Università di Roma “Tor Vergata”

Dottorato di Ricerca in Matematica

Corso di Geometria Algebrica
Dottorato di Ricerca in Matematica

II SEMESTRE 2010-2011

CURVE ALGEBRICHE, DIVISORI SPECIALI E SCHEMI DI HILBERT Proff. Ciro Ciliberto e Flaminio Flamini

Modalita' del corso e Prerequisiti

Il corso e' rivolto a studenti di Dottorato di Ricerca in Matematica di QUALSIASI anno.

I prerequisiti per seguire il corso consistono in argomenti estremamente di base in Geometria Algebrica.

Il corso consiste di 3 ORE settimanali il MARTEDI' per, orientativamente, 8 SETTIMANE.

Il corso e' cosi' suddiviso: 1 ora svolta dal Prof. C. Ciliberto, 2 ore svolte dal Prof. F. Flamini.

Per gli studenti che avessero bisogno di una valutazione finale, verra' effettuata una verifica attraverso lo svolgimento di esercizi o dimostrazioni che verranno proposti agli studenti durante lo svolgimento del corso e che coinvolgono le tecniche descritte nel corso.

Programma Orientativo

Preliminari

Terminologia e definizioni principali: sistemi lineari semplici e composti, somma minima di sistemi lineari, indice di specialita', proiettiva normalita'.
La curva razionale normale e' proiettivamente normale. Conseguenze geometriche
La curva canonica: caso iperellittico e non. Il significato geometrico del Teorema di Riemann-Roch sul modello canonico.
Il Teorema di Clifford.
Spazi secanti: lemma delle trisecanti e conseguenze.
Fibrati lineari normalmente generati: tecniche di fibrati vettoriali.
Applicazioni delle tecniche di fibrati: Teorema di Castelnuovo-Mattuck-Mumford. Teorema di Noether per la curva canonica.
Ulteriori argomenti proiettivi: punti in posizione generale e condizioni imposte alle ipersuperfici quadriche. Il Lemma di Castelnuovo (SOLO ENUNCIATO). Superfici irriducibili di grado minimo. Il Teorema di Del Pezzo (SOLO ENUNCIATO). Superfici di grado minimo e quadriche.
Il Teorema di Enriques-Babbage sulla curva canonica.
Il Teorema di Petri sulla curva canonica (SOLO ENUNCIATO).

Prodotti simmetrici e Jacobiana

Prodotti simmetrici e divisore universale. Spazi tangenti di Zariski.
Jacobiana. Spazi tangenti di Zariski.
Mappe di Abel-Jacobi. Teorema di Abel. Mappa di Gauss.
Esempi in genere basso.

Fondamenti di teoria di Brill-Noether

Gli schemi C^r_n e W^r_n e spazi tangenti di Zariski.
Mappa di Petri, numero di Brill-Noether. Dimensione attesa.
Diseguaglianza di Brill-Noether, Teorema di Martens e Teorema di Mumford
Casi particolari: il divisore theta, singolarita' del divisore theta e geometria proiettiva collegata.
Cenni sui moduli di curve. Curve a moduli generali.
Risultati di base sulla teoria di Brill-Noether (come cap. V di ACGH). Alcuni risultati sulla teoria di Brill-Noether per curve a moduli generali
Applicazioni: calcolo della gonalita' generica, molta ampiezza di sistemi lineari su curve a moduli generali, ecc...
Esempi in genere basso

Famiglie di varieta'

L'approccio classico alla nozione di famiglia di varieta': lo schema di Chow.
Il concetto moderno di famiglia: morfismi piatti.
Esempi.

Lo schema di Hilbert: proprieta' ed esempi

Lo schema di Hilbert: proprieta' funtoriali.
Spazio tangente di Zariski dello schema di Hilbert.
Dimensione dello schema di Hilbert.
Esempi e patologie.

Lo schema di Hilbert di curve: problemi di esistenza, irriducibilita' e relazione con i moduli e la teoria di Brill-Noether.

Problemi di esistenza per schemi di Hilbert di curve: curve piane e varieta' di Severi, teorema di Halphen-Noether per curve in IP^3, teorema di Castelnuovo per curve in IP^r
Irriducibilita' dello schema di Hilbert di curve. Componenti irriducibili ed esempi "patologici" di Harris.
Componenti dello schema di Hilbert che dominano lo spazio dei moduli
Componenti dello schema di Hilbert il cui punto generico e' una curva a moduli speciali.
Esempi.

Bibliografia Orientativa

Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, P. A.; Harris, J.; Geometry of algebraic curves. Vol. I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 267. Springer-Verlag, New York, 1985.

Ciliberto, C.; Sernesi, E.; Families of varieties and the Hilbert scheme, in Lectures on Riemann Surfaces, pp. 428--499, World Scientific press, 1987.

Green, M. ; Lazarsfeld, R.; A simple proof of Petri's theorem on canonical curves. Geometry today (Rome, 1984), 129--142, Progr. Math., 60, Birkhuser Boston, Boston, MA, 1985.

Lazarsfeld, R.; A sampling of vector bundle techniques in the study of linear series. Lectures on Riemann surfaces (Trieste, 1987), 500--559, World Sci. Publ., Teaneck, NJ, 1989.

Sernesi, E.; Appunti sui divisori speciali, Cortona, 1982

Lezioni

Orari e Giorni Lezioni: Martedi', 16:00 - 18:30, AULA 1103, Dipartimento di Matematica, Piano 1, Dente 1.

DATA DI INIZIO: 15 Marzo 2011.