A PhD course (8 lectures - 2
hours each)
Dipartimento di Matematica Università di Roma "Tor Vergata" Mondays from 14:00 to 16:00 (Aula D'Antoni) Fridays from 14:00 to 16:00 (Aula Dal Passo) Beginning: November 18 End: December 13 Programma Lo studio delle
varietà simplettiche, varietà di dimensione pari
munite di una 2-forma chiusa non-degenere, è
caratterizzato dalla coesistenza di flessibilità
locale e rigidità globale: localmente tutte le
varietà simplettiche della stessa dimensione
sono diffeomorfe, ma a partire dagli anni 80
sono stati scoperti diversi fenomeni
interessanti di rigidità globale, in particolare
il teorema di non-squeezing di Gromov, la
congettura di Arnold sui punti fissi dei
diffeomorfismi hamiltoniani, e l'esistenza di
metriche bi-invarianti nel gruppo (di dimensione
infinita) dei diffeomorfismi hamiltoniani.Le varietà di contatto sono varietà di
dimensione dispari munite di una distribuzione
di iperpiani massimamente non-integrabile.
Malgrado i legami stretti fra varietà
simplettiche e varietà di contatto, per le
varietà di contatto l'interazione fra
flessibilità e rigidità è più misteriosa: in
generale ogni fenomeno di rigidità globale in
topologia simplettica lascia delle tracce anche
in topologia di contatto, ma nel caso di
contatto queste tracce di rigidità interagiscono
con una contrastante tendenza alla flessibilità
globale, dando vita a una teoria ancora piena di
domande aperte.
Il corso
comincerà con le nozioni di base in topologia
simplettica e di contatto (nessun prerequisito è
richiesto in queste due materie). Introdurrò poi
le funzioni generatrici, una teoria classica
(sviluppata a partire dagli anni 80 in
particolare da Chaperon, Laudenbach, Sikorav,
Viterbo, Chekanov etc) che consiste ad applicare
la teoria di Morse a funzioni associate ad
oggetti simplettici o di contatto per ottenere
dei risultati di rigidità globale. Utilizzando
le funzioni generatrici dimostreremo in
particolare il teorema di non-squeezing di
Gromov, la congettura di Arnold sul toro, e
l'esistenza di metriche bi-invarianti nel gruppo
hamiltoniano dello spazio euclideo. Vedremo poi
come una parte di questa rigidità sopravvive in
topologia di contatto mischiandosi però ad altri
fenomeni sensibili fra l'altro alla topologia
delle varietà in questione. Discuteremo in
particolare il teorema di non-squeezing di
contatto di Eliashberg, Kim e Polterovich e la
nozione strettamente legata di ordonabilità.
This course is part of the MIUR Excellence Department Project awarded to the Department of Mathematics University of Rome Tor Vergata CUP E83C18000100006 |
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