Università di Roma “Tor Vergata”
Scienza e Tecnologia
dei Media
Corso di Geometria – I Modulo
I semestre 2018/19
Programma
Sintetico Orientativo
· Sistemi lineari e matrici. Sistemi equivalenti. Compatibilità di un sistema lineare. Algoritmo di Gauss-Jordan.
· Matrici ed operazioni tra matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli.
· Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer.
· Spazi vettoriali. Esempi: vettori geometrici, matrici, polinomi, funzioni. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.
· Campi: esempi Q e IR. I numeri complessi C come estensione di IR. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio vettoriale su IR e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Spazi vettoriali sui complessi (cenni).
· Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi. Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore. Interpretazione “operatoriale” del teorema di Rouchè-Capelli.
· Operatori lineari (od Endomorfismi). Diagonalizzabilità di operatori lineari: polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un operatore. Teorema di Hamilton-Cayley. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni).
· La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Ortogonalità. Elementi di geometria Euclidea di R^n: prodotto scalare canonico, diseguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza. Proiettori ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
· Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3. Modulo del determinante è un volume.
· Operatori ortogonali e matrici rappresentative in basi ortonormali. Rotazioni e simmetrie in IR^2 ed IR^3.
· Operatori autoaggiunti e matrici rappresentative in basi ortonormali. Teorema spettrale degli operatori auto aggiunti (tempo permettendo)
