3 (conica non degenere), rg=2 (conica semplicemente degenere), rg=1 (conica doppiamente degenere)
Invariante 2= segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica: det(A) > 0 (ellisse), det(A) < 0 (iperbole), det(A) = 0 (parabola)
Classificazione in tipologie di coniche del piano cartesiano con Invarianti 1 e 2
Esempio esplicito in cui si è stabilito che due coniche C_1 e C_2 NON POSSONO essere trasformata una nell’altra per mezzo di una isometria: utilizzo delle due matrici simmetriche associate (completa e della forma quadratica)
Utilizzo del teorema spettrale degli operatori autoaggiunti per diagonalizzare la forma quadratica di una conica
* Lezione 12/01/2026 (2 ore)
Apostol-Parag. 7.14 e Dispense online su Coniche di IR^2 (a cura di Prof.ssa L. Geatti)
Se due coniche C_1 e C_2 sono una la trasformata dell’altra per mezzo di una isometria di IR^2, allora le due coniche si dicono CONGRUENTI (o ISOMETRICHE)
Studio delle coniche a meno dell’azione delle isometrie, cioè a meno di congruenza
Forme canoniche metriche delle coniche:
(i) esistono 9 tipologie distinte di forme canoniche metriche e
(ii) (tranne per tipologia (9) = parabola doppiamente degenere) all’interno di una fissata tipologia, scelte diverse dei parametri (a,b) in gioco danno coniche della stessa tipologia ma non congruenti
Studio delle properietà geometriche delle forme canoniche metriche: centro di simmetria o vertice, assi di simmetria, semiassi, asintoti
* Lezione 13/01/2026 (2 ore)-registrata su canale TEAMS per sovrapposizione corso ad Ing Medica-Civile-Ambientale
Apostol-Parag. 7.14 e Dispense online su Coniche di IR^2 (a cura di Prof.ssa L. Geatti)
Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una qualsiasi conica del piano
Esercizi esplicativi