Università di Roma “Tor Vergata”

Facoltà di Ingegneria

Corso di Studi in Ingegneria Edile/Architettura

&

Corso di Studi in Ingegneria dell’Edilizia

Complementi di Algebra Lineare e Geometria e Fondamenti di Algebra Tensoriale

(rivisitazione del corso di Geometria con ampliamenti su

nozioni utilizzate nei corsi di Meccanica dei Solidi, Statica, Scienze delle Costruzioni)

Corso FACOLTATIVO - 2 Crediti F

II SEMESTRE 2022-2023

Docente: Prof. F. Flamini (Dipartimento di Matematica – flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Lezioni

Giorno di lezione settimanale: GIOVEDI’

Marzo: Giovedì 9, Giovedì 16, Giovedì 23, Giovedi’ 30

Aprile: Giovedì 6, Giovedì 13, Giovedi’ 20

Orario: 16:00-19:00

Canale Teams: https://teams.microsoft.com/l/team/19%3aLYBMAdKypUT7WvPtHf2AEbfEirLedlfelE0TW03ZSVQ1%40thread.tacv2/conversations?groupId=ecca566c-2855-44b1-a1f8-945fb4bd8d34&tenantId=24c5be2a-d764-40c5-9975-82d08ae47d0e
Codice Teams: a9j8tn5

Dispense lezioni svolte: online sul canale teams

INFORMAZIONI RELATIVE AL CORSO

· Non serve aggiungere il corso nel piano di studi individuale, dato che è un corso equiparato ad un WORKSHOP,

· Il corso se freqeuntato fornisce nr. 2 crediti FORMATIVI.

· Non vi è quindi alcuna verbalizzazione su libretto universitario nè tantomeno un voto finale, ma solo una IDONEITA' per l'acquisizione dei crediti F.

NORME PER ACQUISIRE I 2 CREDITI F

· PER ACQUISIRE 2 CREDITI F:

1) si devono seguire le lezioni online

2) il docente produrra' un CERTIFICATO DI ATTRIBUZIONE CREDITI F con la lista di tutti i frequentanti idonei ed invierà questo certificato alla segreteria del CCS di Edilizia ed Edile Architettura.

3) sara' cura dello studente/della studentessa rivolgersi alla Segreteria per indicazioni sulla convalida dei Crediti F.

Programma Didattico

Complementi di Algebra Lineare e Geometria e Fondamenti di Algebra Tensoriale

(A) Rivisitazione del linguaggio di Algebra Lineare e di Geometria Euclidea per applicazioni ai corsi di Meccanica dei Solidi – Statica - Scienze delle Costruzioni:

GIOVEDI 9 MARZO (3 ORE)

· delta di Kronecher, notazione di Einstein ed indici saturati in sommatorie

· matrici cambiamento di base, coniugio o similitudine tra matrici quadrate

· prodotti scalari su spazi vettoriali, spazi vettoriali euclidei ed applicazione trasposta di un’applicazione data

· basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo, gruppo ortogonale e congruenza di matrici

· prodotto vettoriale e prodotto misto in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3: significati geometrici.

· Simbolo di Ricci e permutazioni di classe pari o dispari

GIOVEDI 16 MARZO (3 ORE)

· Rivisitazione del Teorema di Rouchè-Capelli: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza ed unicità di soluzioni di un sistema lineare non omogeneo Ax=b. Interpretazione con applicazioni lineari L_A e con il Teorema di Nullità e Rango

· Interpretazione quando A = matrice di equilibrio, b = vettore della forza attiva, x = vettore incognito delle reazioni vincolari

· Tabella degli equilibri: equilibrio isostatico, equilibrio labile, equilibrio iperstatico ed equilibrio degenere

· Sottospazio ortogonale ad un sottospazio: dimensioni ed inclusioni

· Il complemento ortogonale in V ad un sottospazio W. Decomposizione in somma diretta ortogonale

· TEOREMA: Sia L_A: Uà V un’applicazione lineare tra spazi vettoriali euclidei. Allora Im(L_A) coincide con il complemento ortogonale a Ker(L_A^t), ove L_A^t è l’applicazione lineare trasposta (o aggiunta) di L_A

· Teorema dei lavori virtuali: rilettura del TEOREMA precedente con A= matrice di equilibrio o dei vincoli e A^t= matrice della cinematica

· Interpretazione dei vari sottospazi coinvolti:

(i) Im(L_A) = spazio dei carichi compatibili,

(ii) Ker(L_A)= spazio delle sollecitazioni autoequilibrate

(iii) Im(L_A^t) = Ortogonale a Ker(L_A) = spazio delle sollecitazioni sugli elementi che sono in equilibrio con i carichi compatibili

· (iv) Ker(L_A^t) = Ortogonale a Im(L_A) = spazio dei carichi incompatibili

· Formulazione della tabella degli equilibri in termini dei soli nuclei di L_A= matrice dei vincoli e di L_A^t = matrice della cinematica

· La caratterizzazione statica e la caratterizzazione cinematica godono della proprietà di dualità

GIOVEDI 23 MARZO (3 ORE)

· Definizione di gruppo astratto.

· Esempi già noti: (V,+), (IR*, x).

· GL(n, IR) = gruppo lineare

· O(n, IR) = Orth = gruppo ortogonale

· SO(n, IR) = Orth+ = gruppo speciale ortogonale

· Orth- non ha struttura di sottogruppo

· Nozione di forza come vettore applicato: è una nozione affine

· Retta d’azione di una forza (corpi rigidi e corpi deformabili)

· Vettori applicati in un punto e vettori applicati ad una retta

· Momento di una forza rispetto ad un polo. Formula del trasporto

· Sistemi di forze: forza risultante e momento risultante

· Ulteriore utilizzo del Teorema di Rouchè-Capelli: decomposizione di un vettore forza in un sistema di forze aventi retta d’azione e punti d’applicazione assegnati

(B) Introduzione alla terminologia di Algebra Tensoriale per applicazioni ai corsi di Meccanica dei Solidi – Statica - Scienze delle Costruzioni:

GIOVEDI 30 MARZO (3 ORE)

· Funzionali lineari su uno spazio vettoriale

· Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V

· Spazio vettoriale Hom(V,W) di applicazioni lineari tra gli spazi vettoriali V e W

· Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Dimensione di un prodotto tensoriale di spazi vettoriali

· I ISOMORFISMO CANONICO: Isomorfismo tra lo spazio vettoriale V* tensor W e lo spazio vettoriale Hom(V,W)

· II ISOMORFISMO CANONICO: se V è uno spazio vettoriale euclideo, V è canonicamente isomorfo al suo spazio vettoriale duale V*

· Tensori di ordine k su uno spazio vettoriale euclideo V

· I tensori del I ordine sono i vettori di V

· I tensori del II ordine si identificano agli elementi di End(V)

· I tensori del III ordine si identificano alle applicazioni lineari da V ad End(V)

· Tensori decomponibili di ordine due in IR^3 = Diadi in IR^3

· Prodotto diadico in IR^3

· Rango di una diade (a tensor b)

· Im (a tensor b) e Ker(a tensor b)

· Matrice rappresentativa di una diade

· (IR^3)^{tensor 2} = End(IR^3) = M(3x3; IR) sono modelli di Lin = spazio dei tensori del II ordine su IR^3

· Lin come spazio vettoriale. Composizione di due tensori del secondo ordine e composizione di due diadi. Lin è un’algebra non commutativa rispetto a queste operazioni

GIOVEDI 6 APRILE (3 ORE)

· Potenza di un tensore del II ordine. Trasposto di un tensore del II ordine in IR^3.

· Tensori simmetrici (Sym) e tensori antisimmetrici (Skew) del II ordine in IR^3

· Ogni tensore del II ordine su IR^3 si scrive in modo unico come somma di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico

· Traccia di un tensore. Prodotto scalare in Lin.

· Tensori ortogonali rispetto al prodotto scalare in Lin.

· Decomposizione di Lin in somma diretta ortogonale tra il sottospazio Sym ed il sottospazio Skew

· Calcolo della dimensione di Sym e di Skew

· Determinate di un tensore

· Tensori del II ordine ortogonali = Orth. Rotazioni = Orth^+

· Tensori del II semidefiniti positivi ed autovalori reali

· Basi ortonormali canoniche dei sottospazi Sym e Skew

· Polinomio caratteristico di un tensore del II ordine

· Invarianza per cambiamenti di base del polinomio caratteristico di un tensore T in Lin

· Coefficienti del polinomio caratteristico I(T), II(T) e III(T) per un tensore T in Lin come invarianti metrici od ortogonali di T

· Ricerca di autocoppie per un tensore T del II ordine: equazione secolare di T

· Autocoppia per T = (autovalore, autoversore relativo all’ autovalore)

· Se T in Orth^+ non è il tensore identico, allora T ha autovalore 1 come autovalore semplice e l’autospazio relativo all’autovalore 1 coincide con l’asse di rotazione della rotazione data da T

GIOVEDI 13 APRILE (3 ORE)

· Tensori antisimmetrici: corrispondenza assiale ax: Skew à IR^3

· Ogni tensore antisimmetrico W non nullo in Skew ha rango due

· L’asse fornito dalla corrispondenza assiale ax (W), associato ad un tensore W non-nullo in Skew corrisponde a Ker(W) che ha dimensione 1

· Caso particolare: famiglia ad un parametro {Q(t)}, dove t una variabile temporale in un intervallo connesso J di IR e dove ogni tensore Q(t) è in Orth^+, per ogni t in J

· Famiglia di tensori antisimmetrici {W(t)} in Skew associati alla famiglia dei tensori {Q(t)} in Orth^+

· Tensore Spin della famiglia {Q(t)} in Meccanica dei Solidi

· Rappresentazione di un tensore W in Skew con l’uso di rotazione di angolo pi-greco/2 attorno ad ax (W) e di una diade

· Tensori simmetrici: particolari tensori simmetrici sono Trazione, Pressione e Taglio. Studio dettagliato di questi tre tensori

· Tensioni massime e tensioni minime per pressione, trazione e taglio

GIOVEDI 20 APRILE (2 ORE)

· Analisi locale di uno stato di sforzo: parte sferica e parte deviatorica di un tensore simmetrico T del II ordine.

· Comunque sia scelto un riferimento cartesiano ortogonale, ogni stato di sforzo T si decompone come somma di uno stato di pressione (o trazione) uniforme, di al più tre stati di trazione (o compressione) nella direzione di assi coordinati e di al più tre stati di taglio nei piani coordinati

· Ricerca di autocoppie per un tensore T simmetrico del II ordine: equazione secolare ed invarianti ortogonali di T

· Autocoppia per T = (autovalore, autoversore relativo all’ autovalore)

· Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Trazione o Compressione

· Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Pressione o Espansione

· Calcolo di equazione secolare, invarianti ortogonali ed autocoppie del tensore T di Taglio

· Direzioni principali e tensioni principali di un tensore simmetrico T del II ordine

· Linee isostatiche di un tensore simmetrico del II ordine T

· Tensione normale e tensione tangenziale di un tensore simmetrico del II ordine T