I semestre - A.A. 2025-2026
Docente:
Prof. Giulio
Codogni e-mail:
codogni@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Codocente: Prof. Flaminio Flamini (1 CFU = 10 Ore) e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Pagina web del corso: vedi al sito Sito e Programma
Argomenti svolti dal Codocente (Prof. F. Flamini):
* Lezione 29/10/2025 (2 ore)
Apostol-Parag. 4.13 Spazi lineari (o vettoriali) di Matrici
Matrici m righe e n colonne. Matrici riga (1 sola riga e n colonne), matrici colonna (m righe e una sola colonna)
O = matrice nulla mxn
M_{m,n}(IR) = insieme delle matrici mxn. Ha una struttura di IR-spazio vettoriale
Matrici elementari E_{i,j}, 1 <= i <=m, 1 <= j <= n
M_{m,n}(IR) è finitamente generato dalle matrici elementari E_{i,j}
M_{1,n}(IR) si identifica a IR^n
Il sistema delle matrici elementari {E_{i,j}} è un sistema di vettori linearmente indipendenti in M_{m,n}(IR)
Il sistema {E_{i,j}} è una BASE di M_{m,n}(IR). Pertanto dim(M_{m,n}(IR)) = mn come IR-spazio vettoriale
Caso m=n MATRICI QUADRATE DI ORDINE n per cui im(M_{n,n}(IR)) = n^2
INTEGRAZIONE DI APOSTOL
Diagonale principale di una matrice quadrata di ordine n. Matrice identità di ordine n: I_n
Diag_{n,n} = matrici diagonali di ordine n. Formano un sottospazio vettoriale di dimensione n di M_{n,n}(IR)
Scal_{n,n} = Span(I_n) = matrici scalari di ordine n. Formano un sottospazio vettoriale di dimensione 1 (o retta vettoriale) di M_{n,n}(IR)
Inclusioni proprie (o strette) di sottospazi vettoriali: si ha {O} < Scal_{n,n}(IR) < Diag_{n,n}(IR) < M_{n,n}(IR)
* Lezione 30/10/2025 (2 ore)
Arricchimento della stratificazione di inclusioni proprie di sottospazi vettoriali {O} < Scal_{n,n}(IR) < Diag_{n,n}(IR) < M_{n,n}(IR) vista la lezione precedente
Sottospazi vettoriali di matrici quadrate triangolari superiori e triangolari inferiori di ordine n
Calcolo di una base e della loro dimensione nei casi n=2 e n=3
I sottospazi TriangSup_{n,n} e TriangInf_{n,n} si interecano nel sottospazio Diag_{n,n}
Nel caso n=2 i sottospazi TriangSup_{2,2} e TriangInf_{2,2} sono IPERPIANI in M_{2,2}(IR) mentre nel caso n=3 la loro CODIMENSIONE in M_{3,3}(IR) è 3
Trasposta di una matrice rettangolare A in M_{m,n}(IR): determina una matrice in M_{n,m}(IR)
Comportamento della trasposizione rispetto alla combinazione lineare: (cA+dB)^T = c A^T + d B^T
Nel caso di matrici quadrate di ordine n ha senso parlare di MATRICI SIMMETRICHE (A = A^T) e MATRICI ANTISIMMETRICHE (A^T=-A)
Sym_{n,n}(IR) forma un sottospazio di M_{n,n}(IR): calcolo esplicito di una base e della dimensione per n=2,3
Antisym_{n,n}(IR) forma un sottospazio di M_{n,n}(IR): calcolo esplicito di una base e della dimensione per n=2,3
Sym_{n,n}(IR) e Antisym_{n,n}(IR) (a differenza dei sottospazi di matrici triangolari) si intersecano solo in {O}
Conseguenze: presa B una base di Sym_{n,n}(IR) e B' una base di Antisym_{n,n}(IR) sia ha che Span{B,B'} = M_{n,n}(IR) ed inoltre che l'unione insiemistica BuB' individua un'altra base di M_{n,n}(IR) differente dalla base data da tutte matrici elementari
Verifica che ogni matrice M quadrata di ordine n si scrive in modo unico come M = 1/2 (M+M^T) + 1/2 (M-M^T) dove M+M^T = parte simmetrica di M mentre M-M^T= parte antisimmetrica di M
Motivazioni con corsi/argomenti superiori
(1) Meccanica dei Solidi, Statica, Scienza delle Costruzioni: le parti simmetriche di M saranno associate a TENSORI DI SFORZI (trazione, pressione e taglio) le parti antisimmetriche a TENSORE SPIN e CORRISPONDENZA ASSIALE di rotazioni assiali di corpi rigidi
(2) Geometria: matrici simmetriche saranno associate a parti quadratiche di CONICHE e di QUADRICHE
(3) Architettura Tecnica: PARABOLOIDE A SELLA ed auto-equilibrio della struttura per via del comportamento della matrice simmetrica associata al paraboloide a sella. Utilizzo in architettura per coperture a "grandi volte"
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