Canale Teams: Generale | Complementi di Geometria ed Algebra Tensoriale (2025-2026: Flamini-Codogni) | Microsoft Teams
Codice Teams:vfq7669
(1) ci si iscrive al canale Teams
(2) si seguono le 10 ore di lezione del Prof. Flamini (su canale teams) e/o le 10 ore di lezione del Prof. Codogni (in presenza)
(3) per gli argomenti trattati dal Prof. Flamini, si risponde ad un breve questionario a scelta multipla sugli argomenti trattati, da svolgersi nel mese di Maggio (tempo per rispondere ai quesiti = 1 settimana) per non interferire con la preparazione degli esami della sessione estiva
(4) per gli argomenti trattati da Prof. Codogni, si affronta un esercizio aperto e gli studenti espongono in presenza al Co-docente lo svolgimento. Anche questa prova verrà svolta nel mese di Maggio per non interferire con la preparazione degli esami della sessione estiva
(5) per tutti/e coloro che avranno passato con votazione positiva le prove in (3) e/o (4) e dunque risulteranno idonei/e all’attibuzione di Crediti F, il docente responsabile Prof. Flaminio Flamini produrrà un CERTIFICATO DI ATTRIBUZIONE di CREDITI F (con la lista di tutti i nominativi di costoro)
(6) i Crediti F sono FRAZIONABILI, cioè si può acquisire nr. 1 Credito F se si supera o solo la parte (3) oppure solo parte (4). Altrimenti, superando sia la parte (3) che la parte (4) verranno attribuiti nr. 2 Crediti F
(7) Il Docente responsabile (Prof. Flaminio Flamini), dopo aver ricevuto lista idonei per la parte (4) dal Codocente Prof. Codogni, invierà per e-mail CERTIFICATI DI ATTRIBUZIONE di n. 2 (oppure nr. 1) CREDITI F (con la lista di tutti i nominativi di costoro) alla Segreteria Didattica del Dipartimento di Ingegneria Civile, cosiccome farà l’upload sul Canale Teams
(8) Sarà cura del/della singolo/a studente/studentessa rivolgersi alla Segreteria Didattica del Dipartimento di Ingegneria Civile per indicazioni sulla convalida dei rispettivi Crediti F per cui è risultato/a idoneo/a
Giorno di lezione settimanale: Mercoledi’ ore 15:00-17:00 (2 ore)
Modalità di svolgimento: lezione svolta sul Canale Teams sopra riportato con upload delle note in pdf lezione per lezione
Data di inizio: Mercoledì 11 Marzo 2026 (per un totale di 5 lezioni)
LEZIONE 1 (2 ore)
Funzionali lineari su uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V
Spazio vettoriale Hom(V,W) di applicazioni lineari tra gli spazi vettoriali V e W
I ISOMORFISMO CANONICO: V* tensor W isomorfo a Hom(V,W)
II ISOMORFISMO CANONICO: se V è uno spazio vettoriale euclideo, V è canonicamente isomorfo al suo spazio vettoriale duale V*.
Prodotto tensoriale di spazi vettoriali; Dimensione di un prodotto tensoriale di spazi vettoriali.
Tensori di ordine k su uno spazio vettoriale euclideo V; i tensori di ordine 0 sono gli scalari di IR; i tensori del I ordine sono i vettori di V; i tensori del II ordine si identificano con gli elementi di End(V).
LEZIONE 2 (2 ore)
Tensori decomponibili del II ordine in V = IR^3 (dette anche Diadi in IR^3)
Prodotto diadico in IR^3; rango di una diade (a tensor b).
Determinazione di Im (a tensor b) e di Ker(a tensor b); Matrice rappresentativa di una diade.
(IR^3)^{tensor 2} = End(IR^3) = M(3x3; IR) = Lin = spazio vettoriale dei tensori del II ordine su V=IR^3;
Composizione di due tensori II ordine e composizione di due diadi. Lin è un’algebra non-commutativa rispetto a queste operazioni;
Potenza di un tensore del II ordine. Trasposto di un tensore del II ordine in IR^3
LEZIONE 3 (2 ore)
Tensori simmetrici (Sym) e tensori antisimmetrici (Skew) del II ordine in IR^3
Ogni tensore del II ordine su IR^3 si scrive in modo unico come somma di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico, cioè Lin si decompone in somma diretta dei sottospazi vettoriali Sym e Skew.
Calcolo della dimensione di Sym e di Skew.
Traccia e Determinante di un tensore del II ordine; Prodotto scalare in Lin; tensori ortogonali rispetto al prodotto scalare in Lin;
La decomposizione di Lin in somma diretta tra il sottospazio Sym ed il sottospazio Skew è somma diretta ortogonale;
Tensori del II ordine ortogonali = Orth; Rotazioni = Orth^+; basi ortonormali canoniche dei sottospazi Sym e Skew;
Polinomio caratteristico di un tensore del II ordine; invarianza per cambiamenti di base del polinomio caratteristico di un tensore T in Lin; coefficienti del polinomio caratteristico I(T), II(T) e III(T) per un tensore T in Lin come invarianti metrici del tensore T
LEZIONE 4 (2 ore)
Se T in Orth^+ non è il tensore ortogonale identità, allora T ha 1 come autovalore semplice e l’autospazio relativo all’autovalore 1 coincide con l’asse di rotazione di T;
Tensori antisimmetrici: corrispondenza assiale ax: Skew -> IR^3; ogni tensore antisimmetrico W non nullo in Skew ha rango due; l’asse fornito dalla corrispondenza assiale ax(W), associato ad un tensore W non-nullo in Skew corrisponde a Ker(W) che ha dimensione 1;
Famiglia ad un parametro di tensori rotazione {Q(t)}, dove t una variabile temporale in un intervallo connesso J di IR e dove ogni tensore Q(t) è in Orth^+, per ogni t in J; famiglia di tensori antisimmetrici {W(t)} in Skew associati alla famiglia dei tensori {Q(t)};
Tensore Spin della famiglia {Q(t)} in Meccanica dei Solidi
LEZIONE 5 (2 ore)
Tensori simmetrici: alcuni particolari tensori simmetrici sono Trazione, Pressione e Taglio; Studio dettagliato di questi tre tensori;
Tensioni massime e tensioni minime per pressione, trazione e taglio;
Analisi locale di uno stato di sforzo: parte sferica e parte deviatorica di un tensore simmetrico T del II ordine; Comunque sia scelto un riferimento cartesiano ortonormale, “ogni stato di sforzo T si decompone come somma di uno stato di pressione (o trazione) uniforme, di al più tre stati di trazione (o compressione) nella direzione di assi coordinati e di al più tre stati di taglio nei piani coordinati”;
Ricerca di autocoppie per un tensore T simmetrico del II ordine: equazione secolare ed invarianti ortogonali di T; autocoppia per T = (autovalore, autoversore associato);
Calcolo esplicito di equazione secolare, invarianti ortogonali, autocoppie, direzioni e tensioni principali dei tensori fondamentali (a) trazione o compressione; (b) pressione od espansione; (c) taglio
Organizzazione del corso: il corso si terrà in presenza. L'orario, sentite anche le esigenze degli studenti, verrà comunicato qui su Teams.
Questa parte del corso durerà 10 ore e varrà 1 cfu.
Modalità per l’attribuzione di 1 cfu su questa parte: gli studenti/le studentesse dovranno svolgere un esercizio, anche a casa lavorando autonomamente o anche in gruppo. In seguito dovranno presentare individualmente ed in presenza lo svolgimento dello stesso.
5- trasformazioni del piano
6- trasformazioni dello spazio
7- curve e superfici
Se il tempo lo permetterà, approfondiremo la prima e la seconda forma fondamentale di una superficie