Settimana (Week)

Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (2 ore) - 3/3/2026

· Descrizione dei contenuti generali, degli obiettivi del corso e delle modalità di verifica.

[T] Par. 1.1 e 2.1

· Spazio affine A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n):= IK[x_1,…,x_n] su un campo IK.

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Richiami su anelli commutativi unitari Noetheriani e sul Teorema della base di Hilbert (solo enunciato)

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) dove I un ideale dell’anello A^(n).

· Corrispondenza tra Ideali in A^(n) ed  IAA in A^n(IK): esempi di “non buona” corrispondenza biunivoca tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso) che per colpa degli ideali (ideali non radicali).

· Radicale di un ideale I = rad(I)

· Ideali radicali: ideali radicali ed anelli quozienti ridotti

· Per ogni ideale I, rad(I) è un ideale radicale

· Un ideale primo (oppure un ideale massimale) è sicuramente un ideale radicale.

Settimana 1

2 (2 ore) - 4/3/2026

[T] Par. 2.1

· Prime corrispondenze tra IAA in A^n(IK) ed ideali in A^(n) nel caso di IK qualsiasi campo:

(i) reversing inclusion: I < J fornisce Z_a(I) > Z_a(J)

(ii) unioni (intersezioni) di IAA ed intersezioni/prodotti (somme) di ideali in A^(n)

(iii) Z_a(I) = Z_a(rad(I))

· m_b = (x_1-b_1, …. , x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (per IK qualsiasi campo) inoltre  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

· IAA come “chiusi” di A^n(IK) rispetto alla topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK).

· Dunque IAA d’ora in poi chiusi di Zariski di A^n(IK)

· Prime proprietà della topologia Zar(a,n):

(i) soddisfa l’assioma di separazione T1 (i punti sono chiusi)

(ii) se IK è infinito,  Zar(a,1)  non soddisfa l’assioma di separazione  T_2 (non è di Hausdorff).

· Corrispondenza non-iniettiva tra ideali di A^(n) e chiusi di Zariski di A^n(IK)

· Se IK non algebricamente chiuso, la corrispondenza non è iniettiva nemmeno limitandosi ad ideali radicali. Esempi.

· Esempi elementari di IAA:

(1) Sottospazi affini in A^n(IK): l’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è un ideale radicale perchè è ideale primo. Omeomorfismi nella topologia di Zariski

(2) Ipersuperfici algebriche in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie algebrica. Se f è un polinomio irriducibile su IK, allora Z_a(f) è una ipersuperficie algebrica affine irriducibile. Componenti irriducibili di un’ipersuperficie algebrica di A^n(IK).  

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK): gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski Zar(a,n) di A^n(IK).

Settimana 1

3 (2 ore) - 6/3/2026

[T] Par. 1.5, 2.2, 2.3

· Enunciato di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e  conseguenze geometriche.

· Controesempi quando IK non è algebricamente chiuso.

· Ideale I_a(Y) in A^(n) di un sottoinsieme qualsiasi Y di A^n(IK)  (IK qualsiasi campo). 

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia  Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Corrispondenza chiusi di Zariski A^n(IK) – ideali radicali: in generale corrispondenza non biunivoca.

· Enunciato di Hilbert Nullstellensatz  forma forte (HNff)

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso la precedente è una corrispondenza biunivoca; ideali massimali di A^(n) corrispondono a punti di A^n(IK) (conseguenza di Hnfd)

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff)

· Nozioni di finitezza: IK-algebra finita, IK-algebra di tipo finito, IK< L ampliamento di campi finitamente generato. 

· Legami tra le tre nozioni nel caso di ampliamento di campi IK < L: se L è IK-algebra finita allora L è IK-algebra di tipo finito e quindi IK<L ampliamento di campi f.g.  

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: L = IK(v) dove v o trascendente su IK oppure algebrico su IK.

· Le precedenti implicazioni in generale non si invertono. Se infatti x è un’indeterminata su IK, allora IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento f.g. di IK che non è né una IK-algebra di tipo finito né tantomeno IK-algebra finita.

· Lemma di Zariski: (solo enunciato)

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

Settimana 2

4 (2 ore) – 10/3/2026

[T] Par. 2.3

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di Hnfd. Conseguenze

· Proprietà degli ideali I_a(X) per IK algebricamente chiuso:

(i) I_a(-) di una unione finita di chiusi affini

(ii) I_a(-) di una intersezione qualsiasi di chiusi affini (Osservazione: l’ideale somma di ideali radicale non è necessariamente radicale; esempio esplicito)

(iii) I_a(-) e proprietà di “reversing inclusion”

(iv) per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), si ha I_a(X) = I_a(chiusura di Zariski di X). 

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali propri radicali principali di A^(n) ed ipersuperfici di A^n(IK); analogamente inducono corrispondenze biunivoche tra ideali primi principali di A^(n) ed ipersuperfici algebriche irriducibili di A^n(IK). 

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve algebriche piane affini. Ipersuperfici algebriche irriducibili di A^2(IK) = curve algebriche piane affini irriducibili.  

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva algebrica irriducibile di A^2(IK) ha infiniti punti (controesempi se IK infinito ma non algebricamente chiuso)

· Chiusi di Zariski di A^2(IK)

Settimana 2

5 (2 ore) - 11/3/2026

[T] Par. 1.3, 1.10, 2.3 

· Principio di Study affine

· Principio di identità dei polinomi in A^(n)

· Conseguenze topologiche del principio di identità dei polinomi:

(i) se IK è infinito allora A^n(IK) è irriducibile

(ii) se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre (i.e. la topologia di Zariski di A^n(IK) non è T2 per ogni n >0) 

(iii) se IK è infinito ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK)

(iv) se IK è infinito ed U è un aperto non vuoto di A^n(IK), allora I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0). 

· Richiami sulla costruzione dello spazio proiettivo IP^n(IK) su un campo IK e sulle sue coordinate omogenee [x_0, x_1, x_2, ….., x_n]

· Preliminari algebrici: anello dei polinomi omogenei S^(n):= IK[x_0,…,x_n].

· S^(n)_d = componente omogenea di grado d per ogni d >=0 (insieme con il polinomio nullo) forma un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per la dimensione su IK dello spazio vettoriale S^(n)_d

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei in S^(n). I fattori irriducibili in S^(n) di un polinomio omogeneo sono anch’essi polinomi omogenei

· S^(n) è un anello graduato dal grado di omogeneità.

· Elementi omogenei di S^(n) .

· Scritture uniche degli elementi di S^(n) nella decomposizione in componenti omogenei

Settimana 2

6 (2 ore) - 13/3/2026

[T] Par. 1.10, 2.3, 3.1

· Ideali omogenei di S^(n) e caratterizzazione in termini dei loro generatori

· Ideale irrilevante in S^(n) è l’ideale omogeneo massimale (X_0, X_1, …, X_n)

· Somma, prodotto, intersezione e radicale di ideali omogenei sono ancora ideali omogeni (solo enunciati)

· Anelli quozienti rispetto ad ideali omogenei sono a loro volta anelli graduati (solo enunciati)

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo. Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo nello spazio proiettivo IP^n .

· Se IK è infinito, zeri in P^n di un qualsiasi polinomio f di S^(n) e legame con gli zeri delle componenti omogenee di f.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP): sono della forma Z_p(I) con I ideale omogeneo in S^(n).

· Ideale omogeneo I_p(X) in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Analogie tra caso affine e caso proiettivo:

(a) Proprietà di “reversing inclusion”, di intersezioni e di somme di ideali.

(b) IAP come chiusi di una topologia su P^n = Zar(p,n) topologia di Zariski su P^n.

(c) Zar(p,n) è T_1, i.e. i punti sono chiusi nella topologia di Zariski, ma non è T_2 (no Hausdorff)

(d) Sottospazi proiettivi di P^n e loro ideale omogeneo

(e) Ipersuperfici Z_p(F) di P^n e loro complementari (aperti principali di P^n)

(f) Gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski Zar(p,n) su P^n.

· Omogeneizzazione (rispettivamente, de-omogeneizzazione) di polinomi in A^(n) (rispettivamente, in S^(n)).

· Significati geometrici in P^n ed in A^n

· Differenze sostanziali tra caso affine e caso proiettivo:

(i) l’ideale irrilevante di S^(n) è radicale (massimale) omogeneo ma Z_p(S_{+}) = Z_p((1)) = insieme vuoto in P^n

(ii) Preso un punto Q di P^n I_p(Q) è un ideale omogeno primo ma non massimale in S^(n)

Settimana 3

7 (2 ore) – 17/3/2026

[T] Par. 3.1 e 3.2

· Cono affine C_a(Y) in A^{n+1} di un sottoinsieme Y di P^n.

· Analogie tra caso affine e caso proiettivo:

(a) Se I ideale omogeneo, Z_p(I) = Z_p(rad(I))

(b) Per qualsiasi sottoinsieme non vuoto Y di P^n, I_p(Y) = I_a(C_a(Y))

(c) Se Y sottoinsieme di P^n, allora la chiusura di Zariski Y^p di Y in P^n è data da Z_p(I_p(Y))

(d) Se Y sottoinsieme di P^n, allora I_p(Y) = I_p(Y^p)

· Differenze sostanziali tra caso affine e caso proiettivo:

· HNfd omogeneo (i.e. in P^n): se IK è algebricamente chiuso ed I è un ideale proprio omogeneo in S^(n), allora Z_p(I) è vuoto se e solo se rad(I) = S_+.

· Hnff omogeneo (i.e. in P^n): se IK è algebricamente chiuso e Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Corrispondenza tra chiusi di Zariski di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude l’ideale irrilevante S_+.

· Sottospazi proiettivi di P^n come intersezione di iperpiani

· Gli iperpiani di P^n sono parametrizzati dallo spazio proiettivo duale (P^n)*

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i): gli iperpiani fondamentali H_i corrispondono ai punti fondamentali di (P^n)*

· Aperti (principali) fondamentali U_i di P^n: complementare di H_i in P^n

· Per ogni indice i, P^n è unione disgiunta dell’aperto (principale) fondamentale U_i e dell’iperpiano H_i = Z_p(x_i)

· Ricoprimento di P^n in aperti (principali) fondamentali U_i

Settimana 3

8 (2 ore) - 18/3/2026

[T] Par. 3.1, 3.2 e 3.3  

· Gli aperti principali fondamentali U_i di P^n sono omeomorfi nelle topologie di Zariski a spazi affini A^n

· Conseguenze:

(i) gli aperti principali U_i si dicono (carte) aperte affini di P^n; i punti di H_i sono punti all’infinito dell’aperto affine U_i.

(ii) Perciò P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini) U_i.

(iii) P^n è unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

(iv) Se H è un qualsiasi iperpiano di P^n, il complementare di H è sempre omeomorfo ad uno spazio affine

(v) Per ogni chiuso proiettivo Y, presi Y_i := (Y n U_i) essi sono aperti affini di un ricoprimento aperto finito di Y. Gli aperti Y_i sono omeomorfi a chiusi di spazi affini

· Chiuso affine Y_i nella carta affine U_i individuato da un chiuso proiettivo Y = Z_p(I) di P^n: per determinare le sue equazioni cartesiane affini è sufficiente deomogeneizzare i polinomi omogenei generatori dell’ideale omogeneo I del chiuso proiettivo Y.

· I_p(Y_i) = I_p(Y)

· Esempi: conica proiettiva che ha nelle tre carte affini tre coniche affini di diversa tipologia affine (caso reale e caso complesso)

· Punti impropri per il chiuso affine Y_i.

· Se invece si parte da un chiuso affine Y=Z_a(J) di uno spazio affine, identificato canonicamente con la carta affine U_0, per trovare la sua chiusura proiettiva in IP^n in generale non è sufficiente omogeneizzare i generatori (non omogenei) dell’ideale non omogeneo J del chiuso affine Y. Esempi

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n quando si identifica con la carta affine U_0; ideale J* generato dagli omogeneizzati degli elementi di J

· Se Y chiuso affine in A^n (identificato con la carta affine U_0 di P^n) I_p(Y) = I_a(Y)^*

Settimana 3

9 (2 ore) - 20/3/2026

[T] Par. 3.3  

· Chiusi (o localmente chiusi) di A^n sono localmente chiusi di P^n, invece chiusi di P^n individuano sempre chiusi di A^n.

· Esempi in cui la chiusura proiettiva di un chiuso affine è semplice (i.e. dove è sufficiente omogeneizzare i generatori dell’ideale del chiuso affine)

(i) Sottospazi proiettivi di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini U_i, i = 0,….,n. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

(ii) Ipersuperfici proiettive ed Ipersuperfici affini: chiusura proiettiva di un’ipersuperficie algebrica di A^n ed ideale omogeneo associato. 

(iii) In particolare, chiusura proiettiva di una curva algebrica di A^2 ed ideale omogeneo associato.

(iv) Classificazione di chiusi di P^2

· Curva razionale affine polinomialmente parametrizzata X= (t, f_2(t), …, f_n(t)), dove t parametro in IK e f_i polinomi non tutti costanti in A^(1). 

· Ideale primo associato alla curva razionale affine polinomialmente parametrizzata X. 

SETTIMANA 23-27 Marzo NO LEZIONE

SETTIMANA 23-27 Marzo NO LEZIONE

SETTIMANA 23-27 Marzo NO LEZIONE

Settimana 4

10 (2 ore) – 31/3/2026

[T] Par. 3.3  

· Esempio di curva razionale affine polinomialmente parametrizzata: la cubica gobba affine X= C_a in A^3 (in forma standard, cioè t→ (t, t^2, t^3))

· L’ideale radicale I_a(C_a) della cubica gobba affine è primo ed è generato da due polinomi associati a due superfici quadriche affini.

· La cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3.

· C_p = C_a U{P} = Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i sono 3 forme omogenee di grado 2 linearmente indipendenti in S^(3)_2

· La cubica gobba proiettiva C_p è anche intersezione insiemistica di una quadrica e di una cubica, ma solo come insieme algebrico (struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti)

· L’ideale omogeneo I_p(C_p) della cubica gobba proiettiva C_p è generato da tre quadriche. Sizigie tra i generatori dell’ideale omogeneo I_p(C_p). (cenni)

Settimana 4

11 (2 ore) – 01/4/2026

[T] Par. 4.1 e 4.2

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X.

· L’irriducibilità è una proprietà topologica, i.e. invariante per omeomorfismi

· Criteri topologici di irriducibilità.

· Aperti densi.

· L’immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Applicazioni ad IAA e IAP: P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili. A^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili: sottospazi affini in A^n, sottospazi proiettivi di P^n, la cubica gobba affine e proiettiva, ogni curva razionale affine polinomialmente parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t))

· Se X è sottoinsieme di A^n irriducibile ed U un aperto non vuoto di X, allora si ha un’uguaglianza di ideali:  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a è la chiusura affine di X

· Se X sottoinsieme di P^n irriducibile, U un aperto non vuoto di X, si ha un’uguaglianza di ideali omogenei: I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p è  la chiusura proiettiva di X.

Settimana 4

12 (2 ore) – 03/4/2026

[T] Par. 4.1 e 4.2

· Criteri algebrici di irriducibilità.

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate (affini) di X un sottoinsieme di A^n.

· S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X un sottoinsieme di P^n

· Osservazioni su Notherianità algebrica: quozienti di anelli Noetheriani sono Noetheriani. Pertanto A(X) e S(X) sono sempre IK-algebre integre Noetheriane e di tipo finito

· X sottoinsieme di uno spazio affine (equiv proiettivo) è irriducibile se e solo se I_a(X) (equiv. I_p(X)) è un ideale primo (equiv. ideale primo omogeneo) se e solo se A(X) è un dominio intergo (equiv. S(X) è un dominio integro graduato).

· Corrispondenza biunivoca tra IAA irriducibili ed ideali primi (equiv. tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}).

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie. Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p è irriducibile

Settimana 5

13 (2 ore) – 07/4/2026

[T] Cap. 1 e Par. 4.1 e 4.2

· Varietà affini, varietà quasi-affini, varietà proiettive e varietà quasi-proiettive immerse in IP^n.

· La nozione più generale è quella di varietà quasi-proiettiva immersa in IP^n = Varietà ALGEBRICA di IP^n.

· Ogni varietà (quasi-)proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà (quasi-)affini.

· Se si identifica omeomorficamente A^n con l’aperto principale U_0 di IP^n si ha una corrispondenza biunivoca tra: varietà proiettive X di IP^n non contenute nell’iperpiano fondamentale H_0 = Z_p(x_0) e varietà affini di U_0= A^n

· Sia Z un chiuso proiettivo di IP^n. Allora Z è una varietà proiettiva se e solo se, per ogni i = 0,1,…,n, Z intersecato U_i è varietà affine di U_i = A^n

· Conseguenze sugli ideali I_p(Z), I_p(Z intersecato U_i) e (I_a(Z intersecato U_i))^* := ideale generato da tutti gli omogeneizzati h_0 degli elementi di I_a( Z intersecato U_i)

· Osservazione: l’intersezione di due varietà algebriche non sempre è una varietà algebrica.

· Esempio: intersezione di due delle quadriche (irriducibili e determinantali) proiettive che contengono la cubica gobba proiettiva non danno una varità proiettiva ma un chiuso proiettivo unione di due varietà proiettive. Descrizione topologica e descrizione con gli ideali omogenei

· Noetheriantà di anelli commutativi unitari A per mezzo della condizione di catene ascendenti di ideali propri di A

Settimana 5

14 (2 ore) - 08/4/2026

[T] Par. 4.1 e 4.2

· Spazi topologici Noetheriani: condizione sulle catene numerabili discendenti di chiusi (equiv. sulle catene numerabili ascendenti di aperti)

· Se Y è un sottoinsieme di X spazio topologico Noetheriano, allora anche Y è spazio topologico Noetheriano rispetto alla topologia indotta.

· Noetherianità topologica e compattezza per aperti.

· Topologia di Zariski: la Noetherianità topologica discende direttamente dalla Noetherianità algebrica di A^(n), S^(n), A(X) e S(X)

· Conseguenze: A^n e P^n sono spazi topologici Noetheriani. Ogni varietà algebrica immersa ed ogni localmente chiuso algebrico immerso è uno spazio topologico Noetheriano.

· Se X è una varietà affine immersa: dimensione di X è la dimensione topologica o dimensione combinatoria di X che coincide con dimensione di Krull dell’anello delle coordinate A(X)

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di uno spazio topologico Noetheriano X si scrive in modo unico (irridondante ed a meno dell’ordine) in un’unione di suoi chiusi propri irriducibili, che sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· In particolare, ogni localmente chiuso di Zariski immerso è unione finita di varietà algebriche immerse, che costituiscono le sue componenti irriducibili

Settimana 5

15 (2 ore) – 10/4/2026

[T] Par. 5.1, 5.2 e 5.3    

· Funzioni regolari e funzioni razionali su A^n. Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Campo delle funzioni razionali omogenee di grado zero come campo di funzioni razionali su IP^n.

· Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta. Asserzione equivalente nel caso di una varietà quasi-affine.

· Aperto di definizione di una funzione regolare su una varietà algebrica X

· Esempio: l’aperto di definizione della funzione razionale f= (x_1/x_0) inX = Z_p(x_0 x_3 – x_1 x_2 ) < IP^3 è strettamente contenuto in X

· Se X è una varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce esempi di funzioni regolari su X.

· IK-algebra O_X(U) di funzioni regolari su un aperto U di una varietà algebrica X.

· Le restrizioni come morfismi di IK-algebre

· Gli elementi in O_X(X) sono le funzioni regolari su tutta la varietà X.

Settimana 6

16 (2 ore) - 14/4/2026

[T] Par. 5.1, 5.2 e 5.3   

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica X.

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato della topologia Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su X.

· Funzioni razionali su una varietà algebrica X.

· K(X) è il campo delle funzioni razionali su X: è un ampliamento del campo base IK

· Per ogni aperto U di X, O_X(U) è una IK-algebra integra contenuta nel campo K(X).

· Se U < V sono due aperti di X, l’omomorfismo di restrizione tra IK-algebre O_X(V) → O_X(U) è iniettivo.

· Per ogni aperto non vuoto U di X si hanno le inclusioni di IK-algebre O_X(X) < O_X(U) < K(X).

· Aperto di definizione di una funzione razionale su una varietà X.·

Settimana 6

17 (2 ore) – 15/4/2026

[T] Par. 5.1, 5.2 e 5.3   

· Preliminari algebrici su pre-fasci e fasci con struttura su uno spazio topologico

· Pre-fasci di gruppi abeliani (o di anelli, o di IK-algebre ecc) su uno spazio topologico X.

· Sezioni di un pre-fascio sopra un aperto U di X, morfismi di restrizioni e sezioni globali di un pre-fascio.

· Pre-fascio di gruppi abeliani (o di anelli commutativi unitari o di IK-algebre) su uno spazio topologico X come funtore controvariante dalla categoria Top(X) alla categoria Abel (o Ring, o IK-alg)

· Spiga di un pre-fascio in un punto p in X e germi di sezioni del pre-fascio

· Condizioni affinché un pre-fascio su uno spazio topologico X sia un fascio.

· Esempi di pre-fasci su spazi topologici X che non sono fasci.

· Se X è una varietà algebrica, O_X è un fascio di IK-algebre integre su X, detto fascio strutturale della varietà algebrica X.

Settimana 6

18 (2 ore) – 17/4/2026

[T] Par. 1.11, 5.1, 5.2 e 5.3   

· Sottovarietà algebrica W di una varietà algebrica X

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà algebrica W in una varietà algebrica X

· O_{X,W} anello delle funzioni razionali definite nella sottovarità W (i.e. regolari su un aperto di W)

· Per ogni sottovarietà algebrica W di X si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

· Se W ={p}, allora Spiga O_{X,p} per un punto p di X. I suoi elementi si chiamano germi di funzioni regolari nel punto p.

· Richiami algebrici su anelli locali (A,m) anello locale: caratterizzazione di anelli locali in termini di elementi invertibili in A. Campo residuo A/m di un anello locale.

· Conseguenze su varietà algebriche:

(i) (O_{X,W}, m_{X,W}) è un anello locale il cui campo residuo è isomorfo al campo K(W) delle funzioni razionali di W.

(ii) Se U_X aperto di X tale che W’:= (W n U_X) non vuoto, allora (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo come anello locale a (O_{U_X,W’}, m_{U_X,W’})

(iii) Per ogni aperto non vuoto U di X, K(U) è isomorfo a K(X).

(iv) Ideale I_U(W) in O_X(U) come ideale in U della sottovarietà W

Settimana 7

19 (2 ore) - 21/4/2026

[T] Par. 1.11 e Par. 5.3

· Richiami algebrici su localizzazione di domini di integrità:

(i) S sistema moltiplicativo in un dominio di integrità A.

(ii) Relazione di equivalenza @ su AxS: l’anello quoziente è A_S = AxS/@ è detto anello localizzato di A rispetto a S.

(iii) Il morfismo di localizzazione A → A_S è iniettivo visto che A è un dominio e, per ogni S < A* = A-{0} sistema moltiplicativo, si hanno inclusioni A < A_S < Q(A).

(iv) Localizzazione omogenea di A dominio di integrità graduato rispetto ad un sistema moltiplicativo S.

· Localizzazioni rispetto a complementari di ideali primi:

(i) Se p è un ideale primo di A, S:= A – p è sempre un sistema moltiplicativo in A;

(ii) La localizzazione A_S, con S:= A – p, si denota con A_p e l’ideale esteso di p in A_p si denota con p A_p che risulta essere è un ideale massimale di A_p.

(iii) (A_p , pA_p ) è un anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

(iv) Se A anello graduato, la localizzazione omogenea (A_(p) , pA_(p) ) è anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/p) sottocampo di Q(A/p) di frazioni di grado 0.

(v) Localizzazione A_(0) di un dominio A e localizzazione omogenea A_((0)) di un dominio graduato A.

· Localizzazioni rispetto al sistema moltiplicativo delle potenze di un elemento non nullo in A dominio:

(i) Se f non nullo in A, visto che è un elemento non-nilpotente (perché A dominio) si può considerare S := {f^n, al variare di n in N} sistema moltiplicativo

(ii) La localizzazione A_S, con S:={f^n, al variare di n in N} si denota con A_f

(iii) Se A è un dominio graduato, la localizzazione omogenea rispetto a S:={f^n, n in N} si denota con A_([f]).

CONSEGUENZE

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali (SOLO ENUNCIATO)

(i) Se X è una varietà affine, allora:

• O_X(X) = A(X);

• tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

(ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

• O_X(X) = IK.

• tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = S (X)_((0));

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X)

Settimana 7

20 (2 ore) - 22/4/2026

[T] Par. 5.3

· Prime applicazioni/conseguenze del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali:

(i) O_{A^n}(A^n) =A^(n), mentre O_{P^n}(P^n) =IK; tuttavia K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n).

(ii) Calcolo esplicito per O_{P^1}(P^1) =IK

(iii) Per ogni varietà algebrica X, il campo delle funzioni razionali K(X) è un ampliamento finitamente generato del campo IK.

(iv) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X parabola X= Z_a(y – x^2): si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione f: A^1 ----> X, t → (t, t^2), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica proiettiva X.

(v) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X iperbole Z_a(xy-1)(nel piano affine complessificato) A^2(C): si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X, definita da t → (t ,1/t), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.

(vi) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X)per la varietà affine X ellisse X = Z_a(x^2+y^2-1) (nel piano affine complessificato) A^2(C): si ha O_X(X) = A(X) contiene strettamente A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(IP^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X definita dalle rette parallele x-iy =t, con t non nullo, ha come inversa la proiezione parallela definita da questo fascio dirette da X sul dominio W del parametro t, e tale proiezione si estende ad una mappa da IP^1 alla chiusura proiettiva in IP^2 di X . La mappa di proiezione è la proiezione da uno dei due punti (punti ciclici) all’infinito dell’ellisse. A meno di una proiettività di tutto IP^2, abbiamo la stessa conica proiettiva ottenuta con chiusura proiettiva di parabola e di iperbole: determinazione della proiettività esplicita.

(vi) Esempio: Calcolo esplicito di dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X data dalla parabola semicubica (detta anche cubica piana cuspidale) X = Z_a (y^2 – x^3). X è singolare in O=(0,0) dove presenta una cuspide. Si ha O_X(X) = A(X) = IK[t^2,t^3] < IK[t] = A( A^1) però K(X) = K(A^1) = K(P^1) = IK(t). Quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: i punti di X sono in corrispondenza 1-1 con la retta affine parametrizzante ii coefficienti angolari del rette del fascio a centro per O, y = tx, dove la retta y=0 corrisponde alla tangente principale nel punto singolare O= (0,0) alla curva X

(vii) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X = Z_a (y^2 - x(x-1) (x-a)). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e K(X) = K(A^1) = K(IP^1) = IK(x), i.e. K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x).

Settimana 7

21 (2 ore) - 24/4/2026

[T] Par. 6.1

· Morfismi di varietà algebriche.

· Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono necessariamente isomorfe come IK-algebre integre.

· Esempi: parabola ed A^1. Controesempi: iperbole (od ellisse) ed A^1.

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e K(W) sono necessariamente campi isomorfi. Non vale il viceversa: iperbole (od anche ellisse) ed A^1

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1: O_V(V) = Morph(V, A^1)

Settimana 8

22 (3 ore) – 28/4/2026

[T] Par. 6.1

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V come morfismi da W a V

· Luogo di zeri di un morfismo da una varietà algebrica V ad A^n.

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con target W una varietà quasi-affine in A^n sia un morfismo di varietà algebriche

· Mappe polinomiali tra A^n ed A^m.

· Corrispondenza biunivoca tra n-uple di funzioni regolari su una varietà algebrica V e morfismi da V ad A^n.

· Morfismi/Isomorfismi tra varietà affini.

· Conseguenze ed esempi:

(i) Morfismo di proiezione p_I :A^n → A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

(ii) La parabola è isomorfa ad A^1. L’iperbole (equiv. l’ellisse) sono isomorfe ad A^1\{0}.

(iii) Se f è un isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e Noetheriani.

(iv) Non è vero il viceversa di (iii): la parabola semicubica Z_a(y^2 -x^3) ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi come varietà algebriche.

(v) L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili. Esempi

Settimana 8

23 (2 ore) – 29/4/2026

[T] Par.  6.1 e 6.2  

· Se V è una varietà algebrica e W è una varietà affine, allora Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)).

· Ricostruzione di un morfismo di varietà affini da un omomorfismo di IK-algebre.

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

· Se V e W varietà affini allora f :V → W è un morfismo dominante se e solo se f^# :A(W) → A(V) e’ omomorfismo iniettivo di IK-algebre integre.

· Conseguenza: se V è una varietà affine, l’anello delle coordinate affini determina V = Specm (A(V)) come supporto, determina totalmente la topologia dei suoi chiusi irriducibili con Spec (A(V)) determina gli aperti principali di V (che sono base per gli aperti della topologia di Zariski di V), determina l’anello delle funzioni regolari su V e il campo delle funzioni razionali su V, determina, per localizzazioni di A(V), le spighe del fascio strutturale O_V in altri termini A(V) determina (V, O_V) come spazio localmente anellato inoltre ogni morfismo tra varietà affini V→ W è equivalente ad un morfismo di IK-algebre integre di tipo finito A(W) → A(V). Equivalenza di categorie la categoria delle varietà affini è equivalente alla categoria delle IK-algebre integre di tipo finito

Settimana 8

01/05/2026 – NO LEZIONE

Festività 1 Maggio

Settimana 9

24 (2 ore) – 05/5/2026

[T] Par.  6.2, 6.3 e 6.4 

· Controesempi alla ricostruzione di morfismi quando le varietà non sono affini: ad esempio A^2-{(0,0)}.

· Conseguenza: Gli aperti fondamentali U_i di IP^n non sono solo omeomorfi ad A^n ma sono più precisamente isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine (astratta) e di aperto affine di una varietà algebrica.

· Conseguenze ed esempi:

(i) IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

(ii) A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è un aperto affine. Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini.

(iii) Per ogni ipersuperficie Z < A^n , l’aperto W:=A^n \ Z è un aperto affine di A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di A^{n+1}.

(iv) A differenza di A^2-{(0,0)}, ogni aperto principale di A^n è un aperto affine

· Se W è una varietà proiettiva, O_W(W) non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con V e W varietà localmente chiuse in spazi proiettivi sia un morfismo di varietà algebriche

Settimana 9

25 (2 ore) – 06/5/2026

[T] Par.  6.3 e 6.4  

· Morfismi f da aperti di IP^n definiti per mezzo di polinomi omogenei F_0,…F_r in S^{(n)}_d.

· Im(f) è non-degenere in IP^n se e solo se i polinomi omogenei F_0, …F_r sono linearmente indipendenti.

· Luogo di non definizione (o luogo base) di f ed aperto di definizione di f.

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane dell’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n.

· Sistemi lineari di ipersuperfici proiettive di grado d e dimensione r. Luogo base di un sistema lineare di ipersuperfici proiettive di grado d e dimensione r.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_2: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

· Curva razionale normale di grado d in IP^d come immagine isomorfa di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_d.

· Morfismo da IP^n caso dei polinomi F_i lineari.

* Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi ad un suo automorfismo.

* Se invece r < n, f e’ proiezione di centro un sottospazio proiettivo L su un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r astratto.

· Morfismo di Veronese di indici n e d.

(i) Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

(ii) V_{1,d} è la curva razionale normale di grado d: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

(iii) V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Sottosistemi lineari del sistema completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale V_{1,d}

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive.

· Esempio: IP^1 e la conica (di Veronese) V_{1,2} sono isomorfe come varietà proiettive ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2.

Settimana 9

26 (2 ore) – 08/5/2026

[T] Par.  7.1 e 7.2 

· Prodotto di 2 spazi affini: è uno spazio affine. Anelli delle coordinate. Le proiezioni sui fattori sono morfismi di spazi affini

· Prodotto di 2 varietà affini: è una varietà affine. Anello delle coordinate della varietà affine prodotto. Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

· Prodotto di due spazi proiettivi.

· Esempio esplicativo: IP^1 x IP^1 come quadrica S_{1,1} doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy dello spazio affine.

· Immersione di Segre e Varietà di Segre S_{n,m}.

· Il prodotto di spazi proiettivi IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva di S_{n,m} visto che questa struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

Settimana 10

27 (2 ore) – 12/5/2026

[T] Par.  7.2 e 7.5 

· Prodotto di 2 varietà proiettive è una varietà proiettiva. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

· Prodotto di 2 varietà quasi-proiettive è una varietà quasi-proiettiva. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

· Conseguenze di prodotti di varietà algebriche:

(i) Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

(ii) Ogni varietà algebrica V ha una base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.

(iii) Il prodotto cartesiano di morfismi è un morfismo

(iv) Per ogni morfismo f: V → W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

(v) Se due morfismi f, g : V → W coincidono su un aperto U di V allora coincidono su tutta la varietà V

Settimana 10

28 (2 ore) - 13/5/2026

[T] Par.  8.1, 8.2  

· Applicazioni razionali tra varietà algebriche

· F:V- - -> W applicazione razionale di varietà algebriche: morfismi rappresentativi e relazioni di equivalenza

· U_F aperto di definizione di un’applicazione razionale F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F.

· Un morfismo tra varietà algebriche individua un’applicazione razionale fra esse ma non è vero il viceversa.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· funzione razionale non costante in K(V) come morfismo razionale dominante f:V- - -> A^1

· Esempio di applicazione razionale che si estende ad un morfismo globale: ogni applicazione razionale IP^1 ---→ IP^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Esempio di applicazione razionale che non si può estendere ad un morfismo globale: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 =A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1 di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - > IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

Settimana 10

29 (2 ore) - 15/5/2026

[T] Par.  8.1, 8.2  

· Applicazioni (od isomorfismi) birazionali di varietà algebriche.

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica.

· Modello birazionale per una classe di equivalenza birazionale.

· Corrispondenza biunivoca tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) → K(V)}. In tale corrispondenza biunivoca le applicazioni birazionali di varietà algebriche vanno in isomorfismi di campi.

· Varietà razionali: varietà V che sono birazionalmente equivalenti a IP^n. In tal caso K(V) deve essere necessariamente un’estensione puramente trascendente di IK di grado n

· Conseguenze di applicazioni birazionali:

(i) V e W sono varietà algebriche birazionalmente equivalenti se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi;

(ii) ogni varietà algebrica V è birazionalmente equivalenti ad un suo aperto non vuoto;

(iii) ogni varietà algebrica è birazionalmente equivalenti ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.

(iv) La retta affine, la retta proiettiva, l’ellisse, l’iperbole, la parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, la cubica piana nodale, sono tutte birazionalmente equivalenti fra loro. Ciascuna di esse è un modello della classe birazionale di [P^1]. Sono tutti esempi di curve razionali

(v) La cubica piana non singolare Z := Z_a(y^2 - x (x-1) (x-a)), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale [IP^1] (K(Z) era infatti un’estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

(vi) La quadrica proiettiva non singolare (o di rango 4) S_{1,1} in IP^3 (ottenuta come immersione di Segre di IP^1 x IP^1) è birazionalmente equivalente ma non isomorfa a IP^2. E’ una superficie razionale

(vii) La superficie di Veronese in IP^5 e’ isomorfa, e dunque anche birazionalmente equivalente, a IP^2. E’ una superficie razionale. Analogamente, tutte le varietà di Veronese V_{n,d} sono varietà razionali

Settimana 11

30 (2 ore) - 19/5/2026

[T] Par.  Cap 9

· Varietà complete.

· Esempi di varietà affini non complete.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione (o completezza delle varietà proiettive): le varietà proiettive sono varietà complete.

· Conseguenze:

(i) l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target.

(ii) ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo sul target

· Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, le varietà di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte automaticamente varietà proiettive

Settimana 11

31 (2 ore) – 20/5/2026

[T] Par. 8.2

· Utilizzo dei concetti di prodotti di varietà algebriche e di completezza delle varietà proiettive

· Scoppiamento del piano proiettivo IP^2 nel punto p_0 = [1,0,0] come sottovarietà chiusa di IP^2 x IP^1

· In opportune carte affini lo scoppiamento definisce un chiuso in A^3 che è il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) fibra sull’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine. Lo scoppiamento di IP^2 è isomorfo alla varietà di Segre S_{1,1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento di IP^2 nel punto p_0 = [1,0,0] e significato geometrico

Settimana 11

32 (2 ore) – 22/5/2026

[T] Par. 8.2

· Utilizzo geometrico dello scoppiamento: trasformata totale e trasformate stretta di curve irriducibili in IP^2 passanti per p_0

· Scioglimento della singolarità in (0,0) di:

(a) curva piana affine parabola semicubica Z_a(y^2 - x^3): la trasformata stretta in A^3 è una cubica gobba affine che incontra il divisore eccezionale nell’unico punto (0,0,0) con molteplicità algebrica 2

(b) curva piana affine cubica nodale Z_a(x^3 + x^2 – y^2 ): la trasformata stretta in A^3 è una cubica gobba affine che incontra il divisore eccezionale trasversalmente nei due punti distinti (0,0,1) e (0,0,-1).