SEMESTRE

SETTIMANA

LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

1 (2 ore)

Mar. 23/9

Preliminari/nozioni motivanti il corso. [T] Parag. 4.1 e 4.2

“Coordinate” sulla retta cartesiana IR^1, nel piano cartesiano IR^2 e nello spazio cartesiano tridimensionale IR^3

Punti e vettori in IR^1, IR^2 e IR^3.

Rette in IR^2 (equazioni cartesiane, equazioni parametriche e parallelismo con vettori direttori)

Regola del parallelogramma tra vettori ed operazioni con i vettori

IR^n come insieme di n-uple reali

IR^n come spazio vettoriale delle n-uple reali: assiomi e proprietà

Sottospazi vettoriali di IR^n

Esempi di sottospazi vettoriali banali di IR^n: S={0} e S=IR^n

Controesempi: sottoinsiemi di IR^n che non sono sottospazi vettoriali di IR^n

2 (2 ore)

Mer. 24/9

[T] Parag. 4.2 e 4.3

Definizione di spazio vettoriale V su IR: assiomi

Esempi di altri spazi vettoriali V oltre IR^n:

* Polinomi IR[x]

* Funz ={Funzioni reali di variabile reale}

* Matrici M(m,n; IR)

Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V

Esempi

* per ogni spazio vettoriale V, S={0} e S=V sono sottospazi banali di V

* IR[x] è sottospazio vettoriale non-banale dello spazio vettoriale Funz

3 (2 ore)

Ven. 26/9

[T] Parag. 4.3 e 4.4

Sistemi di vettori in uno spazio vettoriale V

Combinazioni lineari di vettori in uno spazio vettoriale V.

Esempi

Sistemi di vettori linearmente indipendenti e sistemi di vettori linearmente dipendenti.

Il vettore nullo è sempre linearmente dipendente

Ogni sistema di vettori contenente il vettore nullo è un sistema di vettori linearmente dipendente

Significati geometrici: un sistema di vettori è linearmente dipendente se e solo se uno di loro si può scrivere come combinazione lineare dei restanti

I

Settimana 2

4 (2 ore)

Mar. 30/9

[T] Parag. 4.4

Esempio 4.10:

(1) sistema linearmente dipendente formato da un solo vettore (significato geometrico)

(2) sistema linearmente dipendente formato da 2 vettori (significato geometrico)

(3) sistema linearmente dipendente formato da 3 vettori (significato geometrico)

Sottospazio vettoriale di V generato da un sistema di vettori Lin(v_1, ..., v_n) = Span (v_1, ..., v_n) (Proposizione 4.8)

Vari esempi di sottospazi Lin(v_1, ..., v_n) = Span (v_1, ..., v_n) in IR^2 con numero di vettori sovrabbondante e non

Sistemi di generatori per uno spazio vettoriale (Definizione 4.18)

Spazi vettoriali f.g. (finitamente generati) o di dimensione finita (Definizione 4.19)

Esempio 4.12: esempi di spazi vettoriali di dimensione finita e non

* {0}, IR^n, M(mxn; IR) sono tutti f.g.

* IR[x], Funz NON sono f.g.

I

Settimana 2

5 (2 ore)

Mer. 1/10

[T] Parag. 4.4

Base di un spazio vettoriale V f.g. (Definizione 4.20)

Lemma di Steinitz o Lemma sostitutivo (Lemma 4.1)

Esistenza di basi per uno spazio vettoriale f.g.. Tutte le basi di un medesimo spazio vettoriale V f.g. hanno la stessa cardinalità (Teoremi 4.1 e 4.2)

Concetto di dimensione dim(V): è una buona definizione (Definizione 4.22)

Definizione di IR[x]_{<=d} (o P_d sul libro di testo) come spazio vettoriale dei polinomi di grado al più d: è un sottospazio vettoriale f.g. di IR[x]

Determinazione di basi canoniche per IR^n, M(mxn; IR), P_d= IR[x]_{<=d}

Calcolo delle dimensioni di spazi vettoriali incontrati fino ad ora (pag. 92-93):

* {0} ha dimensione 0 e non ha basi

* IR^n ha dimensione n ed una sua base è la base canonica

* M(m,n) ha dimensione mn e una sua base è la base canonica costituita dalle matrici elementari E_{i,j}

* P_d= IR[x]_{<=d} ha dimensione d+1 e la sua base canonica è {1, x, x^2, ….., x^d}

I

Settimana 2

6 (2 ore)

Ven. 3/10

[T] Parag. 4.4

Teorema di estrazione di una base da un sistema di generatori: ogni sistema di generatori contiene una base (Teorema 4.3)

Metodo degli scarti successivi per estrarre una base da un sistema di generatori

Teorema di estensione ad una base: ogni sistema linearmente indipendente di vettori in V si estende ad una base di V (Teorema 4.4)

Conseguenze:

(1) Se v_1,….., v_d è un sistema di vettori linearmente indipendenti e dim(V) = d, allora il sistema di vettori è una base di V (Teorema 4.5 e 4.6)

(2) Se W è un sottospazio vettoriale di V f.g., allora W è f.g. e dim(W) è minore od uguale a dim(V). Inoltre se vale uguale, allora W=V è sottospazio banale di V

(3) Se W è sottospazio di V tale che dim(W) = dim(V)-1 allora W si dice IPERPIANO di V

(4) I sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale 1-dimensionale sono solo banali

Esempi:

(a) Esempi di estensione ad una base di un sistema LI in IR^3

(b) Esempi di estrazione di una base da un sistema di generatori per IR^3

(c) Calcolo di altre basi (non canoniche) per IR^2, IR^3, M(2x2; IR), IR[x]_{<= 2}

(d) Esempi di iperpiani in IR^2, IR^3 e IR^4

I

Settimana 3

7 (2 ore)

Mar. 7/10

[T] Parag. 1.2

Matrici: breve “refresh” di operazioni di spazio vettoriale di matrici M(mxn;IR)

Data una matrice A mxn, restano associate ad A sottomatrici riga R_i e sottomatrici colonna C_j di A

Caso m=n: matrici quadrate di ordine n

Casi particolari di matrici quadrate: triangolari superiori ed inferiori, matrici diagonali, matrici scalari

Matrice identità I_n di ordine n

Trasposta di una matrice rettangolare

Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche

I sottoinsiemi di matrici quadrate triangolari superiori ed inferiori, di matrici diagonali, di matrici scalari di matrici simmetriche e di matrici antisimmetriche: formano tutti sottospazi vettoriali di M(n,n;IR)

Esempio

(a) Calcolo delle dimensioni e determinazione di basi per n=2 (cioè in M(2x2;IR)) dei sottospazi di matrici quadrate di ordine 2: triangolari superiori ed inferiori, diagonali, scalari simmetriche antisimmetriche

(b) Caso n=3 (lasciato per esercizio)

I

Settimana 3

8 (2 ore)

Mer. 8/10

[T] Parag. 2.1 e 2.2

Prodotto tra matrici rettangolari: condizione di compatibilità del prodotto

Proprietà elementari del prodotto: associatività. Distributività rispetto a +

Osservazioni sul prodotto: non sempre è definito; pure se è definito in generale non è commutativo; esistono zero-divisori

Matrice trasposta di un prodotto di matrici (Teorema 2.1 no dimostrazione)

Matrici invertibili

Se una matrice quadrata ammette un’inversa, essa è unica (Proposizione 2.5)

Matrici invertibili 2x2 (Esempio 2.2 e Proposizione 2.6): CNES di invertibilità

I

Settimana 3

9 (2 ore)

Ven. 10/10

[T] Parag. 1.1

Sistemi lineari omogenei SLO(m,n) e non omogenei SL(m,n) di m equazioni in n indeterminate

Matrici associate ad un SL(m,n): A matrice dei coefficienti, C matrice completa, b = matrice colonna o vettore dei termini noti

Notazione di sistemi lineari che utilizza il prodotto righe per colonne Ax=b per SL(m,n) e Ax=0 per SLO(m,n)

C = (A,b) è dunque la matrice completa di un SL(m,n)

Soluzioni di un SL(m,n).

Sistemi lineari compatibili ed incompatibili

ESEMPIO: Utilizzo di CNES di invertibiltà di matrici 2x2 per capire quando un SL(2,2) amette o meno un’unica soluzione

Significati geometrici (Esempio 1.1 ed Osservazione 1.1):

(a) due rette incidenti nel piano IR^2 come sistema lineare due equazioni e due incognite compatibile con unica soluzione

(b) due rette strettamente parallele nel piano come sistema lineare due equazioni e due incognite incompatibile e descrizione delle rette in forma parametrica (controllo della loro comune giacitura)

(2) due rette coincidenti nel piano come sistema lineare due equazioni e due incognite compatibile con infinite soluzioni, descrizione delle retta in forma parametrica (controllo della giacitura)

Proposizione 1.1

(i) Un SLO(m,n) è sempre compatibile con almeno soluzione nulla o in IR^n

(ii) Il luogo S_0 = Sol (Ax=0) delle soluzioni in IR^n di un SLO(m,n) è sempre un sottospazio vettoriale di IR^n

I

Settimana 4

10 (2 ore)

Mar. 14/10

[T] Parag. 1.3 e 1.4

Proposizione 1.1

(iii) L’insieme S= Sol(Ax=b) di un SL(m,n) compatibile è della forma S= s_p + S_0 cioè S è un traslato di S_0 mediante una soluzione particolare s_p e S_0 è la giacitura di S

(iv) Un SL(m,n) compatibile si dice ammettere infinito alla k soluzioni o soluzioni che dipendono da k parametri liberi se dim(S_0) = k

* Quali sistemi SL(m,n) si risolvono semplicemente?

Pivots di una matrice (Definizione 1.13)

Matrice ridotta per per riga (Definizione 1.14)

Matrici ridotte a scala o a gradini: pivots principali

Rango di una matrice M ridotta a scala o a gradini:= rg(M) = numero di righe non nulle di M= numero dei pivots principali di M

Sistema SL(m,n) ridotto a gradini o a scala: lo è se la sua matrice completa C=(A|b) è ridotta a scala o a gradini

Le righe non nulle di C=(A|b) ridotta a scala o a gradini sono linearmente indipendenti

Condizione di compatibilità per un sistema lineare SL(m,n) a gradini (o a scala) e metodo di risoluzione a ritroso per un SL(m.n;IR) ridotto a scala (o a gradini) e compatibile (Teorema 1.4)

Caratterizzazione di sistema lineari SL(m,n) a gradini (o a scala) compatibili e con unica soluzione: se e solo se m=n e A matrice tirangolare superiore con tutti elementi non nulli sulla diagonale principale

I  

 Settimana 4 

11 (2 ore)

Mer. 15/10

[T] Parag. 1.3 e 1.4

* Come accorgersi della compatibilità e come risolvere un sistema SL(m,n) qualsiasi (cioè non necessariamente ridotto a scala o a gradini)?

Operazioni elementari sulle righe di una matrice (Definizione 1.11)

Sistemi lineari equivalenti ed operazioni elementari sulle righe della matrice completa di un SL(m,n) (Definizione 1.15 e Teorema 1.2)

Algoritmo di Gauss-Jordan di riduzione di una matrice qualsiasi ad una matrice a scala o a gradini (Teorema 1.3)

Applicazioni: ogni sistema SL(m,n) è equivalente ad un sistema ridotto a scala o a gradini

Esempi

 I 

Settimana 4  

12 (2 ore)

Ven. 17/10

[T] parag. 2.3

Sottomatrice di una matrice A (Definizione 2.5)

rg(A) = rango di una matrice A (Definizione 2.6)

Se A matrice ridotta a scala o a gradini, le due nozioni di rango coincidono

Le operazioni elementari non cambiano il rango (massimo ordine di sottomatrice invertibile) di una matrice

Il rango di A quantifica il massimo numero di righe indipendenti di A

I

Settimana 5

13 (2 ore)

Mar 21/10

[T] parag. 2.3

Conseguenze:

(a) Una matrice A mxn e la sua trasposta t^A nxm hanno lo stesso rango

(b) Dunque data una matrice A mxn il rango per righe di A ed il rango per colonne di A è lo stesso

(c) Teorema di Rouchè-Capelli (Teorema 2.7) rivisitazione CNES compatibilità di sistemi lineari e numero di parametri liberi

(d) Utilizzo del rango per riga: prendo la matrice completa di un sistema Ax=b e con il rango mi rendo subito conto del massimo numero di righe indipendenti di A e di C= (A|b) e dunque compatibilità o meno del SL(m,n)

(e) Se A quadrata di ordine n è di rango massimo n, allora A è invertibile. In particolare posso calcolare l’inversa di A attraverso n sistemi lineari associati Ax=e_j, 1 <=j <=n, dove e_j vettore colonna della base canonica

[T] parag. 4.5

Se B è una base di uno spazio vettoriale V di dim(V) =n , allora ogni vettore u di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base B

I coefficienti di tali combinazione lineari formano un vettore colonna c_B(u) in IR^n detto vettore colonna delle componenti (o coordinate) di u rispetto alla base B

Utilizzo del rango per colonna: sia B una base di V e sia W= {v_1, v_2,…., v_k} un sistema di vettori di V. Poniamo M_B (v_1, v_2,…., v_k) la matrice che ha per colonne i vettori colonna c_B(v_i) per 1 <= i <= k dunque M_B (v_1, v_2,…., v_k) è una matrice nxk. Allora dim(Lin/Span (v_1, v_2,…., v_k)) = rg(M_B (v_1, v_2,…., v_k))

I

Settimana 5

14 (2 ore)

Mer. 22/10

[T] Parag. 4.2, 4.4 e 4.5

* Matrici cambiamento di base M_{F, B} tra due basi diverse F e B di V: è una matrice quadrata invertibile

* M_{F, B} e M_{B, F} sono una l’inversa dell’altra

* Formula di cambio di coordinate di un vettore rispetto a due basi distinte

Intersezione di sottospazi vettoriali di V: è un sottospazio vettoriale (l’unione in generale non è un sottospazio vettoriale)

Somma di sottospazi vettoriali di V: è un sottospazio vettoriale

Somma diretta di sottospazi vettoriali: significato geometrico della somma diretta in termini di scritture uniche

Formula di Grassmann

Utilizzo della formula di Grassmann per sottospazi di matrici 2x2 per capire se sono in somma diretta o meno in V=M(2,2;IR)

I

Settimana 5

15 (2 ore)

Ven. 24/10

T] Cenni da Parag. 6.1, 6.2 e 6.3 (solo con V= IR^n) PROF PARESCHI

Traslazione su IR^n mediante i vettori ed IR^n come spazio affine

Riferimenti cartesiani affini nello spazio affine IR^n.

Refresh su teorema di struttura delle soluzioni di un SL(m.n) compatibile Ax=b:

(a) Sol(Ax=b) lo abbiamo definito come “traslato” del sottospazio vettoriale Sol (AX=0) che abbiamo denominato anche GIACITURA di Sol(Ax=b)

(b) Sol(Ax=b) si dice sottospazio affini dello spazio affine IR^n. Sol(Ax=0) è giacitura del sottospazio affine associato

Parallelismo tra sottospazi affini di IR^n ed interpretazione del Teorema di Rouchè -Capelli e della compatibilità dei SL(m,n) in termini di sottospazi affini:

(a) se un SL(m,n) è incompatibile allora nelle sue equazioni cartesiane ci sono almeno due iperpiani affini paralleli non coincidenti

(b) se SL(m,n) è compatibile il sottospazio affine delle soluzioni ha dimensione (come sottospazio affine) pari a quella della sua giacitura come sottospazio vettoriale di IR^n

Equazioni cartesiane ed equazioni parametriche di sottospazi affini di IR^n: passaggio dalle une alle altre

(a) da cartesiane a parametriche: risolvo SL(m,n) con i parametri liberi

(b) da parametriche a cartesiane:

(b-*) caso delle rette affini in IR^n: semplicemente eliminando il parametro t (esempio di una retta affine in IR^4)

(b-**) In generale, due metodi operativi per trovare equazioni cartesiane di un sottospazio affine della forma
                             S = a + span(w1,..,wk)

(b-** 1) W^\perp definito come il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo le cui equazioni sono date dai coefficienti di w1,..,wk. Risolvendo si trova una base A1,..,Ak di W^\perp.

Il sistema AX=0, dove A e' la matrice le cui righe sono A1,.., Ak ha come spazio delle soluzioni il sottospazio  W e sostituendo il vettore a in queste equazioni si trova b tale che AX=b e' un sistema di equazioni cartesiane per S

(b-** 2) Con eliminazione di Gauss-Jordan trovando prima equazioni cartesiane della giacitura W e poi di S.
Per la giacitura W: x appartiene a W se solo se il sistema di matrice completa C|x e' compatibile, dove C e' la matrice le cui colonne sono i vettori w1,..,wk. Facendo l'eliminazione di Gauss-Jordan si trovano le condizioni di compatibilita' del sistema, che sono equazioni cartesiane per W. Poi si trovano equazioni cartesiane di S come in (** 1).

I

Settimana 6

16 (2 ore).

Mar. 28/10

[T] Parag. 3.1 e 3.2 PROF PARESCHI

Matrici quadrate e determinanti

Caso 2x2

Caso 3x3 (Sarrus)

Regola di Laplace per il calcolo di un determinante nxn con n>3 (solo enunciato)

Proprietà dei determinanti: alternanza e multilinearità (solo enunciato)

I  

Settimana 6  

17 (2 ore).

Merc. 29/10

[T] Parag. 3.3 PROF PARESCHI

Determinanti e matrici invertibili: CNES per invertibilità di una matrice quadrata

Teorema di Binet (solo enunciato)

Determinante della matrice inversa

I  

 Settimana 6  

18 (2 ore).

Ven. 31/10

[T] Parag. 3.3 PROF PARESCHI

Regola di Cramer per la risoluzione di SL(n,n) compatibili a rango massimo per mezzo di quozienti di determinanti

Calcolo dell’inversa di una matrice invertibile: con uso dei determinanti e con matrice dei cofattori

I

Settimana 7

19 (2 ore)

Mar. 4/11

[T] parag. 5.2 (per ora solo per IR^n) PROF PARESCHI

Prodotto scalare standard in IR^n (Esempio 5.2)

Norma di un vettore di IR^n rispetto al prodotto scalare standard

Versori di IR^n

Versorizzazione di un vettore di IR^n rispetto al prodotto scalare standard

Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz in IR^n

Angoli convessi tra vettori di IR^n

I

Settimana 7

20 (2 ore)

Mer. 5/11

[T] parag. 5.2 e 5.3 PROF PARESCHI

Prodotti scalari vari su spazi vettoriali astratti (Definizione 5.4)

Esempi vari. Altri tipi di prodotti scalari su IR^n

Prodotti scalari e matrici simmetriche associate rispetto ad una base (Def. 5.5 e Proposizione 5.2)

Matrici simmetriche definite positive

I

Settimana 7

21 (2 ore)

Ven. 7/11

[T] parag. 5.4 PROF PARESCHI

Spazi vettoriali euclidei (V, <,>).

Vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare prefissato. La nozione di ortogonalita' fra vettori dipende dal prodotto scalare fissato sullo spazio vettoriale euclideo (V, <,>).

Un sistema di vettori a due a due ortogonali e' un sistema di vettori linearmente indipendenti.

Basi ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo.

Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Esistenza di basi ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo (V, <,>)

I  

Settimana 8

22 (2 ore)

Mar. 11/11

[T] parag. 5.4 e 5.5 PROF PARESCHI

Complemento ortogonale di un sottospazio U di V

Decomposizione di V in somma diretta ortogonale di un suo sottospazio U e del suo complemento ortogonale.

Basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo.

Matrice del prodotto scalare <,> in una base ortonormale dello spazio vettoriale euclideo (V, <,>).

Decomposizione di un vettore secondo le sue componenti rispetto ad una base ortonormale.

I  

Settimana 8

22 (2 ore).

Mer. 12/11

[T] parag. 5.5 PROF PARESCHI

Matrici quadrate ortogonali

Relazione di CONGRUENZA tra matrici.

Le matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali sono matrici ortogonali

Norma di un vettore. Versori. Versorizzazione di un vettore.

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Conseguenza: coseno dell'angolo convesso tra 2 vettori linearmente indipendenti.

I

Settimana 8

23 (2 ore)

Ven. 14/11

[T] parag. 5.5 PROF PARESCHI

Proiezione ortogonale di un vettore v sulla retta vettoriale generata da un vettore w, linearmente indipendente da v.

Proiezioni ortogonali su sottospazi vettoriali

[T] Parag. 6.3 (solo con V= IR^n) PROF PARESCHI

IR^n come spazio euclideo

Riferimenti cartesiani ortonormali in IR^n e distanza fra due punti di IR^n.

I

Settimana 9

24 (2 ore)

Mar. 18/11

[T] Capitolo 7 PROF PARESCHI

PIANO CARTESIANO IR^2 (con prodotto scalare standard)

Aree di parallelogrammi e di triangoli nel piano euclideo IR^2. Interpretazione via determinanti.

Equazioni cartesiane e parametriche di rette: passaggio dalle une alle altre.

Giacitura di una retta, vettore direttore di una retta, parametri direttori di una retta.

Vettore normale ad una retta.

Mutue posizioni di due rette in IR^2 ed intersezioni: rette parallele, incidenti o coincidenti.

Fasci di rette propri ed impropri in IR^2.

Condizioni lineari sui fasci ed applicazioni.

I

Settimana 9

25 (2 ore)

Mer. 19/11

[T] Capitolo 7 PROF PARESCHI

Fsempi di calcolo di alcune formule di Geometria affine ed euclidea in IR^2 (esercizi):

(i)                 punto medio di un segmento,

(ii)               punto simmetrico rispetto ad un altro,

(iii)             distanza tra 2 punti,

(iv)             retta per due punti,

(v)              retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data,

(vi)             proiezione ortogonale di un punto su una retta,

(vii)           distanza punto-retta,

(viii)         angolo convesso fra due rette orientate

(ix) Circonferenze in IR^2: rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza

I

Settimana 9

26 (2 ore)

Ven. 21/11

[T] Capitolo 8 PROF PARESCHI

SPAZIO CARTESIANO IR^3 (con prodotto scalare standard)

Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale euclideo IR^3. Proprieta' del prodotto vettoriale.

Determinazione di basi ortonormali destrorse di IR^3 per mezzo del prodotto vettoriale.

Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati

Spazio cartesiano IR^3 e suoi sottospazi affini: punti, rette e piani.

Equazioni parametriche e cartesiane di rette di IR^3. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Giacitura, vettore direttore e parametri direttori di una retta.

Equazioni parametriche e cartesiane di piani di IR^3. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Giacitura e parametri di giacitura di un piano.

Vettore normale ad un piano.

Piano vettoriale normale ad una retta.

I  

Settimana 10  

27 (2 ore)

Mar. 25/11

[T] Capitolo 8 PROF PARESCHI

Mutue posizioni di rette e piani in IR^3. Rette sghembe in IR^3.

Intersezioni. Interpretazioni geometriche del teorema di Rouche'- Capelli

Fasci propri ed impropri di piani in IR^3: applicazioni.

Esempi di calcolo di alcune formule di Geometria affine ed euclidea in IR^3:

(i) retta per due punti distinti,

(ii) retta per un punto e parallela ad una retta,

(iii) retta per un punto e perpendicolare ad un piano,

(iv) piano per 3 punti non allineati,

I  

Settimana 10  

28 (2 ore)

Mer. 26/11

[T] Capitolo 8 PROF PARESCHI

Esempi di calcolo di alcune formule di Geometria affine ed euclidea in IR^3:

(v) piano per un punto e parallelo ad un piano dato,

(vi) piano per un punto ortogonale ad una retta

(vii) proiezione ortogonale di una retta su un piano,

(viii) angoli tra rette e piani orientati, angolo tra una retta ed un piano,

(ix) distanza tra due punti,

(x) distanza punto-piano,

(xi) distanza tra due rette sghembe, ecc...

(xii) Sfere di IR^3: equazioni cartesiane, piani secanti, esterni e tangenti ad una sfera

I

Settimana 10

29 (2 ore)

Ven. 28/11

NO LEZIONE PER PERMETTERE SVOLGIMENTO ESONERO DI ANALISI MATEMATICA 1

I

Settimana 11

30 (2 ore)

Mar. 2/12

[T] Parag. 9.1, 9.2

Applicazioni lineari L: V → W di spazi vettoriali astratti: proprietà

Nucleo di un applicazione lineare: è un sottospazio del dominio V

Immagine di un’applicazione lineare: è un sottospazio del codominio W

Teorema sulla dimensione (o Teorema di Nullità e Rango)

Dimostrazione della Formula di Grassmann via applicazioni lineari

L iniettiva se e solo se il nucleo è banale

L suriettiva se e solo se Im(L) = W

I

Settimana 11

31 (2 ore)

Mer. 3/12

[T] Parag. 9.3 e 9.4

Teorema sulla dimensione (o Teorema di Nullità e Rango)

Matrici di applicazioni lineari rispetto a basi fissate in dominio e codominio

Controimmagini di un vettore: rilettura in termini di applicazioni lineari del Teorema di Rouchè-Capelli

Calcolo di una base del nucleo

Calcolo della dimensione dell’immagine utilizzando il rango della matrice

Operazioni tra applicazioni lineari

Diagrammi commutativi in varie basi (Teorema 9.8)

I

Settimana 11

32 (2 ore)

Ven. 5/12

[T] Parag. 10.1 e 10.2

Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale V in sé: endomorfismi di V od operatori lineari su V

Endomorfimi od Operatori lineari diagonalizzabili

Autovalori ed autovettori di un endomorfismo od operatore lineare

Autospazio associato ad un autovalore

I

Settimana 12

33 (2 ore)

Mar. 9/12

[T] Parag. 10.2 e 10.3

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti

Condizione di diagonalizzabilità di un endomorfismo od operatore lineare

Matrici CONIUGATE

Ricerca di autovalori ed autovettori

Polinomio caratteristico di una matrice A e calcolo dei suoi autovalori

Determinazione delle basi degli autospazi associati

I  

Settimana 12  

34 (2 ore)

Mer. 10/12

[T] Parag. 10.4 e 10.5

Polinomio caratteristico di un endomorfismo od operatore lineare

Come capire se un operatore lineare è diagonalizzabile?

Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore

Diseguaglianza tra molteplicità algebrica e geometrica

CNES per la diagonalizzabilità in termini delle radici del polinomio caratteristico e delle due molteplicità per ciascuna radice

  I

Settimana 12  

35 (2 ore)

Ven. 12/12

[T] Parag. 11.2 e 11.4

Operatori autoaggiunti in uno spazio vettoriale euclideo e matrici simmetriche in basi ortonormali

Se M è una matrice ortogonale, la relazione di CONIUGIO e di CONGRUENZA tra matrici coincidono

Autovalori di una matrice simmetrica 2x2 e 3x3 (Teorema 11.2)

I

Settimana 13

36 (2 ore)

Mar. 16/12

[T] Parag. 11.5

Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti

Significati in termini di diagonalizzabilità di matrici simmetriche in basi ortonormali di IR^n

Autospazi relativi ad autovalori distinti sono a due a due ortogonali

  I

  Settimana 13

37 (2 ore)

Mer. 17/12

[T] Parag. 11. 3

Forme quadratiche reali, operatori autoaggiunti e matrici simmetriche

Matrici rappresentative di forme quadratiche reali in basi distinte sono congruenti

Diagonalizzazioni di forme quadratiche reali

Forme quadratiche (semi)definite positive, (semi)definite negative ed indefinite

  I

  Settimana 13

38 (2 ore)

Ven. 19/12

[T] Parag. 11.6

Forme canoniche di Sylvester di forme quadratiche reali

Segnatura di una forma quadratica

  I

Settimana 14

39 (2 ore)

Mar. 23/12

Lezione Prof. Flamini registrata on-line su Teams (per permettere a studenti fuori sede di raggiungere le famiglie per le festività natalizie)

[T] Parag. 6.4 e 6.5 (solo caso IR^n)

Trasformazioni affini (o affinità) dello spazio affine IR^n

Equazioni di affinità rispetto ad un riferimento fissato di IR^n

Trasformazioni metriche (od isometrie) dello spazio euclideo IR^n

Equazioni di isometrie rispetto ad un riferimento fissato di IR^n

Esempi di alcune affinità od isometrie notevoli di IR^2

  I

Settimana 14  

40 (2 ore)

Mer. 7/01

[T] Capitolo 12

Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate.

Coniche del piano ed equazioni cartesiane: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica.

Matrice simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata.

Coniche reali e supporti.

Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti.

Matrice completa di un'isometria o di un'affinita' di IR^2.

Equazione matriciale di coniche congruenti ed affinemente equivalenti.

Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.

I  

Settimana 14  

41 (2 ore)

Ven. 9/01

[T] Capitolo 12

Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Parabole.

Coniche a centro: ellisse ed iperbole

I  

Settimana 15

42 (2 ore)

Mar. 13/1

[T] Capitolo 12

Classificazione affine delle coniche. Forme canoniche affini delle coniche.

Classificazione metrica (o euclidea) delle coniche. Forme canoniche metriche delle coniche.

Lista delle forme canoniche metriche delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metrico ma esistono infinite forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia).

Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche.

Forme canoniche affini delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista affine e per ogni tipologia esiste un'unica forma canonica affine.

I  

Settimana 15  

43 (2 ore)

Mer. 14/1

[T] Capitolo 12

Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2.

Determinazione dell’isometria tra i due riferimenti.

Esercizi esplicativi

  I

Settimana 15  

44 (2 ore)

Ven. 16/1

[T] Capitolo 12 

Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica per mezzo del Teorema di Sylvester.

Affinita' tra i due riferimenti.

Esercizi esplicativi