Algebraic Geometry

Laurea Magistrale in Matematica

  A.A. 2016-2017 – I semestre


 Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
 Lezioni: Lunedì, Mercoledì, Giovedì, 14:00-16:00, Aula 1200

Ricevimento Studenti. SEMESTRE I: Lunedi' 16:30-18:30 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1); SEMESTRE II: per appuntamento via e-mail
 
 

Calendario Giornaliero (Daily Calendar)

26/09/2016 - 16/12/2016 (8 Credits – 64 hours)

Settimana (Week)

 Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (2 ore)- 26/9/2016

· Introduzione alla Geometria Algebrica: descrizione del corso,  problematiche legate a varie discipline, cenni storici.

· Spazio affine numerico A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n) := IK[x_1,…,x_n], su un campo IK.

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) ed ideali I dell’anello A^(n). Corrispondenza Ideali ed  IAA.

· Esempi di “non buona” corrispondenza tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso, finito ed infinito) che per colpa degli ideali (non radicali).

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Anelli commutativi unitari e noetheriani. Esempi.

· Teorema della base di Hilbert.

· Commenti: sottoanelli di anelli noetheriani non necessariamente sono noetheriani (esempi); quozienti di anelli noetheriani sono noetheriani. 

  

2 (2 ore)- 28/9/2016

· Formulazione equivalente di noetherianità per mezzo di catene ascendenti di ideali propri.

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) (IK qualsiasi campo).

· Ideali radicali. Un ideale primo è  radicale; un ideale massimale è radicale.

· m_b = (x_1-b_1,….,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo).  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

· IAA come chiusi di A^n(IK) nella topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK). Prime proprietà di Zar(a,n): è T1.

 · Esempi: classificazione di tutti i chiusi propri di A^1(IK). Conseguenza: se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

· Esempi geometrici di ideali con medesimo radicale e determinazione del chiuso di Zariski. Corrispondenza non iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski.

· Se IK non algebricamente chiuso (finito od infinito), la corrispondenza non è iniettiva nemmeno con ideali radicali. Esempi.

  

3 (2 ore)- 29/9/2016

· Esempi: coniche affini irriducibili reali e complesse. Superficie di Riemann associata ad una conica complessa (conti espliciti con parametrizzazione in A^2(C)).

· Sottospazi affini di A^n(IK): sottospazi coordinati (in particolare assi) e sottospazi affini. L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è radicale perchè primo.  

· Esempi: ipersuperfici in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie.

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK). Gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski di A^n(IK).

· Prodotti di chiusi affini. Cilindri: rivisitazione delle quadriche doppiamente degeneri in di A^3(IK) che sono cilindri in termini di ideali.

· Zar(a,n)  e prodotti di chiusi. La topologia prodotto su A^n(IK)x A^m(IK) è meno fine della topologia di Zariski su  A^n(IK)x A^m(IK) = A^{n+m}(IK).

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e forma forte (HNff), significati geometrici.

· Controesempi di varia natura quando il campo IK e’ finito o non è algebricamente chiuso.

· Ideale I_a(Y) in A^(n)  di un sottoinsieme qualsiasi Y di A^n(IK)  (IK qualsiasi campo). 

· Corrispondenza sottoinsiemi – ideali: corrispondenza non biunivoca.

Settimana 2

4 (2 ore) – 3/10/2016

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia  Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz  forma forte (HNff) in termini di I_a (-)

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso si ha una corrispondenza 1-1 tra ideali radicali di A^(n)  e chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza 1-1, gli ideali massimali di A^(n)  corrispondono ad i punti di A^n(IK) (conseguenza di HNfd)

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff): A-moduli, morfismi di A-moduli, A-algebre, morfismi di A-algebre.

· Nozioni di finitezza: A-modulo finitamente generato = A-algebra finita, A-algebra di tipo finito, Ampliamento di campi finitamente generato.  Legami tra le tre nozioni

· Legami tra le tre nozioni nel caso di IK < L campi: L è IK-algebra finita à L è IK-algebra di tipo finito à IK<L ampliamento di campi f.g.  

· Le implicazioni in generale non si invertono: se x e’ indeterminata su IK, IK[x] è una IK-algebra di tipo finito che non e’ finita e IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento di IK f.g.  che non è una IK-algebra di tipo finito.

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: caso trascendente e caso algebrico.

· Lemma di Zariski: enunciato

  

5 (2 ore)- 5/10/2016

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di HNfd.

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali radicali di A^(n) e chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza biunivoca, i punti di A^n(IK) sono in corrispondenza biunivoca con i massimali di A^(n). 

· La somma di ideali radicali non necessariamente è radicale.

· I_a(-) di una unione finita di chiusi e I_a(-) di una intersezione qualsiasi di chiusi.

· Per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), I_a(X) = I_a(chiusura di X). 

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali propri radicali principali di A^(n) e ipersuperfici di A^n(IK). 

· Se f è polinomio irriducibile, Z_a(f) è ipersuperficie irriducibile. Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali primi principali di A^(n) e ipersuperfici irriducibili di A^n(IK). 

· Componenti irriducibili di un’ipersuperficie di A^n(IK).  

  

6 (2 ore) – 6/10/2016

· Dipendenza integrale ed A-moduli f.g. Esempi.

· Chiusura integrale di un dominio A in un dominio  B contenente A.

· Domini integralmente chiusi.

· Un UFD e' sempre integralmente chiuso

· Dimostrazione del Lemma di Zariski.

· Principio di identità dei polinomi in  A^(n).

Settimana 3

7 (2 ore) – 10/10/2016

· Conseguenze del principio di identità dei polinomi: se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre, equivalentemente ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK). 

· Se IK algebricamente chiuso, I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0). 

· Principio di Study (affine)  per IK algebricamente chiuso. Controesempi in IK infinito, ma non algebricamente chiuso. 

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve piane affini; ipersuperfici irriducibili di A^2(IK) = curve piane affini irriducibili.  

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva irriducibile di A^2(IK)  ha infiniti punti. Controesempi se IK infinito ma non algebricamente chiuso.

· I chiusi propri di A^2(IK) sono il vuoto, unioni finite di punti, unioni finite di curve irriducibili ed unioni finite di curve irriducibili e punti non appartenenti alle curve irriducibili.  

· Derivate di polinomi in D[x], ove D dominio integro. Derivate parziali in  A^(n).

· Anello dei polinomi S^(n) := IK[x_0,…,x_n] e polinomi omogenei di S^(n).

· S^(n)_d   = la componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) è un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per dim (S^(n)_d) su IK 

  

8 (2 ore)- 12/10/2016

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei ed identità di Eulero.

· Omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di polinomi. Proprietà.

· Significati geometrici.

· Anello graduati. 

· Elementi omogenei ed ideale irrilevante in un anello graduato.

· Ideali omogenei di un anello graduato.

· Caratterizzazione di ideali omogenei in termini dei suoi generatori.

· Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei.

· Radicale di un ideale omogeneo.

· Ideali omogenei primi.

· Un anello quoziente è  graduato se e solo se l’ideale quoziente e’ omogeneo

  

9 (2 ore) – 13/10/2016

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle coordinate omogenee. 

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo. 

· Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo.

· Se IK è infinito, zeri in  P^n  di un polinomio e legame con gli zeri delle sue componenti omogenee. Controesempi su campi finiti.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP), Z_p(I) con I Ideale omogeneo in S^(n). 

· Ideali omogeneo I_p(X)  in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Intersezioni e somme.

· Proprietà degli IAP come chiusi di una topologia su P^n =  Zar(p,n)  topologia di Zariski su P^n.

· Differenze sostanziali con il caso affine: l’ideale irrilevante è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p(1) vuoto in P^n.

· Ogni IAP può essere scritto come luogo di zeri di polinomi omogenei dello stesso grado. 

· HNfd  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, I ideale proprio omogeneo.  Allora Z_p(I) vuoto, se e solo se rad(I) = S_+. 

· Cono affine C_a(X) in  A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n.

Settimana 4

10 (2 ore) – 17/10/2016

· HNff  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Differenze sostanziali tra A^n e P^n: I ideale radicale e’ t.c. Z_p(I) è un punto di  P^n se e solo se  I ideale primo non massimale dato da Ax= 0 con rg(A) = n;

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude S_+.

· Analogie tra A^n e P^n: (i)   Zar(p,n) è T_1; (ii)   Zar(p,1) non è T_2; (iii) Sottospazi coordinati di   P^n; (iv) Ipersuperfici di P^n.

· Sottospazi lineari di P^n e loro ideale omogeneo.

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) ed aperti fondamentali U_i. Ricoprimento di  P^n in aperti fondamentali, punti all’infinito di aperti fondamentali.  P^n e’ unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

· Ricoprimento in aperti  Y_i  di un chiuso Y di P^n.

· Chiuso Y_i in U_i individuato da un chiuso proiettivo Y di P^n. Esempi.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n = U_i ed ideale generato dagli omogeneizzati dei polinomi. Esempi e controesempi

  

11 (2 ore) – 19/10/2016

· Gli aperti fondamentali U_i sono omemorfi a spazi affini A^n.

· Conseguenze: U_i si dicono carte affini,

· P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini). Analogamente, per ogni chiuso proiettivo Y, gli Y_i = Y n U_i  sono aperti affini di un ricoprimento aperto finito.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine e componenti all’infinito per la carta affine. 

· Se IK algebricamente chiuso, l’unico chiuso affine irriducibile che è anche chiuso proiettivo è un punto. 

  

12 (2 ore) – 20/10/2016

· Se IK e’ infinito, la chiusura proiettiva di A^n è P^n

· Chiusi (localmente chiusi) di A^n sono localmente chiusi di P^n, chiusi di  P^n individuano sempre chiusi di A^n.

· Sottospazio lineare intersezione di sottospazi lineari e sottospazio lineare congiungente sottospazi.

· Formula di Grassmann proiettiva e conseguenze.

· Inviluppo lineare di un sottoinsieme in  P^n e sottoinsiemi non degeneri.

· Sottospazi lineari di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini.

· Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

· Cono affine e cono proiettivo di un chiuso proiettivo: ideali associati.

· Chiusura proiettiva di una ipersuperficie di A^n ed ideale omogeneo associato. Principio di Study proiettivo.

· Chiusura proiettiva di una curva di A^2 ed ideale omogeneo associato. Classificazione di tutti i chiusi propri di P^2

· Curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)), t in IK e f_i polinomi non tutti costanti in A^(1), ed ideale primo associato ad X. 

· Applicazioni: cubica gobba affine C_a in A^3. I_a(C_a) è generato da due quadriche. 

Settimana 5

13 (2 ore)  - 24/10/2016

NO LEZIONE: RICHIESTO DA STUDENTI PER PARTECIPARE ALLE LAUREE

  

14 (2 ore)  - 26/10/2016

· Cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3.

· C_p = C_a unione {P}= Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i quadriche proiettive linearmente indipendenti.

· Successione regolare in una IK-algebra integra di tipo finito: la nozione dipende dall’ordine degli elementi .

· C_p è intersezione completa insiemistica di una quadrica ed una cubica, ma solo come insieme algebrico (struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti)

· I_p(C_p) è generato da tre quadriche, pertanto C_p non è intersezione completa in IP^3.

· Dimostrazione esplicita di  I_p(C_p) =  (F_1, F_2, F_3): modulo delle sizigie, calcolo della dimensione di I_p(C_p) _d, per ogni d >1.

  

15 (2 ore) – 27/10/2016

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X. Esempi, contro-esempi e legami con la connessione.

· Criteri topologici di irriducibilità. Aperti densi. Immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Applicazioni ad IAA e IAP: P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili, ogni aperto non vuoto di  P^n è denso, Zar(p,n) non è T_2. Analogo per A^n. Controesempi per IK finito.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili: sottospazi affini, sottospazi lineari di P^n, la cubica gobba affine e proiettiva, ogni curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)),

· Se X sottoinsieme di A^n irriducibile, U aperto di X, allora uguaglianza ideali in A^(n):  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a e’ la chiusura affine di X

· Se X sottoinsieme di P^n irriducibile, U aperto di X, allora uguaglianza ideali omogenei in S^(n):  I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p e’ la chiusura proiettiva di X.

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate (affini) di X sottoinsieme di  A^n. S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X sottoinsieme di P^n

· Criteri algebrici di irriducibilità in termini di I_a(X), equiv. di A(X) (corrispondentemente, in termini di I_p(X) e di S(X)). 

· Corrispondenza 1-1 tra IAA irriducibili ed ideali primi;  Corrispondenza 1-1- tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}.

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie.

· Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p e’ irriducibile.

· Varietà affini, quasi-affini, proiettive e quasi-proiettive. Esempi e contro esempi. La nozione più generale è quasi-proiettiva. Varietà ALGEBRICA. Chiuso ALGEBRICO.

· Ogni varietà quasi-proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà quasi-affini.

· Z varietà proiettiva se e solo se in ogni carta affine U_i il chiuso algebrico Z taglia una varietà affine (utilizzo della condizione di primalità di ideali omogenei). Esempi e controesempi. 

Settimana 6

16 (2 ore)  - 31/10/2016

 PONTE 1 NOVEMBRE

  

17 (2 ore) - 2/11/2016

· Spazi topologici noetheriani.

· Y sottoinsieme di X noetheriano è noetheriano.

· Noetherianità e compattezza.

· Conseguenze: A^n e  P^n sono noetheriani  (la noetherianità topologica discende dalla notherianità algebrica via Teorema della base di Hilbert e reversing-inclusion)

· Ogni varietà algebrica  è noetheriana. 

· Esempi di spazi topologici noetheriani, non con topologia di Zariski.

· Se X e’ noetheriano e separato, allora e’ un insieme finito con topologia discreta.

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di un noetheriano X si scrive in modo unico irridondante (a meno dell’ordine) in unione di suoi chiusi propri irriducibili.

· I chiusi propri irriducibili di una decomposizione irridondante sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· Ogni chiuso algebrico è unione finita di varietà algebriche (chiuse). Equivalente algebrico: ogni ideale radicale di A^(n) è intersezione di ideali primi. Le varietà quasi-proiettive sono i mattoni dei localmente-chiusi algebrici.

· L’intersezione di due varietà affini (o proiettive) non sempre e’ una varietà. Esempio: due delle quadriche (irriducibili) proiettive standard che contengono la cubica gobba proiettiva.

  

18 (2 ore) – 3/11/2016

· Funzioni regolari e razionali su A^n. Aperti di definizione.

· Funzioni razionali omogenee di grado zero come funzioni razionali su IP^n. Aperti di definizione.

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta. Asserzione equivalente nel caso di una varietà quasi-affine.

· Se X varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce funzioni regolari su X.

· Prefasci e fasci di gruppi abeliani su uno spazio topologico. Prefascio su X come funtore controvariante da Top(X) ad Abel

· Esempi di prefasci che non sono fasci.  Sezioni di un fascio su un aperto U e sezioni globali di un fascio.

· Prefascio strutturale O_X di una varietà algebrica X. Le sezioni globali O_X(X) sono le funzioni regolari su X.

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica. 

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato di Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su X.

Settimana 7

19 (2 ore)  - 7/11/2016

· Funzioni razionali su una varietà X. K(X) campo delle funzioni razionali su X, è ampliamento del campo IK

· Conseguenza: O_X è un fascio, detto fascio strutturale della varietà X.

· Per ogni aperto U di X,  O_X(U) è sottoalgebra integra di K(X). 

· Se U < V due aperti, l’omomorfismo di IK-algebre O_X(V) ---->  O_X(U) è  iniettivo.

· Per ogni aperto U di X si ha  O_X(X) <  O_X(U)  < K(X).

· Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Esempi in cui l’aperto di definizione di una funzione razionale è strettamente contenuto in X.

  

20 (2 ore)  - 9/11/2016

· Sottovarietà algebrica di una varietà algebrica.

· W sottovarietà di una varietà X: O_{X,W} anello delle funzioni razionali definite in W. Si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

· Spighe O_{X,p}.

· (A,m) anello locale. Caratterizzazione in termini di invertibili in A. Campo residuo A/m.

· (O_{X,W}, m_{X,W}) è locale. Il suo campo residuo è isomorfo a al campo delle funzioni razionali K(W) di W.

· Ideale I_U(W) di una sottovarietà W di X in un aperto U di X che interseca W.

· Se U aperto di X, K(U) è isomorfo a K(X).  

  

21 (2 ore)  - 10/11/2016

· Fondamenti teoria della localizzazione: S  sistema moltiplicativo in un anello commutativo unitario A.

· Relazione di equivalenza su AxS. L’anello quoziente è A_S, il localizzato di A rispetto a S.

· Morfismo di localizzazione A -> A_S non e’ iniettivo in generale. E’ iniettivo se e solo se A dominio. Rivisitazione nel caso dei domini del campo delle frazioni di un dominio.

· Per ogni S moltiplicativo si hanno inclusioni  A < A_S < Q(A)).

· Localizzazione omogenea di un anello graduato A rispetto ad un sistema moltiplicativo S.  

· Ideale esteso I^e ed ideale contratto J^c per un morfismo di anelli. Relazioni di inclusione.

· Un ideale proprio J di A rimane ideale proprio in A_S se e solo J non interseca S.

· Ideali primi di A e di A_S.

· Se p è ideale primo di A, S:= A - p  è sistema moltiplicativo. A_S in tal caso si denota con A_ p e l’ideale esteso  p A_ p è ideale massimale.

· (A_ p , p A_ p ) è anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

· Se A è graduato localizzazione omogenea (A_ (p) , p A_ (p) ) è anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/ p) sottocampo dei frazioni di grado 0 in Q(A/ p).

· Caso di A dominio. Localizzazione A_(0). Se A graduato, localizzazione omogenea A_((0)).

· f in A elemento non-nilpotente. Localizzazione A_f. Se A graduato, localizzazione omogenea A_([f]).

Settimana 8

22 (2 ore) – 14/11/2016

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali (ENUNCIATO)

(i) Se X è una varietà affine, allora:

* O_X(X) = A(X);

* tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

* K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

* per ogni sottovarietà W di X, K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

(ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

* O_X(X) = IK.

* tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

* K(X) = S (X)_((0));

* per ogni sottovarietà W di X,  K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

· Conseguenze del teorema fondamentale: (i) se X = P un punto O_P(P) = K(p) = IK; (ii) O_{A^n}(A^n) = A^(n), O_{P^n}(P^n) = IK ma K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n). 

· Esempio: O_{P^1}(P^1) = IK con conti espliciti

· Esempio: X iperbole Z_a(xy-1) in A^2. Si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine  A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) < O_W(W) = A(X).   Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f :W à X, t ----> (t , 1/t) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.  

 

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)   per X la parabola Z_a(y - x^2). Si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f: A^1 ----> X, t --à (t, t^2) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica X.  

  

23 (2 ore) – 16/11/2016

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)  per X l’ellisse x^2 + y^2 =1 in A^2. Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio. Rilettura in termini di parametrizzazione e proiezione da uno dei punti ciclici della ellisse.

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la parabola semicubica y^2 = x^3 (cubica piana cuspidale). Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la cubica piana y^2 = x(x-1) (x-a). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x), i.e. K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x).

 

· Per ogni varietà algebrica X, K(X) è un campo che è ampliamento f.g. di IK.

· Se q è punto in X affine e X chiusura proiettiva di X, allora O_{X,q} = O_{X,q}.

  

24 (2 ore) – 17/11/2016

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali. CASO AFFINE e LEMMI PREPARATORI PER CASO PROIETTIVO

Settimana 9

25 (2 ore) – 21/11/2016 

· Fine dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali. CASO PROIETTIVO

· Morfismi di varietà algebriche. Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come IK-algebre integre. Esempi: parabola ed A^1. Controesempi: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e  K(W) sono campi isomorfi. Non vale il viceversa: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

26 (2 ore) – 23/11/2016

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1; n-upla di funzioni regolari su V e morfismi da V ad A^n.

· Luogo di zeri di un morfismo da V ad A^n.

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V. 

· Criteri per stabilire se un’applicazione VàW, con W quasi-affine in A^n, e’ un morfismo di varietà

· Mappe polinomiali tra A^n ed A^m. Morfismi tra varietà affini.

· Se V varietà algebrica e W varietà affine, Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)). Ricostruzione di un morfismo da un omomorfismo di IK-algebre.

· Controesempi con V e W proiettive e non punti, oppure con A^2-{(0,0)}.

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

· Morfismo di proiezione p_I :A^n à A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

· La parabola è isomorfa ad A^1. L’iperbole e l’ellisse sono isomorfe ad A^1\{0}. Ricostruzione dei morfismi.

  

27 (2 ore) – 24/11/2016

· Se f è isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e noetheriani. Non è vero il viceversa: la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi.

· L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili. Esempi

· Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

· Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una affine è costante.

· Se V e W varietà affini allora f :V à W è morfismo dominante se e solo se f^# :A(W) à A(V) e’ omomorfismo iniettivo.

· Gli aperti fondamentali U_i di IP^n sono isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine e di aperto affine di una varietà algebrica. IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

· A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è aperto affine. Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini.

· Per ogni ipersuperficie  Z < A^n , l’aperto W:= A^n \ Z è un aperto affine di  A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di  A^{n+1}. In particolare, O_W(W) è isomorfo a (A^{(n)})_f.

· A differenza di A^2-{(0,0)}, che è quasi-affine ma non affine, il complementare in A^2 di una curva di grado d è una varietà affine.

Settimana 10

28 (2 ore) – 28/11/2016

· Se W proiettiva, O_W(W)  non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

· Criteri per stabilire se un’applicazione VàW, con V e W quasi-proiettive è un morfismo.

· Morfismi f da aperti di  IP^n con F_0,…F_r in S^{(n)}_d. Im(f) è non degenere in IP^n se e solo se F_0, …F_r linearmente indipendenti. Luogo di non definizione di f ed aperto di definizione di f. 

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane dell’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n. Sistemi lineari di grado d e dimensione r.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_2^{(1)}: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

· Esempi:  Cubica gobba proiettiva in IP^3 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_3^{(1)}. E’ un isomorfismo sull’immagine.

· Morfismo da IP^n caso dei polinomi F_i lineari. Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi ad un suo automorfismo.  Se invece r < n, f e’ definito sul complementare di un sottospazio lineare L di IP^n. Identificazione del morfismo f con una proiettività degenere, i.e. con la proiezione da  IP^n di centro L su un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r.

· Costruzione geometrica della proiezione di IP^n di centro  L su un IP^r.

  

29 (2 ore) – 30/11/2016

· Morfismo di Veronese di indici n e d. Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

· V_{1,d} è la curva razionale normale: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

· V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Sottosistemi lineari del sistema completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale  V_{1,d}

· Ulteriori utilizzi del morfismo di Veronese: se W è un’ipersuperficie di IP^n di grado d, allora IP^n – W e’ una varietà affine.

· IP^2 – {[1,0.0]} è varietà quasi-proiettiva ma non è né proiettiva, né affine, né quasi-affine.

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo. Esempio: IP^1 e la conica di Veronese V_{1,2} sono isomorfe ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2.

· Se però V e W sono proiettivamente equivalenti in IP^n, allora S(V) è isomorfo a S(W).

  

30 (2 ore)  - 1/12/2016

· Il prodotto di 2 varietà affini è una varietà affine. Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

· Anello delle coordinate della varietà affine prodotto

· Proprietà locali di morfismi.

· Immersione di Segre e varietà di Segre S_{n,m}.

· Il prodotto IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva da quella di S_{n,m}  e la struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini.  Le proiezioni sui fattori sono morfismi.

· IP^1 x IP^1 come quadrica S_{1,1} doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di  S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy dello spazio affine.

· Prodotto di due varietà proiettive qualsiasi. Le proiezioni sui fattori sono morfismi.

· Prodotto di due varietà quasi-proiettive qualsiasi. Le proiezioni sui fattori sono morfismi.

· Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

· Per ogni morfismo f: V → W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

Settimana 11

31 (2 ore) – 5/12/2016

· Se f,g : V à W sono morfismi che coincidono su un aperto U di V, allora coincidono su V.

· F:V- - -> W applicazione razionale. U_F aperto di definizione di F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F. Un morfismo è un’applicazione razionale ma non è vero il viceversa.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· Applicazioni (od isomorfismi) birazionali.

· Se F:V- - -> W è razionale dominante, allora F*: K(W) → K(V) è un morfismo iniettivo di campi.

· Se V e W sono varietà birazionali allora K(V) isomorfo a K(W).

· Ogni varietà algebrica V ha base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.

· Corrispondenza 1-1 tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) à k(V)}. In tale corrispondenza le applicazioni birazionali vanno in isomorfismi di campi.

· Conseguenze: (i) V e W sono birazionali se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi; (ii) due varietà sono birazionali se e solo se hanno due aperti isomorfi; (iii) ogni varietà algebrica V è birazionale ad un suo aperto; (iv) ogni varietà algebrica e’ birazionale ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.  

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica. Modello di una classe birazionale.

· Varietà razionali.

· Esempi: la retta affine, la retta proiettiva, ellisse, iperbole, parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, sono tutte birazionali fra loro. Ciascuno e’ modello della classe birazionale di [P^1]. Sono CURVE RAZIONALI.

· Esempi: la cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale  [A^1] (K(Z) è un estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

· La costruzione di IP^n determina un’applicazione razionale da A^{n+1} a IP^n

  

32 (2 ore)  - 7/12/2016

· Ogni morfismo f: V à IP^1 individua un’applicazione razionale F:V ----> A^1, e quindi un elemento F di K(V).

· Esempi in cui la corrispondenza si inverte: ogni mappa razionale da A^1 ad A^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Esempi in cui la corrispondenza non si inverte: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 = A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1 di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - >  IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

· Ulteriori esempi di estensioni di applicazioni: proiezioni p_V di varietà algebriche V < IP^n su sottospazi IP^m: luogo di definizione della proiezione p_V e casi di estendibilità.

· Proiezione stereografica di una quadrica di rango quattro di IP^3 su un piano: conti espliciti.

· Conseguenza: IP^1 x IP^1 è birazionale a IP^2, i.e. la quadrica e’ SUPERFICIE RAZIONALE.

  

33 (2 ore)  - 8/12/2016

FESTIVITA’ IMMACOLATA

Settimana 12

34 (2 ore)  - 12/12/2016

· Scoppiamento di IP^n  nel punto P_0 = [1,0,…,0] come sottovarietà chiusa di IP^n x IP^{n-1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento: significato geometrico del divisore eccezionale come spazio di parametri della famiglia delle rette di IP^n uscenti da P_0.

· Conti espliciti per lo scoppiamento di IP^2: in opportune carte affini lo scoppiamento è in A^3 il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) sopra l’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine.

· Utilizzo dello scoppiamento: scioglimento della singolarità in (0,0) della parabola semicubica x^2 = y^3 in A^2 e della cubica nodale x^3 + x^2 – y^2 = 0 in A^2. La trasformata stretta in A^3 è in entrambi i casi una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico (0,0,0) punto mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).

· Varietà complete.

· Le varietà affini non sono complete: esempi vari.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione: le varietà proiettive sono complete.

· Conseguenze: (i) l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target.  (ii) ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo (spiega il termine COMPLETA).  

· Conseguenze di Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte varietà proiettive. Ritroviamo inoltre che tutti i morfismi da una varietà proiettiva ad una affine sono costanti, che tutte le funzioni regolari su una varietà proiettiva sono costanti.

  

35 (2 ore) – 14/12/2016

· Grado di trascendenza di un ampliamento di campi IK < L. Base di trascendenza su IK di L.

· Grado di trascendenza di una IK-algebra integra R, di campo dei quozienti L.

· Massimo numero di elementi di R che sono IK-algebricamente indipendenti coincide con il grado di trascendenza su IK di R (solo enunciato)

· Epimorfismi di IK-algebre integre Rà R’, e grado di trascendenza su IK. 

· Additività del grado di trascendenza per ampliamenti IK<L<F  (solo enunciato)

· Dimensione di una varietà algebrica V : grado di trascendenza su IK di K(V).

· Dimensione di spazi affini, di spazi proiettivi, di sottospazi lineari.

· dim(V) = 0 se e solo se V è un punto.

· Se U è un aperto di una varietà algebrica V, allora dim(U) = dim(V).

· Se f V- - -> W è applicazione razionale dominante allora dim(W) <= dim (V). In particolare la dimensione è un’invariante birazionale.

· dim(VxW) = dim(V) + dim(W).

· Dimensione di sottovarietà proprie e chiuse W di V. Codimensione di una sottovarietà propria di V.

· V < A^r sottovarietà di dimensione r-1 se e solo se V = Z_a(f) è ipersuperficie irriducibile.

· Localmente chiusi di spazi affini o proiettivi di DIMENSIONE PURA (curva, superficie, 3-varietà, ecc.)

· Dimensione di un localmente chiuso o di uno spazio affine o di uno spazio proiettivo (caso di dimensione NON PURA).

  

36 (2 ore) – 15/12/2016 

· Varietà affine V in A^r e spazio tangente affine T_a(V,p) in un suo punto. Matrice jacobiana J. Minori J_h di J : rango e dimensione dello spazio tangente affine

· Chiusi di V determinati da Z_a(J_h). Sing(V) è un chiuso proprio di V, eventualmente vuoto.

· Punti non-singolari e punti singolari di V.

· Esempi: cubica piana cuspidale (parabola semi-cubica) e cubica piana nodale.

· Molteplicità di intersezione tra una retta ed una varietà V in un punto p di V. Rette che toccano V in p.

· Lo spazio tangente affine a V in p è costituito dalle rette che toccano V in p.

· Caso di V varietà proiettiva: lo spazio lineare tangente a V in un punto P è la chiusura proiettiva dello spazio tangente affine a V_0 in p.

· Definizione intrinseca: se V varietà algebrica e p punto di V, l'ideale massimale m in O_{V,p} è un O_{V,p}-modulo f.g. e m/m^2 e’ un IK-spazio vettoriale di dimensione finita.

· Il duale di m/m^2 e’ lo spazio tangente di Zariski.

· Isomorfismo canonico tra spazio tangente di Zariski e spazio vettoriale Der(O_{V,p}, IK) delle derivazioni in IK.

· Nel caso di V varietà affine, esiste un isomorfismo canonico tra T_a(V,p) e lo spazio tangente di Zariski.

· Hom_{IK} (O_{V,p}, IK[e]), dove IK[e] anello dei numeri duali, è isomorfo a Der(O_{V,p}, IK) e quindi allo spazio tangente di Zariski.

· Definizione intrinseca di punto non singolare per una varietà algebrica.