· Sistemi lineari ed algoritmo di
eliminazione di Gauss-Jordan.
· Matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli. Determinanti: regola di Sarrus
e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher.
Regola di Cramer.
· Spazi vettoriali. Dipendenza ed
indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di
base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche
e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione
di un sottospazio.
· I numeri complessi. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio
vettoriale reale e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso.
Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero
complesso. Cenni a spazi vettoriali complessi.
· Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine.
Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e
cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti
basi. Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un
vettore.
· Endomorfismi. Diagonalizzabilità. Polinomio caratteristico. Invarianza
del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di
un endomorfismo. Autovalori ed autospazi.
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici,
orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione
complessa (cenni).
· La definizione generale di prodotto scalare e
di spazio vettoriale euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz,
ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza.
Proiettori ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione
di Gram-Schmidt. Prodotto scalare standard in IR^n
· Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3.
Modulo del determinante è un volume. Orientazione di basi.
ENGLISH
· Linear systems and Gauss-Jordan.
·
Matrices. Rank. Rouchè-Capelli. Determinants: Sarrus and Laplace theorem. Minors. Kronecher theorem.
Cramer's theorem.
· Vector
spaces. Linear dependence and independence. Base, coordinates, base change and
coordinates. Subspaces. Parametric and Cartesian equations of subspaces. Codimension of a subspace.
· Complex
numbers. Argand Gauss plane. Norm and module. Polar
representation of a complex number. De Moivre's
formula and n-th roots of a complex number. Overview
of complex vector spaces.
· Linear
maps. Kernel and Image. Injective and surjective
maps. Isomorphisms. Linear maps and base change. Rank
of a linear application. Pre-images of a vector.
· Endomorphisms. Diagonalization.
Characteristic polynomial. Trace and determinant of an endomorphism. Eigenvalues and eigenspaces.
Algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue.
Applications of eigenvectors (dynamic systems, orbits). Complex eigenvectors
and complex diagonalization (outline).
· The general
definition of scalar product and Euclidean vector spaces. Cauchy-Schwarz
inequality, orthogonality between vectors, convex
angles between vectors, norm, distance. Orthogonal projectors. Orthonormal bases. Gram-Schmidt orthonormalization
procedure. Standard scalar product in
IR^ n
· External
product and mixed product in IR^3. Volumes. Special orthogonal matrices and
not. Self-adjoint operators