Università di Roma “Tor Vergata”

Facoltà di Ingegneria

Corso di Studi in Ingegneria Edile/Architettura

&

Corso di Studi in Ingegneria dell’Edilizia

Corso FACOLTATIVO di 2 Crediti F (utile per Meccanica, Statica e Scienze delle Costruzioni)

II SEMESTRE 2025-2026

Docente: Prof. F. Flamini (Dipartimento di Matematica – flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Codocente: Prof. G. Codogni (Dipartimento di Matematica – codogni[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Lezioni

Giorno di lezione settimanale: ???

Marzo: ???

Aprile: ???

Maggio: ???

Orario: ???

Canale Teams: https://teams.microsoft.com/l/team/19%3ae4Hi9uxoQc8rOQ-EJLnMJbm0AH1FdU4gya79wxZbQCg1%40thread.tacv2/conversations?groupId=c311f5ed-d4ae-4f7a-bc32-b273fda59c92&tenantId=24c5be2a-d764-40c5-9975-82d08ae47d0e

INFORMAZIONI RELATIVE AL CORSO

·         Non serve aggiungere il corso nel piano di studi individuale, dato che è un corso equiparato ad un WORKSHOP,

·         Il corso fornisce nr. 2 crediti F = FORMATIVI.

·         Non vi è quindi alcuna verbalizzazione su libretto universitario ne' tantomeno un voto finale, ma solo una IDONEITA' per l'acquisizione dei crediti F.

NORME PER ACQUISIRE I 2 CREDITI F

·         PER ACQUISIRE 2 CREDITI F:

1)            si devono seguire le lezioni, con la possibilita' di assenza a NON PIU' DI 2 LEZIONI

2)            durante lo svolgimento delle lezioni ci sarà il controllo delle presenze

3)            per tutti coloro che risulteranno idonei, il docente produrra' un CERTIFICATO DI ATTRIBUZIONE CREDITI F con la lista di tutti gli idonei e consegnera' questo certificato alla segreteria del CCS di Edililizia ed Edile Architettura.

4)            sara' cura dello studente/della studentessa rivolgersi alla Segreteria per indicazioni sulla convalida dei Crediti F.

Programma Didattico

Complementi di Algebra Lineare e Geometria e Fondamenti di Algebra Tensoriale, utili per i corsi di Meccanica dei Solidi, Statica, Scienze delle Costruzioni

(A)    Rivisitazione del linguaggio di Algebra Lineare e di Geometria Euclidea per applicazioni ai corsi di Meccanica dei Solidi – Statica - Scienze delle Costruzioni:

·         delta di Kronecher, notazione di Einstein ed indici saturati in sommatorie (Marzo)

·         richiami su matrici cambiamento di base, coniugio o similitudine tra matrici quadrate (Marzo)

·         richiami su prodotti scalari su spazi vettoriali, spazi vettoriali euclidei ed applicazione trasposta di un’applicazione data (Marzo)

·        richiami su basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo, gruppo ortogonale e congruenza di matrici (Marzo)

·        richiami su prodotto vettoriale e prodotto misto in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3: significati geometrici. (Marzo)

·         Simbolo di Ricci e permutazioni di classe pari o dispari (Marzo)

·         Rivisitazione del Teorema di Rouchè-Capelli: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza ed unicità di soluzioni di un sistema lineare non omogeneo Ax=b. Interpretazione con applicazioni lineari L_A e con il Teorema di Nullità e Rango (Marzo)

·         Interpretazione quando A = matrice di equilibrio, b = vettore della forza attiva, x = vettore incognito delle reazioni vincolari (Marzo)

·         Tabella degli equilibri: equilibrio isostatico, equilibrio labile, equilibrio iperstatico ed equilibrio degenere (Marzo)

·         Sottospazio ortogonale ad un sottospazio: dimensioni ed inclusioni (Marzo)

·         Il complemento ortogonale in V ad un sottospazio W. Decomposizione in somma diretta ortogonale (Marzo)

·         TEOREMA: Sia L_A: Uà V un’applicazione lineare tra spazi vettoriali euclidei. Allora Im(L_A) coincide con il complemento ortogonale a Ker(L_A^t), ove L_A^t è l’applicazione lineare trasposta (o aggiunta) di L_A (Marzo)

·         Teorema dei lavori virtuali: rilettura del TEOREMA precedente con A= matrice di equilibrio o dei vincoli e A^t= matrice della cinematica (Marzo)

·         Interpretazione dei vari sottospazi coinvolti:

(i) Im(L_A) = spazio dei carichi compatibili,

(ii) Ker(L_A)= spazio delle sollecitazioni autoequilibrate

(iii) Im(L_A^t) = Ortogonale a Ker(L_A) = spazio delle sollecitazioni sugli elementi che sono in equilibrio con i carichi compatibili

·         (iv) Ker(L_A^t) = Ortogonale a Im(L_A) = spazio dei carichi incompatibili (Marzo)

·         Formulazione della tabella degli equilibri in termini dei soli nuclei di L_A= matrice dei vincoli e di L_A^t = matrice della cinematica (Marzo)

·         La caratterizzazione statica e la caratterizzazione cinematica godono della proprietà di dualità (29 Marzo 2022)

·         Definizione di gruppo astratto. (Marzo)

·         Esempi già noti: (V,+), (IR*, x). (Marzo)

·         GL(n, IR) = gruppo lineare (Marzo )

·         O(n, IR) = Orth = gruppo ortogonale (Marzo)

·         SO(n, IR) = Orth+ = gruppo speciale ortogonale (Marzo)

·         Orth- non ha struttura di sottogruppo (Marzo)

·         Nozione di forza come vettore applicato: è una nozione affine (Aprile)

·         Retta d’azione di una forza (corpi rigidi e corpi deformabili) (Aprile)

·         Vettori applicati in un punto e vettori applicati ad una retta (Aprile)

·         Momento di una forza rispetto ad un polo. Formula del trasporto (Aprile)

·         Sistemi di forze: forza risultante e momento risultante (Aprile)

·         Ulteriore utilizzo del Teorema di Rouchè-Capelli: decomposizione di un vettore forza in un sistema di forze aventi retta d’azione e punti d’applicazione assegnati (Aprile)

(B)     Fondamenti di Algebra Tensoriale per applicazioni ai corsi di Meccanica dei Solidi – Statica - Scienze delle Costruzioni:

·         Funzionali lineari su uno spazio vettoriale (Aprile)

·         Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V (Aprile)

·         Spazio vettoriale Hom(V,W) di applicazioni lineari tra gli spazi vettoriali V e W (Aprile)

·         Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Dimensione di un prodotto tensoriale di spazi vettoriali (Aprile)

·         I ISOMORFISMO CANONICO: Isomorfismo tra lo spazio vettoriale V* tensor W e lo spazio vettoriale Hom(V,W) (Aprile)

·         II ISOMORFISMO CANONICO: se V è uno spazio vettoriale euclideo, V è canonicamente isomorfo al suo spazio vettoriale duale V* (Aprile)

·         Tensori di ordine k su uno spazio vettoriale euclideo V (Aprile)

·         I tensori del I ordine sono i vettori di V (Aprile)

·         I tensori del II ordine si identificano agli elementi di End(V) (Aprile)

·         I tensori del III ordine si identificano alle applicazioni lineari da V ad End(V) (Aprile)

·         Tensori decomponibili di ordine due in IR^3 = Diadi in IR^3 (Aprile)

·         Prodotto diadico in IR^3 (Aprile)

·         Rango di una diade (a tensor b)  (Aprile)

·         Im (a tensor b) e Ker(a tensor b) (Aprile)

·         Matrice rappresentativa di una diade (Aprile)

·         (IR^3)^{tensor 2} = End(IR^3) = M(3x3; IR) sono modelli di  Lin = spazio dei tensori del II ordine su IR^3 (Aprile)

·         Lin come spazio vettoriale. Composizione di due tensori del secondo ordine e composizione di due diadi. Lin è un’algebra non commutativa rispetto a queste operazioni (Aprile)

·         Potenza di un tensore del II ordine. Trasposto di un tensore del II ordine in IR^3. (Aprile)

·         Tensori simmetrici (Sym) e tensori antisimmetrici (Skew) del II ordine in IR^3 (Aprile)

·         Ogni tensore del II ordine su IR^3 si scrive in modo unico come somma di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico (Aprile)

·         Traccia di un tensore. Prodotto scalare in Lin. (Aprile)

·         Tensori ortogonali rispetto al prodotto scalare in Lin. (Aprile)

·         Decomposizione di Lin in somma diretta ortogonale tra il sottospazio Sym ed il sottospazio  Skew (Aprile)

·         Calcolo della dimensione di Sym e di Skew (Aprile)

·         Determinate di un tensore (Aprile)

·         Tensori del II ordine ortogonali = Orth. Rotazioni = Orth^+ (Aprile)

·         Tensori del II semidefiniti positivi ed autovalori reali (Aprile)

·         Basi ortonormali canoniche dei sottospazi Sym e Skew (Aprile)

·         Polinomio caratteristico di un tensore del II ordine (Aprile)

·         Invarianza per cambiamenti di base del polinomio caratteristico di un tensore T in Lin (Aprile)

·         Coefficienti del polinomio caratteristico I(T), II(T) e III(T) per un tensore T in Lin come invarianti metrici di T (Aprile)

·         Se T in Orth^+ non è il tensore identico, allora T ha autovalore 1 come autovalore semplice e l’autospazio relativo all’autovalore 1 coincide con l’asse di rotazione della rotazione data da T (Aprile)

·         Tensori antisimmetrici: corrispondenza assiale ax: Skew à IR^3 (Maggio)

·         Ogni tensore antisimmetrico W non nullo in Skew ha rango due (Maggio)

·         L’asse fornito dalla corrispondenza assiale ax (W), associato ad un tensore W non-nullo in Skew corrisponde a Ker(W) che ha dimensione 1 (Maggio)

·         Caso particolare: famiglia ad un parametro {Q(t)}, dove t una variabile temporale in un intervallo connesso J di IR e dove ogni tensore Q(t) è in Orth^+, per ogni t in J (Maggio)

·         Famiglia di tensori antisimmetrici {W(t)} in Skew associati alla famiglia dei tensori {Q(t)} in Orth^+ (Maggio)

·         Tensore Spin della famiglia {Q(t)} in Meccanica dei Solidi (Maggio)

·         Rappresentazione di un tensore W in Skew con l’uso di rotazione di angolo pi-greco/2 attorno ad ax (W) e di una diade (Maggio)

·         Tensori simmetrici: particolari tensori simmetrici sono Trazione, Pressione e Taglio. Studio dettagliato di questi tre tensori (Maggio)

·         Tensioni massime e tensioni minime per pressione, trazione e taglio (Maggio)

·          Analisi locale di uno stato di sforzo: parte sferica e parte deviatorica di un tensore simmetrico T del II ordine. (Maggio)

·         Comunque sia scelto un riferimento cartesiano ortogonale, ogni stato di sforzo T si decompone come somma di uno stato di pressione (o trazione) uniforme, di al più tre stati di trazione (o compressione) nella direzione di assi coordinati e di al più tre stati di taglio nei piani coordinati (Maggio)

·         Ricerca di autocoppie per un tensore T simmetrico del II ordine: equazione secolare ed invarianti ortogonali di T (Maggio)

·         Autocoppia per T = (autovalore, autoversore relativo all’ autovalore) (Maggio)

·         Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Trazione o Compressione (Maggio)

·         Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Pressione o Espansione (Maggio)

·         Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Taglio (Maggio)

·         Direzioni principali e tensioni principali di un tensore simmetrico T del II ordine (Maggio)

·         Linee isostatiche di un tensore simmetrico del II ordine T (Maggio)

·         Tensione normale e tensione tangenziale di un tensore simmetrico del II ordine T (Maggio)