SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

1 (2 ore).

[T] Capitolo 7 e 8 (preliminari/nozioni motivanti il corso)

Coordinate cartesiane sulla retta cartesiana IR^1, nel piano cartesiano IR^2 e nello spazio cartesiano tridimensionale IR^3

Equazione cartesiana di una retta nel piano cartesiano IR^2

Giacitura di una retta. Vettore direttore di una retta nel piano cartesiano IR^2. Rette parallele in IR^2.

Equazioni cartesiane di piani nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3

Giacitura di un piano nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3. Piani paralleli nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3.

Equazioni cartesiane di rette nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3. Giacitura di una retta in IR^3. Vettore direttore di una retta nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3. Rette parallele in IR^3

Rette incidenti, coincidenti, parallele o sghembe nello spazio tridimensionale cartesiano IR^3

2 (2 ore).

[T] Capitolo 4 (preliminari)

IR^n come spazio vettoriale: segmenti orientati e segmenti equipollenti. Relazione di equipollenza di segmenti.

Nozione di vettore geometrico e di spazio dei vettori geometrici

Somma tra vettori geometrici: regola del parallelogramma.

Vettore geometrico nullo, vettore geometrico opposto, multiplo di un vettore geometrico

Operazioni tra vettori geometrici.

3 (2 ore).

[T] Capitolo 1

Matrici pxq. Matrici riga e matrici colonna.

Matrici quadrate nxn. Esempi particolari: matrici diagonali, matrici triangolari superiori ed inferiori, matrici scalari

Operazioni tra matrici. Matrice nulla e matrice opposta di una matrice data.

Trasposta di una matrice.

Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.

I

Settimana 2

4 (2 ore)

[T] Capitolo 1

Pivots di una matrice.

Matrici ridotte a gradini (o a scala). Pivots principali.

Sistemi di equazioni lineari di p equazioni ed q incognite e matrici associate: matrice dei coefficienti e matrice completa.

Sistemi lineari a gradini (o a scala). CNES affinché il sistema sia compatibile.

Un SL(p,q; IR) ridotto a gradini e compatibile, con k pivots principali, ammette soluzioni dipendenti da q-k parametri liberi.

Metodo della risoluzione del SL(p,q; IR) con sostituzione a ritroso.

I

Settimana 2

5 (2 ore)

[T] Capitolo 1

Rango di una matrice M ridotta a scala=numero dei pivots principali di M (equiv. numero delle righe non nulle di M).

Sistemi lineari equivalenti.

Operazioni elementari tra le righe di una matrice.

Matrice modificazione elementare di un'altra. Matrice modificazione di un'altra.

Applicazioni ai sistemi lineari.

Algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan: con un numero finito di operazioni elementari sulle righe, un qualsiasi SL(p,q) si puo' ridurre ad un sistema lineare ridotto a scala equivalente al sistema originario.

I

Settimana 2

6 (2 ore)

Esercitazioni Codocente

I

Settimana 3

7 (2 ore)

[T] Capitolo 2

Prodotto righe per colonne fra matrici. Condizioni di compatibilità per il prodotto

Proprieta' elementari del prodotto tra matrici.

Il prodotto tra matrici, quando e' definito, e' associativo, distributivo ma non e' in generale commutativo. Esistenza di zero-divisori.

Matrice identita' nxn.

Trasposta della matrice prodotto di due matrici.

Matrici invertibili.

CNES per l'invertibilita' di matrici quadrate di ordine 2.

Matrici invertibili ed unicita' di soluzioni di sistemi lineari.

I

Settimana 3

8 (2 ore)

[T] Capitolo 2 e 3

Sottomatrici di una matrice data.

Rango di una matrice A come ordine massimo di una sottomatrice invertibile di A.

Il rango di A e' anche il numero delle righe o delle colonne indipendenti di A. Il rango per righe ed il rango per colonne di A coincidono.

Rango di una matrice A e modificazioni elementari di A: il rango e' invariante.

Applicazioni: Teorema di Rouche'-Capelli e legami del rango con l'algoritmo di riduzione a scala di Gauss-Jordan.

I

Settimana 3

9 (2 ore)

Esercitazioni Codocente

I

Settimana 4

10 (2 ore).

[T] Capitolo 3

Determinanti di matrici quadrate: assiomi.

Calcolo del determinante di una matrice 2 x 2

Calcolo del determinante di una matrice 3 x 3 (metodo di Sarrus)

Cofattore o complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata.

Calcolo del determinante secondo lo sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o ad una colonna (senza dimostrazione)

Una matrice quadrata nxn ha rango massimo n se, e solo se, il suo determinante e' non nullo.

Caratterizzazione di invertibilità di una matrice quadrata per mezzo del suo determinate.

I  

 Settimana 4 

11 (2 ore).

[T] Capitolo 3

Matrice dei cofattori e matrice aggiunta di una matrice quadrata.

Inversa di una matrice quadrata (invertibile) mediante l'utilizzo del determinante e della matrice aggiunta.

Applicazioni: formule di Cramer per determinare le soluzioni di un SL(n,n) di rango massimo.

Teorema di Binet (senza dimostrazione). Conseguenza: determinante dell'inversa di una matrice.

Minori di ordine k di una matrice rettangolare M e rango di M.

Teorema di Kronecher (o dei minori orlati): caratterizzazione del rango di una matrice qualsiasi mediante lo studio dei minori massimali e matrici orlate (senza dimostrazione)

 I 

Settimana 4  

12 (2 ore).

 Esercitazioni Codocente

I

Settimana 5

13 (2 ore)

[T] Capitolo 4

Spazi vettoriali (reali): assiomi ed esempi.

Esempi di spazi vettoriali: IR^n, le matrici pxq, le funzioni reali di variabile reale, i polinomi di grado limitato, ecc....Prodotto cartesiano di due spazi vettoriali.

Sottospazi vettoriali: sottospazi propri e sottospazi banali. Esempi.

Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo SLO(p,q) di p equazioni in q indeterminate costituiscono sempre un sottospazio vettoriale di IR^q.

Sottospazi vettoriali di matrici: matrici triangolari superiori (inferiori), matrici diagonali, matrici simmetriche, matrici antisimmetriche, ecc....

Sottospazio intersezione e sottospazio somma di due sottospazi

I

Settimana 5

14 (2 ore)

[T] Capitolo 4 

Somma diretta di sottospazi. Significato geometrico della somma diretta: unicità della scrittura di vettori.

Sottospazi supplementari di uno spazio vettoriale V

M(n,n; IR) e' somma diretta dei sottospazi Sym(n,n;IR) (matrici simmetriche) e Antisym(n,n;IR) (matrici antisimmetriche). Questi sono due sottospazi supplementari di M(n,n; IR).

M(n,n; IR) e' somma dei sottospazi Triangsup(n,n; IR) (matrici triangolari superiori) e Trianginf(n,n; IR) (matrici triangolari inferiori): la somma non e' diretta dato che l'intersezione dei due sottospazi e' costituita dalle matrici diagonali. I due sottospazi non sono supplementari in M(n,n; IR).

Combinazioni lineari di vettori di V.

Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti. Caso del vettore nullo e di due vettori.

r vettori sono linearmente dipendenti se e solo se ciascuno di essi puo' essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti. Significato geometrico.

W : = Lin {v_1,...,v_r} oppure Span {v_1,...,v_r} e' sempre un sottospazio di V.

Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati o di dimensione finita.

IR^n e' finitamente generato. M(p,q; IR) e' finitamente generato: matrici elementari. Lo spazio vettoriale delle funzioni reali di variabile reale (o dei polinomi in un'indeterminata) non e' finitamente generato.

I

Settimana 5

15 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 6

16(2 ore).

 [T] Capitolo 4 

Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.

Esistenza di basi: ogni spazio di dimensione finita ammette una base.

Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalita'.

Definizione di DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V: e' una buona definizione (i.e. non dipende dalla base prescelta ma e' una proprieta' intrinseca dello spazio vettoriale).

{0} e' finitamente generato ma non ha basi.

dim(IR^n) = n; base canonica di IR^n. Altre basi di IR^n.

dim(M(p x q; IR)) = pq: base canonica di M(p x q; IR) (matrici elementari).

dim(IR[T]_{<= d}) = d+1: base canonica data da 1, T, T^2, ....., T^d.

Dimensione dello spazio vettoriale prodotto di due spazi vettoriali.

Dimensioni di sottospazi vettoriali noti: Sym(3 x 3; IR), Antisym (3 x 3; IR), Diag (3x3; IR), Triangsup(3x3; IR), Trianginf(3x3; IR): basi canoniche.

I  

Settimana 6  

17 (2 ore).

[T] Capitolo 4

Teorema di estrazione di una base da un sistema di generatori di V.

Teorema di estensione ad una base di V a partire da un sistema di vettori linearmente indipendenti in V.

Applicazioni: basi e dimensioni di sottospazi propri di V.

Per ogni intero non negativo k minore od uguale a dim(V) esistono sottospazi di V di dimensione k.

Ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di generatori v_1, ...v_r per V se, e solo se, i vettori v_1,...,v_r sono linearmente indipendenti, i.e. se e solo se costituiscono una base di V.

Componenti di vettori rispetto alle differenti basi di uno spazio vettoriale V.

I  

 Settimana 6  

18 (2 ore).

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 7

19 (2 ore)

[T] Capitolo 4

Formula di Grassmann

Sottospazi supplementari in uno spazio vettoriale V e loro dimensione.

Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali di IR^n.

Codimensione di un sottospazio proprio W di IR^n.

La codimensione di W e' il numero minimo di equazioni cartesiane indipendenti per descrivere il sottospazio W come luogo di soluzioni di un opportuno sistema lineare omogeneo.

Settimana 7

20 (2 ore)

[T] Capitolo 4

Matrici M_e(v) di sistemi di vettori v di V rispetto ad una base e di V.

Dimensione del sottospazio Lin(v) = Span(v) di V e rango della matrice M_e(v).

Matrice cambiamento di base (o di passaggio) da una base e ad una base v di V.

Matrice di trasformazione delle componenti (o delle coordinate) di un vettore in due basi diverse. 

Orientazioni di basi in uno spazio vettoriale

I

Settimana 7

21 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I  

Settimana 8

22 (2 ore).

 [T] Capitolo 5

Prodotti scalari su spazi vettoriali.

Prodotto scalare standard in IR^n. Proprieta' del prodotto scalare standard.

Altri tipi di prodotti scalari su IR^n.

Spazi vettoriali euclidei (V, <,>).

Prodotti scalari e matrici simmetriche: matrice di prodotto scalare in una base data.

Fissato un prodotto scalare, il valore del prodotto scalare e' invariante per cambiamenti di base.

Vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare prefissato. La nozione di ortogonalita' fra vettori dipende dal prodotto scalare fissato sullo spazio vettoriale euclideo (V, <,>).

Un sistema di vettori a due a due ortogonali e' un sistema di vettori linearmente indipendenti.

Norma di un vettore. Versori. Versorizzazione di un vettore.

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Conseguenza: coseno dell'angolo convesso tra 2 vettori linearmente indipendenti.

I  

Settimana 8

22 (2 ore).

[T] Capitolo 5

Basi ortogonali ed ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo.

Matrice del prodotto scalare in una base ortonormale di (V, <,>).

Proiezione ortogonale di un vettore v sulla retta vettoriale generata da un vettore w, linearmente indipendente da v.

Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esistenza di basi ortogonali ed ortonormali

Sottospazio ortogonale ad un insieme S di vettori di V.

L'ortogonale di un sottoinsieme S ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.

Complemento ortogonale di un sottospazio U.

I

Settimana 8

23 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 9

24 (2 ore)

[T] Capitolo 5

Somma diretta ortogonale in uno spazio vettoriale euclideo.

Proiezioni ortogonali su sottospazi

Decomposizione di un vettore secondo le sue componenti rispetto ad una base ortonormale.

Matrici ortogonali. Relazione di CONGRUENZA tra matrici.

Le matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali sono matrici ORTOGONALI.

I

Settimana 9

25 (2 ore)

[T] Capitolo 6.

IR^n come spazio affine: azione per traslazione di uno spazio vettoriale su un insieme di punti.

Sottospazi affini di IR^n: insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile ed azione dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato.

Rette in IR^n e loro direzione. Vettore direttore di una retta nello spazio affine IR^n . Equazioni parametriche di rette in uno spazio affine.

Mutue posizioni di rette in IR^n: rette incidenti, coincidenti, parallele e sghembe.

Nozione di rette sghembe in termini di algebra lineare. Nel piano affine IR^2 le uniche possibilità per due rette distinte che siano  incidenti o parallele.

Sottospazi affini di IR^n e loro giacitura.

Riferimenti cartesiani nello spazio affine IR^n. Coordinate di punti.

Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di IR^n e rilettura del teorema di Rouchè -Capelli.

Spazi euclidei e  riferimenti cartesiani ortonormali. Coordinate cartesiane in IR^n

Distanza fra due punti.

I

Settimana 9

26 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I  

Settimana 10  

27 (2 ore).

[T] Capitolo 7

Aree di parallelogrammi e di triangoli nel piano euclideo IR^2. Interpretazione via determinanti.

Equazioni cartesiane e parametriche di rette: passaggio dalle une alle altre.

Giacitura di una retta, vettore direttore di una retta, parametri direttori di una retta. Vettore normale ad una retta.

Mutue posizioni di due rette in IR^2 ed intersezioni: rette parallele, incidenti o coincidenti.

Fsempi di calcolo di alcune formule di Geometria affine ed euclidea in IR^2:

(i)                 punto medio di un segmento,

(ii)               punto simmetrico rispetto ad un altro,

(iii)             distanza tra 2 punti,

(iv)             retta per due punti,

(v)              retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data,

(vi)             proiezione ortogonale di un punto su una retta,

(vii)           distanza punto-retta,

(viii)         angolo convesso fra due rette orientate.

(ix) Circonferenze in IR^2: rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza

Fasci di rette propri in IR^2. Fasci di rette impropri in IR^2. Condizioni lineari sui fasci. Applicazioni.

I  

Settimana 10  

28 (2 ore).

[T] Capitolo 8

Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale euclideo IR^3. Proprieta' del prodotto vettoriale.

Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale.

Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati

Simbolo di Ricci

Spazio cartesiano IR^3. Sottospazi affini: punti, rette e piani.

Equazioni parametriche e cartesiane di rette di IR^3. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Giacitura, vettore direttore e parametri direttori di una retta.

Equazioni parametriche e cartesiane di piani di IR^3. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Giacitura e parametri di giacitura di un piano.

Vettore normale ad un piano. Piano vettoriale normale ad una retta.

I

Settimana 10

29 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 11

30 (2 ore)

[T] Capitolo 8

Mutue posizioni di rette e piani in IR^3. Rette sghembe in IR^3.

Intersezioni. Interpretazioni geometriche del teorema di Rouche'- Capelli.

Fasci propri ed impropri di piani in IR^3: applicazioni. Stelle di piani in IR^3: applicazioni. Fasci propri ed impropri di rette su un piano di IR^3.

Esempi di calcolo di alcune formule di Geometria affine ed euclidea in IR^3:

(i) retta per due punti,

(ii) retta per un punto e parallela ad una retta,

(iii) retta per un punto e perpendicolare ad un piano,

(iv) piano per 3 punti non allineati,

(v) piano per un punto e parallelo ad un piano dato,

(vi) piano per un punto ortogonale ad una retta

(vii) proiezione ortogonale di una retta su un piano,

(viii) angoli tra rette e piani orientati, angolo tra una retta ed un piano,

(ix) distanza tra due punti,

(x) distanza punto-piano,

(xi) distanza tra due rette sghembe, ecc...

(xii) Sfere di IR^3: equazioni cartesiane, piani secanti, esterni e tangenti ad una sfera.

I

Settimana 11

31 (2 ore)

[T] Capitolo 9

Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.

Dominio, codominio ed insieme immagine di un'applicazione lineare.

Un'applicazione lineare f:V -> W e' individuata univocamente dalle immagini dei vettori di una base di V.

Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Il nucleo e' un sottospazio vettoriale di V. L'immagine e' un sottospazio vettoriale di W.

Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Caratterizzazione di iniettivita' per mezzo della dimensione del Ker(f). Caratterizzazione di suriettivita' per mezzo della dimensione dell' Im(f).

Generatori del sottospazio immagine di un'applicazione lineare.

Teorema di Nullità e Rango (o Teorema della Dimensione): dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Applicazioni: (a) se dim(V) > dim(W) ogni applicazione lineare NON E' MAI INIETTIVA. (b) se dim(V) < dim(W) ogni applicazione lineare NON E' MAI SURIETTIVA

Applicazioni biiettive (o Isomorfismi) di spazi vettoriali.

Spazi vettoriali isomorfi: esempi e controesempi.

Due spazi vettoriali sono isomorfi se, e solo se, hanno la stessa dimensione.

Se due spazi vettoriali sono isomorfi vuol dire che ESISTE almeno un'isomorfismo definibile tra essi, ma non che tutte le applicazioni lineari tra essi sono biiettive: esempi e controesempi

I

Settimana 11

32 (2 ore)

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 12

33 (2 ore).

[T] Capitolo 9

Applicazioni lineari e matrici rappresentative in basi date.

Calcolo di una base del Ker(f) e di una base di Im(f).

Calcolo di equazioni cartesiane e parametriche del Ker(f) e dell'Im(f).

Determinazione dell'insieme delle controimmagini di un vettore

Significato del teorema di Rouche'-Capelli e del teorema di Nullita' piu' Rango in termini di applicazioni lineari ed insieme delle controimmagini di un vettore.

Rango di una matrice: significato geometrico come dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice data

Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e variazioni delle matrici rappresentative in basi diverse per via delle matrici cambiamento di base.

Rango di un'applicazione lineare come oggetto INVARIANTE per cambiamenti di base

Il rango di un'applicazione lineare F coincide con la dimensione dell'immagine dell'applicazione F.

I  

Settimana 12  

34 (2 ore).

[T] Capitolo 10

Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in se' = Operatori lineari (od Endomorfismi) di spazi vettoriali.

Matrici rappresentative in basi diverse di un medesimo operatore.

Matrici quadrate coniugate (o simili). Relazione di CONIUGIO o SIMILITUDINE tra matrici quadrate. 

Problema della diagonalizzabilita' di un operatore.

Significati geometrici o meccanici della diagonalizzabilita'.

Esempi di operatori diagonalizzabili ed esempi di operatori non diagonalizzabili.

Nozione di autovalore (reale) e di autovettore di un operatore lineare.

V_a(F) = Autospazio di un autovalore a dell'operatore F.

Un autospazio e' sempre un sottospazio di V. Autospazio come Ker(F - a I).

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Un operatore lineare F su uno spazio vettoriale V e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base per V costituita da autovettori di F.

  I

Settimana 12  

35 (2 ore).

[T] Capitolo 10

CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore in termini delle dimensioni degli autospazi.

Calcolo degli autovalori di una matrice rappresentante in una data base un operatore lineare. Polinomio caratteristico di una matrice.

Espressione del polinomio caratteristico di una matrice nxn.

Due matrici simili (o coniugate) hanno lo stesso polinomio caratteristico. In particolare hanno stessa traccia e stesso determinate.

I coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice sono INVARIANTI per classi di coniugio o similitudine.

Nozione di polinomio caratteristico di un operatore lineare. Nozione di traccia, determinante ed autovalori di un operatore.

I

Settimana 13

36 (2 ore).

[T] Capitolo 10 e 11

Lo spettro di un operatore e' un insieme finito (eventualmente vuoto).

Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

Relazione tra molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore lineare f mediante le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori (reali) di F.

Operatori ortogonali su uno spazio vettoriale euclideo euclideo: proprieta'.

Gli operatori ortogonali sono sempre automorfismi. Gli autovalori reali degli operatori ortogonali sono esclusivamente + 1 e – 1.

In base ortonormale un operatore ortogonale si rappresenta con una matrice ortogonale.

Esempi: rotazioni di IR^3 attorno all’asse e_1: una rotazione che non sia di angolo 0 o 360 gradi ha 1 come unico autovalore semplice, gli altri due o sono complessi coniugati, oppure sono entrambi -1 quando l'angolo e' 180 gradi. L'autospazio relativo all'autovalore uno e' la retta vettoriale asse di rotazione.

Gli operatori ortogonali non sempre sono diagonalizzabili.

  I

  Settimana 13

37 (2 ore).

[T] Capitolo 11 

Operatori autoaggiunti di uno spazio vettoriale euclideo: proprieta'.

In base ortonormale un operatore autoaggiunto si rappresenta con una matrice simmetrica. In basi ortonormali distinte, le matrici (simmetriche) che rappresentano lo stesso operatore autoaggiunto sono congruenti per mezzo della matrice cambiamento di base.

In basi ortonormali operatori autoaggiunti e matrici simmetriche sono concetti equivalenti. NON E' VERO in qualsiasi base (controesempi). 

Forme quadratiche su IR^n. Matrice simmetrica associata ad una forma quadratica; viceversa, forma quadratica associata ad una matrice simmetica.

In basi ortonormali, operatori autoaggiunti, matrici simmetriche e forme quadratiche sono TRE CONCETTI EQUIVALENTI.

Rappresentazione di una forma quadratica in basi differenti determina matrici congruenti.

Rango di una forma quadratica. Forme quadratiche generali e degeneri.

Forme quadratiche (semi)definite positive, (semi)definite negative ed indefinite.

  I

  Settimana 13

38 (2 ore).

Esercitazioni Codocente 

  I

Settimana 14

40 (2 ore).

[T] Capitolo 11. 

Una matrice simmetrica ammette sempre spettro reale (dimostrazione completa nel caso 2x2 e 3x3).

Trasformazioni di coordinate che diagonalizzano una forma quadratica (i.e. che fanno sparire i termini misti della forma quadratica)

Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti.

Autovettori di un operatore autoaggiunto, che sono relativi ad autovalori diversi, sono autovettori ortogonali.

Conseguenze e formulazioni equivalenti del Teorema Spettrale. 

Segnatura di una forma quadratica.

Teorema di Sylvester.

Riduzione a forma canonica di Sylvester di una forma quadratica.

  I

Settimana 14  

41 (2 ore).

[T] Capitolo 6 (cenni)

Trasformazioni di IR^n come spazio affine e come spazio euclideo.

Affinità ed affinità lineari. Proprietà geometriche delle affinità: mandano rette in rette, conservano il parallelismo, i segmenti, le proporzioni,..…

Figure geometriche affinemente equivalenti. Concetto di Geometria Affine. 

Isometrie ed isometrie lineari. Proprieta' geometriche caratterizzanti le isometrie.

Figure geometriche isometriche (equiv. congruenti). Concetto di Geometria Euclidea.

Un'isometria e' SEMPRE un'affinita'. Non e' vero il viceversa. Due figure isometriche sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.

Le affinità non conservano la distanza o gli angoli ma conservano l'appartenenza ed il parallelismo.

Le isometrie oltre a conservare tutte le proprieta' conservate dalle affinita', conservano anche la distanza, gli angoli, ecc..

I punti fissi di un'affinita' sono o l'insieme vuoto oppure una varieta' lineare.

Trasformazioni (affinità ed isometrie) notevoli del piano cartesiano IR^2:

(i) Equazioni di traslazioni.

(ii) Equazioni di rotazioni attorno all'origine di angolo t.

(iii) Equazioni di rotazioni di angolo t attorno ad un punto qualsiasi del piano cartesiano.

(iv) Equazioni di riflessione rispetto ad un punto P.

(v) Equazioni di riflessione rispetto ad una retta r.

(vi) Dilatazioni e deformazioni: sono affinità ma non isometrie.

(vii) Due rette di IR^2 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti)

I  

Settimana 14  

42 (2 ore).

Esercitazioni Codocente

I  

Settimana 15

43 (2 ore).

[T] Capitolo 12

Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate.

Coniche del piano ed equazioni cartesiane: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica.

Matrice simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata.

Coniche reali e supporti.

Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti.

Matrice completa di un'isometria o di un'affinita' di IR^2.

Equazione matriciale di coniche congruenti ed affinemente equivalenti.

Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.

I  

Settimana 15  

44 (2 ore).

[T] Capitolo 12

Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

Parabole. Coniche a centro: ellisse ed iperbole.

Classificazione metrica (o euclidea) delle coniche. Forme canoniche metriche delle coniche.

Classificazione affine delle coniche. Forme canoniche affini delle coniche.

  I

Settimana 15  

45 (2 ore).

Esercitazioni Codocente 

I

Settimana 16

46 (2 ore).

[T] Capitolo 12

Lista delle forme canoniche metriche delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metrico ma esistono infinite forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia).

Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche.

Forme canoniche affini delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista affine e per ogni tipologia esiste un'unica forma canonica affine.

I  

Settimana 16  

47 (2 ore).

[T] Capitolo 12

Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2.

Determinazione dell’isometria tra i due riferimenti.

Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica per mezzo del Teorema di Sylvester.

Affinita' tra i due riferimenti.

  I

Settimana 16  

48 (2 ore).

Esercitazioni Codocente