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\begin{document}

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{\Large
Complementi di Analisi Numerica II - Laurea Magistrale in Matematica, A.A. 2014/2015}
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Titolare dell'insegnamento: prof. Paolo Zellini 

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Parte dell'insegnamento \`e
svolto dal prof. Carmine Di Fiore
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Obiettivi formativi: Approfondimenti di temi centrali del calcolo numerico
su grande scala (come la minimizzazione di funzioni o l'integrazione di problemi alle derivate parziali con procedimenti iterativi) con speciale attenzione alla misura della complessit\`a computazionale.
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Modalit\`a d'esame: orale
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I parte (docente: Paolo Zellini)
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1. Risoluzione numerica di sistemi di equazioni non lineari. Derivata direzionale. Metodo di Newton. Teorema di Convergenza locale. Analisi
critica del metodo di Newton modificato.
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2. Metodi secanti per la risoluzione numerica di sistemi di equazioni.
Approssimazione della matrice Jacobiana. Metodo di Broyden.
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3. Teorema di caratterizzazione di metodi con convergenza superlineare. 
Condizioni per la convergenza quadratica. Teoria della perturbazione.
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4. Problemi di minimo non vincolato per funzioni reali. Metodo del gradiente. Line search. Criterio di steepest descent (massima pendenza). Metodo di Newton
per problemi di minimo. Metodo BFGS e approssimazioni dell'Hessiano mediante
correzioni di rango $2$ con trasformazioni di Givens.
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5. Algoritmi newtoniani per problemi di minimo non vincolato con un costo computazionale $O(n\log n)$ per passo. Algebre di matrici e trasformate veloci.
Teorema della proiezione di Hilbert. Algoritmi LQN.
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II parte (docente: Carmine Di Fiore)
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Problemi differenziali alle derivate parziali $Lu=f$ su 
$\Omega\subset\RR^d$ del secondo ordine in forma di divergenza
uniformemente ellittico con condizioni al bordo. Esempi. 
Formulazione variazionale. Esistenza e unicit\`a della soluzione
$u$ in $H^1_{0,\Gamma_D}(\Omega)$ come corollario del teorema di 
Lax-Milgran per spazi di Hilbert $V$.

Approssimazione interna $u_h$ di $u$, con $u_h$ in $V_h$ sottospazio
di dimensione finita di $V$. Consistenza della famiglia di 
sottospazi $\{V_h\}$ e 
convergenza di $u_h$ a $u$. Metodo di Galerkin. Base di $V_h$ ed 
equivalenza del calcolo di $u_h$ con la risoluzione di un sistema 
lineare $A\u_h=\vf$. 

Metodo iterativo di Richardson per la risoluzione di sistemi lineari 
$A\x=\b$ con parametro costante ottimale oppure variabile tale da 
minimizzare il residuo. Relazione di Richardson con il metodo di 
Eulero e il teorema di Perron per prolemi differenziali di Cauchy 
autonomi. Minimizzazione del residuo sugli spazi di Krilov relativi 
ad $A$ e al residuo iniziale. Costruzione e caratteristiche 
principali del metodo iterativo GMRES.

Il caso $V=H^1_{0,\Gamma_D}(\Omega)$, $\Omega$ poligono in 
$\RR^2$. Il metodo degli elementi finiti: definizione di $V_h$
come insieme delle funzioni polinomiali a tratti su una triangolazione
di $\Omega$ di ampiezza $h$; famiglie di triangolazioni regolari e
quasi-uniformi; convergenza di $u_h$ a $u$. Applicazione ai problemi
di Poisson in una e due variabili, e, pi\`u in generale, al problema 
di convezione-diffusione. Importanza, nel calcolo di $u_h$ (risoluzione
di $A\u_h=\vf_h$), della scelta della base di $V_h$. Minimizzare
il numero di condizionamento di $A$. Base gerarchica come alternativa
conveniente alla base standard di Lagrange (teorema di Yserentant).

Una classe di metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari
$A\x=\b$ (che include Richardson, Gauss-Seidel, Rilassamento), ovvero
per la minimizzazione di forme quadratiche associate a opportune 
matrici definite positive $H$ dipendenti da $A$. 
I metodi del gradiente e del gradiente coniugato (GC) 
per sistemi con $A$ definita positiva, e loro interpretazione 
grafica. 

Polinomi (di Chebycev) di minima norma infinito in un intervallo. 
Dipendenza della rapidit\`a di convergenza di GC dalla distribuzione 
degli autovalori di $A$. Tecniche di precondizionamento e versioni 
``transformed'' e ``untransformed'' di GC precondizionato. 
La sostituzione della base di Lagrange di $V_h$ con quella 
gerarchica (vedi sopra) \`e interpretabile come una tecnica di 
precondizionamento. 
Precondizionatori circolanti per sistemi di Toeplitz.
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(Per un programma pi\`u dettagliato si veda 
www.mat.uniroma2.it$\backslash tilde$difiore)



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