Algebraic Geometry

Laurea Magistrale in Matematica

  A.A. 2014-2015


 Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
 Lezioni: Martedì & Mercoledì. Ore: 11:00 – 13:00; Venerdì. Ore 9:00-11:00    Aula 1101 (D'Antoni) 

Ricevimento Studenti: stanza 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1)
 Venerdì, ore 11:00 -13:00
 

Calendario Giornaliero (Daily Calendar)

02/03/2015 - 05/06/2015 (8 Credits – 64 hours)

Semestre (Semester)

Settimana (Week)

 Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

I I

Settimana 1

1 (2 hours) 3/3/2015.

· Introduzione alla Geometria Algebrica: descrizione del corso,  problematiche legate a varie discipline, cenni storici.

 

· Spazio affine numerico A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n) := IK[x_1,…,x_n], su un campo IK.

 

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) ed ideali I dell’anello A^(n). Corrispondenza Ideali ed  IAA.

 

· Esempi di “non buona” corrispondenza tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso, finito ed infinito) che per colpa degli ideali (non radicali).

 

· Ideali finitamente generati in A^(n)

 

· Anelli commutativi unitari e noetheriani. Esempi.

  

  

2 (2 ore) 4/3/2015.

· Teorema della base di Hilbert (con dimostrazione).

 

· Formulazione equivalente di noetherianità per un anello  B per mezzo di catene ascendenti di ideali propri di B.

 

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) (IK qualsiasi campo).

 

· Ideali radicali. Un ideale primo è  radicale; un ideale massimale è radicale.

 

· m_b = (x_1-b_1,….,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo).  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

 

· IAA come chiusi di A^n(IK) nella topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK). Prime proprietà di Zar(a,n): è T1.

 

· Esempi: classificazione di tutti i chiusi propri di A^1(IK). Conseguenza: se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

 

· Esempi geometrici di ideali con medesimo radicale e determinazione del chiuso di Zariski. Corrispondenza non iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski.

  

  

3 (2 ore) 6/3/2015.

· Se IK non algebricamente chiuso (finito od infinito), la corrispondenza non è iniettiva nemmeno con ideali radicali. Esempi.

 

· Il radicale di un ideale è un ideale radicale. Un ideale primo (o massimale) è un ideale radicale.

 

· Esempi: coniche affini irriducibili reali e complesse. Superficie di Riemann associata ad una conica complessa (conti espliciti con parametrizzazione in A^2(C)).

 

· Sottospazi affini di A^n(IK): sottospazi coordinati (in particolare assi) e sottospazi affini. L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è radicale perchè primo.  Rilettura dell’incompatibilità di sistemi lineari in termini di ideali e IAA.

 

· Esempi: ipersuperfici in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie. Legame con la decomposizione primaria di un ideale principale in un UFD.  

 

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK). Gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski di A^n(IK).

 

· Prodotti di chiusi affini. Cilindri: rivisitazione delle quadriche doppiamente degeneri in di A^3(IK) che sono cilindri in termini di ideali.

 

· Zar(a,n)  e prodotti di chiusi. La topologia prodotto su A^n(IK)x A^m(IK) è meno fine della topologia di Zariski su  A^n(IK)x A^m(IK) = A^{n+m}(IK).

Settimana 2

4 (2 ore) 10/3/2015.

· Ideale I_a(Y) in A^(n)  di un sottoinsieme qualsiasi Y di A^n(IK)  (IK qualsiasi campo). 

 

· Chiusura (di Zariski) di Y in A^n(IK). Corrispondenza sottoinsiemi – ideali. Corrispondenza non biunivoca.

 

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e forma forte (HNff), significati geometrici. Controesempi di varia natura quando il campo IK e’ finito o non è algebricamente chiuso.

 

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso si ha una corrispondenza 1-1 tra ideali radicali di A^(n)  e chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza 1-1, gli ideali massimali di A^(n)   corrispondono ad i punti di A^n(IK).

 

· Proprietà della corrispondenza in termini di inclusioni, unioni ed intersezioni.

 

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff). Nozioni di finitezza: A-modulo finitamente generato, A-algebra finita, A-algebra di tipo finito, Ampliamento di campi finitamente generato.  Legami tra le tre nozioni e controesempi.

 

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi in questa terminologia: caso trascendente e caso algebrico.

 

· Enunciato del Lemma di Zariski.

  

  

5 (2 ore) 11/3/2015.

· 2 ore verranno recuperate nel corso di settimane 3-4-5 (partecipazione del docente ad un conferenza all’estero)

  

  

6 (2 ore) 13/3/2015.

· 2 ore verranno recuperate nel corso di settimane 3-4-5  (partecipazione del docente ad un conferenza all’estero)

Settimana 3

7 (2 ore) 17/3/2015.

· Dimostrazione di HNfd e HNff con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

 

· Complementi su alcuni campi non algebricamente chiusi: campo di definizione di un IAA e campo coordinato. Punti  IK-razionali di un IAA. 

 

· Problema di Fermat e punti Z-razionali della curva proiettiva X^n + Y^n = Z^n. Riduzione a punti Q-razionali della curva affine x^n + y^n =1.

 

· Rivisitazione delle terne pitagoriche come punti Q-razionali della conica x^2 + y^2 =1. Parametrizzazioni razionali e punti Q-razionali. 

 

· Esempi di coniche IR-parametrizzabili prive di punti Q-razionali.

 

· IK campo, X indeterminata. IK[X] ha infiniti polinomi monici irriducibili. Conseguenze: i campi algebricamente chiusi hanno infiniti elementi.

 

· D’ora in poi  IK algebricamente chiuso (salvo menzione esplicita)

  

  

8 (2 ore) 18/3/2015.

· A^(n) è UFD, per ogni intero positivo n.

 

· Radici di un polinomio in D[x], ove D dominio integro. Fattorizzazione in D[x] e Teorema di Gauss. Derivate di polinomi in D[x]

 

· Principio di identità dei polinomi in  A^(n).

 

· Derivate di polinomi in D[x]. Derivate parziali in  A^(n).

 

· Cenni di teoria dell’eliminazione di due polinomi in D[x], dove D è UFD: matrice di Sylvester di due polinomi in D[x] e risultante. CNES per un fattore comune non costante.

 

· Discriminante di un polinomio e fattori multipli in D[x]. Se D = IK algebricamente chiuso, radici multiple del polinomio.

  

  

9 (2 ore) 20/3/2015.

· Teoria dell’eliminazione in più indeterminate.

 

· Risultanti rispetto ad una qualsiasi indeterminata di due polinomi in A^(n).

 

· Applicazione della teoria dell’eliminazione in due indeterminate: caratterizzazioni dei chiusi propri di in A^2(IK).

· Brevi cenni di risultanti di più di 2 polinomi rispetto ad una qualsiasi indeterminata in A^(n).

· Anello dei polinomi S^(n) := IK[x_0,…,x_n] e polinomi omogenei di S^(n)

· S^(n)_d   = la componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) è un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per dim (S^(n)_d) su IK

·  In questa settimana 3 si è recuperata 1 ora e 20 minuti di Settimana 2

Settimana 4

10 (2 ore)  24/3/2015.

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei e identità di Eulero.

 

· Risultante di due polinomi omogenei.

 

· Omogeneizzazione e de omogeneizzazione di polinomi.

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle coordinate omogenee. 

· Anello graduati, elementi omogenei ed ideale irrilevante. Ideali omogenei. Caratterizzazione di ideali omogenei.

· Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei.

  

  

11 (2 ore) 25/3/2015

· Radicale di un ideale omogeneo, Ideali omogenei primi. Anelli quozienti graduati se e solo se l’ideale quoziente e’ omogeneo

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo.  Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo.

· Se IK è infinito, zeri in  P^n  di un polinomio e legame con gli zeri delle sue componenti omogenee. Controesempi su campi finiti.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP), Z_p(I) con I Ideale omogeneo in S^(n). 

· Ideali omogeneo I_p(X)  in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Intersezioni e somme.

· Proprietà degli IAP come chiudi di una topologia su P^n =  Zar(p,n)  topologia di Zariski su P^n.

· Differenze sostanziali con il caso affine: l’ ideale irrilevante è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p(1) vuoto in P^n.

· Equivalente di HNfd  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, I ideale proprio omogeneo.  Allora Z_p(I) vuoto, se e solo se rad(I) = S_+. 

  

  

12 (2 ore) 27/3/2015.

· Cono affine C(X) in  A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n

 

· Equivalente di HNff  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

 

· IK algebricamente chiuso d’ora in poi.

· Differenze sostanziali tra A^n e P^n: I ideale radicale e’ t.c. Z_p(I) è un punto di  P^n se e solo se  I ideale primo non massimale dato da Ax= 0 con rg(A) = n;

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude S_+.

· Analogie tra A^n e P^n: (i)   Zar(p,n) è T_1; (ii)   Zar(p,1) non è T_2; (iii) Sottospazi coordinati di   P^n; (iv) Ipersuperfici di P^n.

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) ed aperti fondamentali U_i. Ricoprimento di  P^n in aperti fondamentali, punti all’infinito di aperti fondamentali.  P^n e’ unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

· Ricoprimento in aperti  Y_i  di un chiuso Y di P^n.

· Chiuso Y_i in U_i individuato da un chiuso proiettivo Y di P^n. Esempi.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n = U_i ed ideale generato dagli omogeneizzati dei polinomi. Esempi e controesempi

· In questa settimana 4 si è recuperata 1 ora e 20 minuti di Settimana 2

Settimana 5

13 (2 ore)  31/3/2015

· Gli aperti fondamentali U_i sono omemorfi a spazi affini A^n.

· Conseguenze: U_i si dicono carte affini, P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini), per ogni chiuso proiettivo Y gli Y_i sono suoi aperti affini di un ricoprimento aperto finito.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine e componente all’infinito.

· Se IK algebricamente chiuso, l’unico chiuso affine irriducibile che è anche chiuso proiettivo è un punto.

· Se IK e’ infinito, la chiusura proiettiva di A^n è P^n

· Chiusi (localmente chiusi) di A^n sono localmente chiusi di P^n, chiusi di  P^n individuano sempre chiusi di A^n.

· Ogni IAP può essere scritto come luogo di zeri di polinomi omogenei dello stesso grado. 

  

  

14 (2 ore)  1/4/2015

· Sottospazi lineari di P^n e loro ideale omogeneo. Sottospazi affini indotti nelle carte affini.

· Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

· Sottospazio intersezione e sottospazio congiungente. Formula di Grassmann proiettiva e conseguenze. Inviluppo lineare di un sottoinsieme in   P^n e sottoinsiemi non degeneri.

· Cono affine e cono proiettivo di un chiuso proiettivo: ideali associati.

· Chiusura proiettiva di una curva di A^2 ed ideale omogeneo associato. Classificazione di tutti i chiusi propri di P^2 (sia con risultante omogeneo sia con chiusura di curve affini)

· Chiusura proiettiva di una ipersuperficie di A^n ed ideale omogeneo associato. 

 

·  In questa settimana 5 si è recuperata 1 ora e 20 minuti di Settimana 2

  

  

15 (2 ore)  3/4/2015

·  NO LEZIONE (COMUNICAZIONE PERVENUTA DALLA MACROAREA IL 20/3/2015) In base alla circolare di Ateneo (Prot. 8483/2015 del 20/03/2015) l'Università sarà chiusa da venerdì 3 aprile a lunedì 6 aprile. Pertanto, le attività didattiche devono essere sospese.

Settimana 6

16 (2 ore)  7/4/2015

· Curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)), t in IK e f_i polinomi non tutti costanti in A^(1), ed ideale primo associato ad X. 

· Applicazioni: cubica gobba affine C_a in A^3. I_a(C_a) è generato da due quadriche. 

· Cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3. C_p = C_a unione {P}

· Interpretazione per mezzo del morfismo di Veronese in grado 3 da P^1. 

· C_p è intersezione completa insiemistica di una quadrica ed una cubica.

· I_p(C_p) è generato da tre quadriche, pertanto C_p non è intersezione completa di quadriche.

 

· Cenni sulla dimostrazione di I_p(C_p)  generato da tre quadriche: modulo delle sizigie, calcolo della dimensione di I_p(C_p) _d, per ogni d >1.

  

  

17 (2 ore)  9/4/2015

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X. Esempi, contro esempi e legami con la connessione.

· Criteri topologici di irriducibilità. Aperti densi. Immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Applicazioni a IAA e IAP: P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili, ogni aperto non vuoto di  P^n è denso, Zar(p,n) non è T_2. Analogo per A^n. Controesempi per IK finito.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili: sottospazi affini, sottospazi lineari di P^n, la cubica gobba affine e proiettiva, ogni curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)),

· Se X sottoinsieme di A^n irriducibile, U aperto di X, allora uguaglianza ideali in A^(n):  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a e’ la chiusura affine di X

· Se X sottoinsieme di P^n irriducibile, U aperto di X, allora uguaglianza ideali omogenei in S^(n):  I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p e’ la chiusura proiettiva di X.

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate (affini) di X sottoinsieme di  A^n. S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X sottoinsieme di P^n

· Criteri algebrici di irriducibilità in termini di I_a(X), equiv. di A(X) (corrispondentemente, in termini di I_p(X) e di S(X)). 

· Corrispondenza 1-1 tra IAA irriducibili ed ideali primi;  Corrispondenza 1-1- tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}.

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie.

· Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X) e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p e’ irriducibile.

  

  

18 (2 ore)  10/4/2015

· Varietà affini, quasi-affini, proiettive e quasi-proiettive. Esempi e contro esempi. La nozione più generale è quasi-proiettiva. Varietà ALGEBRICA. Chiuso ALGEBRICO.

· Ogni varietà quasi-proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà quasi-affini.

· Z varietà proiettiva se e solo se in ogni carta affine U_i il chiuso algebrico Z taglia una varietà affine (utilizzo della condizione di primalità di ideali omogenei). Esempi e controesempi. 

· Spazi topologici noetheriani. Y sottoinsieme di X noetheriano è noetheriano. Noetherianità e compattezza.

· Conseguenze: A^n e  P^n sono noetheriani  (la noetherianità topologica discende dalla notherianità algebrica via Teorema della base di Hilbert e reversing-inclusion)

· Ogni varietà algebrica  è noetheriana. 

· Esempi di spazi topologici noetheriani, non con topologia di Zariski. Se X e’ noetheriano e separato, allora e’ un insieme finito con toplogia discreta.

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di un noetheriano X si scrive in modo unico irridondante (a meno dell’ordine) in unione di suoi chiusi propri irriducibili. I chiusi propri irriducibili di una decomposizione irridondante sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· Ogni chiuso algebrico è unione finita di varietà algebriche (chiuse). Equivalente algebrico: ogni ideale radicale di A^(n) è intersezione di ideali primi. Le varietà quasi-proiettive sono i mattoni dei localmente-chiusi algebrici.

· L’intersezione di due varietà affini (o proiettive) non sempre e’ una varietà. Esempio: due delle quadriche (irriducibili) proiettive standard che contengono la cubica gobba proiettiva.

Settimana 7

19 (2 ore)  14/4/2015

· Funzioni razionali omogenee di grado zero. Funzioni razionali bene definite su  IP^n

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta. Asserzione equivalente nel caso di una varietà quasi-affine.

· Se X varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce funzioni regolari su X.

· Prefasci e fasci di insiemi su uno spazio topologico. Esempi semlici di prefasci che non sono fasci.  Sezioni e sezioni globali.

· Prefascio O_X di una varietà algebrica X. Le sezioni globali sono le funzioni regolari su X, i.e. su tutti i punti di X.

· Luogo di zeri di una funzione regolare  di una varietà algebrica. 

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se si identifica IK con A^1 dotato di Zar(a,1)

· Se f e g regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X allora coincidono su X.

  

  

  

  

  

Settimana 8

20 (2 ore)  21/04/2015

· Funzioni razionali su una varietà X. K(X) campo delle funzioni razionali su X, ampliamento del campo IK

· Conseguenza: O_X è un fascio, detto fascio strutturale della varietà X.

· Per ogni aperto U di X,  O_X(U) è sottoanello di K(X). 

· Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Sottovarietà algebrica di una varietà algebrica.

· W sottovarietà di una varietà X: O_{X,W} anello delle funzioni razionali definite in W. Si ha O_X(X) <  O_{X,W} < K(X).

 

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

 

· (A,m) anello locale. Caratterizzazione in termini di invertibili in A. Campo residuo A/m.

  

  

21 (2 ore) 22/04/2015

· (O_{X,W}, m_{X,W}) è locale. Il suo campo residuo è isomorfo a al campo delle funzioni razionali K(W) di W.

· Ideale I_U(W) di una sottovarietà W di X in un aperto U di X che interseca W.

· Se U aperto di X, K(U) è isomorfo a K(X). 

· Cenni di teoria della localizzazione: S  sistema moltiplicativo in un anello commutativo unitario A.

 

· Relazione di equivalenza su AxS. L’anello quoziente è A_S, il localizzato di A rispetto a S

 

· Morfismo di localizzazione A -> A_S non e’ iniettivo in generale. E’ iniettivo se e solo se A dominio.

 

· Rivisitazione nel caso dei domini del campo delle frazioni di un dominio. Per ogni S moltiplicativo si hanno inclusioni  A < A_S < Q(A))

 

· Localizzazione omogenea di un anello graduato A rispetto ad un sistema moltiplicativo S.  

 

· Ideale esteso I^e ed ideale contratto J^c per un morfismo di anelli. Relazioni di inclusione.

  

  

22 (2 ore) 24/04/2015

· Un ideale proprio J di A rimane ideale proprio in A_S se e solo J non interseca S (solo motivazioni euristiche)  

 

· Ideali primi di A e di A_S.

 

· Se p è un ideali primo di A, S:= A - p  è un sistema moltiplicativo. A_S in tal caso si denota con A_ p. L’ideale esteso   p A_ p è proprio e massimale.

 

· (A_ p , p A_ p ) è anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

 

· Se A è graduato localizzazione omogenea (A_ (p) , p A_ (p) ) è anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/ p) sottocampo dei frazioni di grado 0 in Q(A/ p).

 

· Caso di A dominio. Localizzazione A_(0). Se A graduato, localizzazione omogenea A_((0)).

 

· f in A elemento non nilpotente. Localizzazione A_f. Se A graduato, localizzazione omogenea A_([f]).

· Applicazioni: se X è una varietà affine, allora

(i)                 O_X(X) = A(X);

(ii)               tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

(iii)              l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

(iv)             K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

(v)               per ogni sottovarietà W di X, K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

· Prime Conseguenze: (i) se X = P un punto O_P(P) = K(p) = IK; (ii) se P un punto di una qualsiasi varietà algebrica, allora K(P) = IK; (iii) O_{A^n}(A^n) = A^(n), O_{P^n}(P^n) = IK ma K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n)

· Esempio: X varietà affine data dall’iperbole xy-1 = 0 in A^2. A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine  A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) < O_W(W) = A(X).   Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). K(x) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f di X da W con inversa mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa di Veronese con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X. Sono tutte varietà RAZIONALI. 

  

Settimana 9

23 (2 ore)  28/04/2015

· Esempi: Calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la parabola y = x^2 e della ellisse x^2 + y^2 =1 in A^2. K(x) è  sempre un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche dei precedenti esempi. Rilettura in termini di parametrizzazioni e proiezioni da punti all’infinito delel due coniche.

· Esempio O_{P^1}(P^1) = IK con conti espliciti

· Esempio calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la parabola semicubica y^2 = x^3

· Esempio calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la cubica piana y^2 = x(x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1. K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x)  ma il  grado di trascendenza su IK è uno

· Come conseguenza del caso affine e della localizzazione si ha facilmente: se X è una varietà proiettiva, allora

(i)                 tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

(ii)               l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

(iii)              K(X) = S (X)_((0)); (v) per ogni sottovarietà W di X, K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

  

  

24 (2 ore).

· Cenni su integralità: A < B domini integri. Definizione di elemento v in B integrale su A. Caratterizzazione: v e’ integrale su A se e solo se il sotto A-modulo A[v] di B e’ f.g. come A-modulo.  Utilizzo per lo studio di O_X(X) varietà proiettiva.

· Se Y è una varietà proiettiva e Y_i non vuota e’ la sua traccia affine nell’aperto affine U_i, allora A(Y_i) è isomorfo a S(Y)_([x_i]), dove x_i l’indeterminata corrispondente all’ipepiano all’infinito di U_i.

· Se X è una varietà proiettiva, allora  O_X(X) = IK

 

· Morfismi di varietà algebriche. Isomorfismi ed auto morfismi di varietà algebriche.

 

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti. Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come algebre integre. Esempi: parabola ed A^1.  Controesempi: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

 

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi di campi delle funzioni razionali. Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e  K(W) sono campi isomorfi Non vale il viceversa: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

 

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1. n-upla di funzioni regolari su V e morfismi da V ad A^n

 

· Luogo di zero di un morfismo da V ad  A^n.

 

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sotto-varietà W in una varietà V. 

  

  

25 (2 ore) 01/05/2015

FESTA DEL LAVORO 

Settimana 10

28 (2 ore) 05/05/2015

· Criteri per stabilire se un’applicazione V---->W, con W quasi-affine in A^n, e’ un morfismo

 

· Mappe polinomiali tra A^n ed A^m. Morfismi tra varietà affini

 

· Se V varietà algebrica e W varietà affine, Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)). Ricostruzione di un morfismo da un omomorfismo di IK-algebre.

 

· Conseguenza: Se V e W varietà affini, allora:

(1)    V isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

(2)   F :V ----> W dominante se e solo se f^# :A(W) ----> A(V) e’ iniettivo

· Morfismo di proiezione p_I :A^n----> A^m sulel coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

 

· La parabola è isomorfa ad A^1; l’iperbole e l’ellisse sono isomorfe ad A^1\{0}

 

· Se f è isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e noetehriani. Non è vero il viceversa: la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi.

 

· L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili. Esempi

 

· Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

 

· Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una affine è costante.

 

· Gli aperti fondamentali U_i di IP^n sono isomorfi ad A^n.

 

· Definizione generale di varietà affine e di aperto affine di una varietà algebrica.

  

  

29 (2 ore) 06/05/2015.

·  Per ogni ipersuperficie affine Z, l’aperto W:= A^n \ Z è un aperto affine di  A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di  A^{n+1}. In particolare, O_W(W) è isomorfo a (A^{(n)})_f

 

· Se W proiettiva O_W(W)  non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi si isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

 

· Criteri per stabilire se un’applicazione V->W, con V e W quasi-proiettive è un morfismo

 

· Morfismi f da aperti di  IP^n con F_0,…F_r in S^{(n)}_d. Im(f) è non degenere in IP^n se e solo se F_0, …F_r linearmente indipendenti. Luogo di non definizione di f ed aperto di definizione di f. 

 

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane dell’immagine e ipersuperfici di grado d di IP^n. Sistemi lineari di grado d e dimensione r.

 

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_2^{(1)}: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane della conica e coppie di punti su IP^1

 

· Esempi:  Cubica gobba proiettiva in IP^3 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_3^{(1)}. E’ un isomorfismo sull’immagine.

 

· Caso dei polinomi F_i lineari. Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi un suo automorfismo.

 

· Caso degli F_i lineari. Se r < n, f e’ definito sul complementare di un sottospazio lineare L di IP^n.

 

· Identifica del morfismo f con la proiezione da  IP^n di centro L su un qualsiasi sottospazio sghembo isomorfo a IP^r.

 

· Costruzioni geometriche della proiezione di centro  L e rilettura della formula di Grassmann di sottospazi proiettivi.

  

  

30 (2 ore)  08/05/2015

·  Morfismo di Veronese di indici n e d. Varietà di Veronese V_{n,d}.

 

· V_{1,d} è la curva razionale normale: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. E’ definita da quadriche ed è determinantale (reinterpretazione dell’ideale omogeneo della cubica gobba proiettiva generato dalle 3 quadriche ottenute dai minori della matrice di forme lineari). Matrice di forme lineari i cui minori 2x2 generano l’ideale della curva razionale normale.

 

· V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

 

· IP^5 è il sistema lineare completo delle coniche del piano, le coniche semplicemente degeneri costituiscono un’ipersuperficie cubica S_3 di IP^5 la quale contiene la superficie di Veronese V_{2,2} come spazio dei parametri delle coniche doppiamente degeneri di IP^2.

 

· Sottosistemi lineari del sistema lineare completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale V _{1,d}

 

· Conseguenze ed ulteriori utilizzi del morfismo di Veronese: se W è un’ ipersuperficie di IP^n di grado d, allora IP^n – W e’ una varietà affine. 

 

· Esistono varietà quasi-affini che non sono affini, e.g. A^2 – {(0,0)} (contrariamente al complementare in A^2 di una curva che abbiamo dimostrato essere affine)

 

· Se V è un sottospazio lineare di dimensione n-2 in IP^n, le funzioni regolari du IP^n – V sono solo costanti.

 

· Conseguenza: IP^2 – {[1,0.0]} è quasi-proiettiva ma non è né proiettiva, né affine né quasi-affine. 

 

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo. Esempio: IP^1 e la conica di Veronese V_{1,2} sono isomorfe ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2. 

Settimana 11

31 (2 ore) 12/05/2015

· Il prodotto di 2 varietà affini è una varietà affine. Anelli delle coordinate (solo cenno al prodotto tensoriale). Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

 

· Proprietà locali di morfismi.

 

· Immersione di Segre e varietà di Segre S_{n,m}.

 

· Il prodotto IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva da quella di S_{n,m}  e la struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini.  Le proiezioni sui fattori sono morfismi

 

· Prodotto di due varietà proiettive qualsiasi. Le proiezioni sono morfismi.

 

· Prodotto di due varietà quasi-proiettive qualsiasi. Le proiezioni sono morfismi.

 

· Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

 

· Per ogni morfismo f:V -> W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW

  

  

32 (2 ore)  13/05/2015

· Se f,g sono morfismi da V a W che coincidono su un aperto U di V, allora coincidono su tutta V.

 

· F:V- - -> W applicazione razionale. U_F aperto di definizione di F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F. Un morfismo è un’applicazione razionale ma non è vero il viceversa.

 

· Problemi con la composizione

 

· Applicazioni razionali dominanti. La composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

 

· Applicazioni (o isomorfismi) birazionali: se e solo se esiste un isomorfismo fra due aperti

 

· Trasformazioni razionali di una varietà, isomorfismi birazionali di una varietà = Bir(V). Bir(V) è un gruppo rispetto alla composizione ed Aut(V) ne è un sottogruppo

 

· Se F:V- - -> W è razionale dominante, allora F*:K(W) -> K(V) è un monomorfismo di campi. Se quindi V e W birazionali alora K(V) isomorfo a K(W)

 

· Ogni varietà algebrica V ha come base di aperti per Zar_V costituita da aperti affini

 

· Corrispondenza 1-1 tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) -> k(V)}. In tale corrispondenza le applicazioni birazionali vanno in isomorfismi di campi.

 

· Conseguenza: V e W sono birazionali se e solo se K(V) e K(W) sono isomorfi.

 

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica. Modello di una classe birazionale.

 

· Esempi: ogni varietà algebrica V è birazionale ad un suo aperto. Ogni varietà V e’ birazionale ad una varietà affine. Ogni varietà eì birazionale ad una varietà proiettiva. ha come base di aperti per Zar_V costituita da aperti affini

 

· Esempi: la retta affine, la retta proiettiva, ellisse, iperbole, parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, sono tutte birazionali fra loro. Ciascuno e’ modello della classe birazionale di [A^1]

 

·Varietà razionali. Una varietà V è razionale se e solo se K(V) è un’estensione puramente trascendente di IK

 

· Esempi: la cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale  [A^1]. Infatti abbiamo visto che K(Z) è un estensione algebrica di grado 2 di IK(t).

  

  

Settimana 12

  

  

33 (2 ore)  20/05/2015.

· La costruzione di IP^n determina un’applicazione razionale da A^{n+1} a IP^n

 

· Ogni morfismo f:V-> IP^1 individua un’applicazione razionale F:V -à A^1, e quindi F elemento di K(V). Il viceversa non sempre è vero.

 

· Esempi in cui si inverte: ogni mappa razionale da A^1 ad A^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n. Esempi specifici: parametrizzazione di una circonferenza è birazionale e si estende ad un isomorfismo tra la la conica proiettiva e IP^1.

 

· Esempi in cui non si inverte: la funzione razionale X_1/X_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 = A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1  di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - >  IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

 

· Ulteriori esempi di estensioni: Ogni applicazione razionale IP^1 - - -> IP^n si estende ad un unico morfismo IP^1 -> IP^n

 

· Proiezioni p_V di varietà algebriche V <  IP^n su sottospazi IP^m. Luogo di definizione della proiezione p_V.  Casi di estendibilità.

 

· Varietà uni razionali e varietà razionali.Significati geometrici ed algebrici.

 

· SOLO ENUNCIATI Teorema di Lueroth per le curve, Teorema di Castelnuovo per le superfici, Teorema di Clemens-Griffiths per le ipersuperfici cubiche generiche di IP^n.

 

· Esempi di varietà razionali (curve e superfici). Esempi di curve non razionali (cubica piana liscia) e di superfici non razionali: superfici rigate ellittiche.

 

· I monoidi di grado d in A^n sono tutte ipersuperfici razionali.

 

·  Curve monoidali:  parabola semi-cubica, cubica piana nodale.

  

  

34 (2 ore)  22/05/2015

· Proiezione stereografica di una quadrica di rango quattro di IP^3 su un piano. Conti espliciti.

 

· IP^1 x IP^1 è birazionale a IP^2 (infatti la quadrica è un monoide).

  

· Scoppiamento di IP^n  nel punto fondamentale P_0 = [1,0,…,0] come sottovarietà chiusa di IP^n x IP^{n-1}

 

· Divisore eccezionale dello scoppiamento: significato geometrico del divisore eccezionale come spazio di parametri della famiglia delle rette di IP^n uscenti da P_0

 

· Conti espliciti per lo scoppiamento di IP^2: in opportune carte affini lo scoppiamento è in A^3 il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) sopra l’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del pencil di rette in A^2 per l’origine

 

· Utilizzo dello scoppiamento: scoglimento della singolarità in (0,0) dela curva monoidale x^2 = y^3 in A^2 e della curva monoidale x^3 + x^2 – y^2 = 0 in A^2. La trasformata stretta in A^3 è una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico (0,0,0) punto mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).

  

Settimana 13

35 (2 ore)  26/05/2015

· Varietà complete. Le varietà affini non sono complete: esempi vari.

 

· Teorema fondamentale dell’eliminazione: le varietà proiettive sono complete.

  

· Conseguenza: l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target. 

 

· Conseguenze di Conseguenza: le varietà di Segre, di Veronese ecc…sono tutte varietà proiettive; ritroviamo che tutti i morfismi da una varietà proiettiva ad una affine sono costanti, che tutte le funzioni regolari su una varietà proiettiva sono costanti. Troviamo in particolare che ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo (spiega il termine COMPLETA).  

 

· Grado di trascendeza di un ampliamento di campi IK < L e massimo numero di elementi algebricamente indipendenti.

 

· Dimensione di una varieta’ algebrica V come grado di trascendenza su IK di K(V).

 

 

· Conseguenze: dimensione di spazi affini, di spazi proiettivi, di sottospazi lineari. Se U è un aperto di V, allora dim(U) = dim(V). Se f V- - -> W è razionale dominante allora dim(W) <= dim (V). In particolare la dimensione è un’invariante birazionale.

  

  

36 (2 ore)  29/05/2015

· Dimensione di sottovarietà proprie. Codimensione di una sottovarietà propria.

 

· V in IP^r od A^r irriducibile; allora dim(V) = r-1 se e solo se  V ipersuperficie irriducibile. Piu’ in generale le ipersuperfici sono pure di dimensione r-1

  

· Varietà affine V in A^r  e spazio tangente affine T_a(V,p)  in un suo punto.  Matrice jacobiana J. Minori J_h di J : rango e dimensione dello spazio tangente affine

 

·  Chiusi di V determinati da Z_a(J_h). Sing(V) è un chiuso proprio di V, eventualmente vuoto. Punti lisci (o non singolari) di V e punti singolari. Esempi: cubica piana cuspidale (parabola semi-cubica) e cubica piana nodale.

 

· Molteplicità di intersezione di una retta e V in un punto p di V. Rette che toccano V in p. Lo spazio tangente affine a V in p è costituito dalle rette che toccano V in p

 

· Cenni al caso di V proiettiva: lo spazio lineare tangente è la chiusura proiettiva dello spazio tangente affine.

 

· Cenni al caso generale: il massimale m in O_{V,p} è f.g. e m/m^2 e’ un IK-spazio vettoriale di dimensione finita. Il duale di m/m^2 e’ lo Spazio tangente di Zariski. Isomorfismo canonico tra lo spazio tangente di Zariski e Der(O_{V,p}, IK). Nel caso di V affine, esiste un isomorfismo canonico tra T_a(V,p) e lo spazio tangente di Zariski.

  

  

36 (2 ore) )  29/05/2015

· LEZIONE EXTRA CORSO

 

· S^(r}  moduli graduati e omomorfismi graduati.

  

· Funzione di Hilbert per moduli graduati f.g. e significati geometrici nel caso delle varietà proiettive.

 

· Polinomio di Hilbert di una varietà proiettiva. Dimensione, grado e genere aritmetico

 

· Esempi: ipersuperfici irriducibili (in particolare curve piane); varietà di Veronese V_{n,d}, insiemi finiti di punti nel piano

· Caso delle curve piane: formula di Clebsh per il genere; il polinomio di Hilbert dipende solo dalla classe dL. Cenni a polinomio di Hilbert e degenerazioni (rette sghembe in IP^3 che degenerano ad una conica semplicemente degenere polinomi di Hilbert distinti).