Università di Roma “Tor Vergata”

Scienza e Tecnologia dei Media

 

Corso di Geometria – I Modulo

I semestre 2019-2020

 

Programma Sintetico Orientativo Modulo 1

ITALIANO

·     Sistemi lineari ed algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan.

·     Matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli. Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer.

·    Spazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.

·   I numeri complessi. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio vettoriale reale e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Cenni a spazi vettoriali complessi.

·  Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi. Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore.

· Endomorfismi. Diagonalizzabilità. Polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un endomorfismo. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni).

·  La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza. Proiettori ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotto scalare standard in IR^n

·  Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3. Modulo del determinante è un volume. Orientazione di basi.

 

ENGLISH

· Linear systems and Gauss-Jordan.

· Matrices. Rank. Rouchè-Capelli. Determinants: Sarrus and Laplace theorem. Minors. Kronecher theorem. Cramer's theorem.

· Vector spaces. Linear dependence and independence. Base, coordinates, base change and coordinates. Subspaces. Parametric and Cartesian equations of subspaces. Codimension of a subspace.

· Complex numbers. Argand Gauss plane. Norm and module. Polar representation of a complex number. De Moivre's formula and n-th roots of a complex number. Overview of complex vector spaces.

· Linear maps. Kernel and Image. Injective and surjective maps. Isomorphisms. Linear maps and base change. Rank of a linear application. Pre-images of a vector.

· Endomorphisms. Diagonalization. Characteristic polynomial. Trace and determinant of an endomorphism. Eigenvalues ​​and eigenspaces. Algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue. Applications of eigenvectors (dynamic systems, orbits). Complex eigenvectors and complex diagonalization (outline).

· The general definition of scalar product and Euclidean vector spaces. Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality between vectors, convex angles between vectors, norm, distance. Orthogonal projectors. Orthonormal bases. Gram-Schmidt orthonormalization procedure. Standard scalar product in  IR^ n

· External product and mixed product in IR^3. Volumes. Special orthogonal matrices and not. Self-adjoint operators