Lezione del 24/9/2024:
Cenni di teoria degli insiemi. I numeri reali: assiomi relative alle operazioni. Proprietà dei numeri reali.

Lezione del 25/9/2024:
Assiomi relativi all'ordinamento dei numeri reali. Assioma di completezza. Numeri naturali, interi, razionali. Applicazioni fra insiemi. Funzioni: dominio, codominio, grafico.

Lezione del 26/9/2024:
Funzioni: immagine di un insieme, immagine inversa di un insieme. Funzioni iniettive, surgettive, invertibili. Funzione inversa. Funzione composta. Esempi.

Lezione del 27/9/2024:
Funzioni monotone. Richiami su funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto.

Lezione del 1/10/2024:
Funzioni potenza con esponente n ∈ ℕ. Funzione radice n-esima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Disequazioni.

Lezione del 2/10/2024:
Disequazioni. Richiami su funzioni trigonometriche.

Lezione del 3/10/2024:
Funzioni trigonometriche inverse: arcotangente, arcoseno, arcocoseno. Disequazioni.

Lezione del 4/10/2024:
Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Fattoriale. Coefficiente binomiale. Formula del binomio di Newton. Massimo, minimo di un insieme di numeri reali. Maggiorante, minorante di un insieme di numeri reali. Insiemi limitati. Esempi. Densità dei numeri razionali.

Lezione del 8/10/2024:
Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Esempi e esercizi. Successioni reali: definizione. Limite di una successione. Unicità del limite.

Lezione del 9/10/2024:
Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Successioni limitate. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno. Teorema dei carabinieri. Successioni infinitesime.

Lezione del 10/10/2024:
Alcuni limiti notevoli di successioni. Successioni monotone. Il numero di Nepero.

Lezione del 11/10/2024:
Criterio del rapporto per successioni. Infiniti di ordine crescente. Esercizi sul calcoli di limiti. Successioni definite per ricorrenza.

Lezione del 15/10/2024:
Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Esercizi sul calcolo di limiti.

Lezione del 16/10/2024:
Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy. Intorni di un punto. Punti di accumulazione per un insieme. Limiti di funzioni reali. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni (teorema ponte).

Lezione del 17/10/2024:
Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte. Funzioni continue: prime proprietà. Continuità delle funzioni composte. Limiti notevoli.

Lezione del 18/10/2024:
Limiti notevoli. Esercizi sui limiti. Simboli di Landau: definizione di "o piccolo" e equivalenza asintotica. Algebra degli "o piccoli".

Lezione del 22/10/2024:
Classificazione delle discontinuità. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Esercizi sul calcolo dei limiti.

Lezione del 23/10/2024:
Teoremi sulle funzioni continue: teorema di esistenza degli zeri, (primo) teorema di esistenza dei valori intermedi. Esercizi sui limiti.

Lezione del 24/10/2024:
Funzioni limitate. Teorema di Weierstrass. (Secondo) teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Esercizi sul calcolo di limtiti.

Lezione del 25/10/2024:
Teorema sul limite delle funzioni monotone. Criterio di continuità per le funzioni monotone. Teorema di continuità delle funzioni inverse. Operazioni sui grafici: grafico di f(x)+a, f(x+a), kf(x), f(kx), |f(x)|, f(|x|), grafico della funzione inversa.

Lezione del 29/10/2024:
Esercizi sulla continuità di funzioni. Definizione di derivata. Esempi. Derivata destra e derivata sinistra. Confronto tra nozione di derivabilità e di continuità. Derivata seconda, derivata n-esima. Esempi. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni elementari: funzioni potenza a esponente intero, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzione radice, funzione radice n-esima.

Lezione del 30/10/2024:
Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate delle funzioni elementari: funzione radice n-esima, funzioni trigonometriche. Teorema di derivazione delle funzioni inverse. Derivata delle funzioni trigonometriche inverse. Esempi e esercizi sul calcolo delle derivate.

Lezione del 31/10/2024:
Significato geometrico della derivata. Retta tangente. Punto di cuspide e punto angoloso. Punti di massimo e minimo relativo per una funzione. Punti di massimo e minimo assoluto per una funzione. Esempi. Teorema di Fermat. Comportamento della derivata in un punto di massimo (minimo) relativo non interno. Esercizi sulla continuità e derivabilità di funzioni.

Lezione del 05/11/2024:
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Criterio di monotonia. Criterio di stretta monotonia. Esempi e esercizi.

Lezione del 06/11/2024:
Alcune disuguaglianze: e^x ≥ 1+x, log(1+x)≤ x, |sin x|≤ |x|, |arctan x|≤ |x|. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane. Esempi.

Lezione del 07/11/2024:
Funzioni lipschitziane. Esempi: |x|, x², sin x, √x in [1, +∞). Esercizi su massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni. Funzioni convesse e funzioni concave in un intervallo: definizione e interpretazione geometrica. Esempi: |x|, x².

Lezione del 08/11/2024:
Continuità delle funzioni convesse (concave). Caratterizzazione della convessità (concavità) con la derivata prima. Caratterizzazione della convessità (concavità) con la derivata seconda. Punti stazionari di una funzione convessa (concava). Altri esempi di funzioni convesse o concave: e^x, log x, sin x in [0, π], arctan x in [0,+∞).

Lezione del 12/11/2024:
Punti stazionari di una funzione convessa (concava). Altri esempi di funzioni convesse o concave: e^x, log x, sin x in [0, π], arctan x in [0,+∞). Criterio della derivata seconda per determinare punti di massimo o di minimo relativo. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione: determinazione del dominio, ricerca degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui, intervalli di monotonia, ricerca dei massimi e minimi relativi, intervalli di concavità e convessità, ricerca dei punti di flesso. Esercizi sullo studio del grafico di una funzione.

Lezione del 13/11/2024:
Esercizi sullo studio del grafico di una funzione.

Lezione del 14/11/2024:
Esercizi sullo studio del grafico di una funzione. Teorema di Cauchy. Teorema di de l'Hôpital. Esempi e esercizi.

Lezione del 15/11/2024:
Il teorema di de l'Hôpital nel caso generale. Esempi. Esercizi sullo studio del grafico di una funzione. Esercizi sullo studio del grafico di una funzione.

Lezione del 19/11/2024:
Formula di Taylor con il resto di Peano. Sviluppi di Taylor per funzioni elementari: e^x, sin x, cos x, 1/(1-x), log(1+x), 1/(1-x²), 1/(1+x²), arctan x, (1+x)^α, (1-x²)^-1/2, arcsin x. Esempi e esercizi.

Lezione del 20/11/2024:
Esercizi sugli sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.

Lezione del 21/11/2024:
Criterio della derivata n-esima per determinare punti di massimo o di minimo relativo. Esempi: x³, x⁴. Esercizi sugli sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.

Lezione del 22/11/2024:
Formula di Taylor con il resto di Lagrange, applicazioni. Esercizi sugli sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.

Lezione del 26/11/2024:
Definizioni e notazioni: partizione di un intervallo; somma (integrale) inferiore e somma (integrale) superiore di una funzione limitata rispetto a una partizione. Definizione di integrale definito. Interpretazione geometrica. Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Esercizi sullo sviluppo di Taylor e il calcolo dei limiti.

Lezione del 27/11/2024:
Linearità dell'integrale. Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione. Esercizi sullo sviluppo di Taylor e il calcolo dei limiti.

Lezione del 28/11/2024:
Proprietà di monotonia dell'integrale. Integrabilità del valore assoluto. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrali immediati. Esercizi.

Lezione del 29/11/2024:
Integrali del tipo: ∫cos(αx) sin(βx) dx, ∫cos(αx) cos(βx) dx, ∫sin(αx) sin(βx) dx. Integrazione delle funzioni razionali. Esercizi sul calcolo di integrali.

Lezione del 03/12/2024:
Integrazione per parti. Primitive di log x, arctan x, arcsin x. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni irrazionali: √(a²-x²). Esercizi sul calcolo di integrali.

Lezione del 04/12/2024:
Integrazione delle funzioni irrazionali: √(x²+a²), √(x²-a²). Integrazione delle funzioni razionali di sin x, cos x. Esercizi di ricapitolazione sul calcolo di integrali. Calcolo dell'area di un'ellisse.

Lezione del 5/12/2024:
Integrali impropri. Criteri di integrabilità al finito per funzioni positive: confronto; confronto asintotico. Esempi.

Lezione del 06/12/2024:
Integrali impropri. Integrabilità in un intorno dell'origine delle funzioni 1/(x|log x|^β) se β>1. Esercizi.

Lezione del 10/12/2024:
Integrali impropri. Integrabilità su intervalli illimitati per funzioni positive: criterio del confronto e confronto asintotico. Integrabilità all'infinito delle funzioni 1/(x|log x|^β) se β>1. Esempi e esercizi.

Lezione del 11/12/2024:
Assoluta integrabilità su intervalli limitati o illimitati. Integrabilità all'infinito di funzioni del tipo f(x)cos(x) oppure f(x)sin(x) con f ≥ 0 e f ↓ 0. Esercizi di ricapitolazione sugli integrali impropri.

Lezione del 12/12/2024:
Numeri complessi: definizione; forma cartesiana; rappresentazione geometrica. Coniugato, modulo e argomento di un numero complesso. Disuguaglianza triangolare. Forma esponenziale e trigonometrica. Esponenziale complesso.

Lezione del 13/12/2024:
Radici n-esime di un numero complesso. Esercizi.

Lezione del 17/12/2024:
Equazioni nel campo complesso. Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 18/12/2024:
Equazioni differenziali lineari del primo ordine: soluzioni dell'equazione omogenea e non omogenea. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili. Esempio di problema di Cauchy che ammette due soluzioni distinte: y'=2√y, y(0)=0. Equazioni differenziali del secondo ordine del tipo y''+a₁(x) y'=f(x). Esercizi.

Lezione del 19/12/2024:
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzioni dell'equazione omogenea e non omogenea di tipo particolare.

Lezione del 20/12/2024:
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzioni dell'equazione omogenea e non omogenea di tipo particolare.

Lezione del 07/01/2025:
Il moto armonico. Teorema di unicità per le equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costant> Classificazione delle soluzioni per l'equazione omogenea. Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 08/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione

Lezione del 09/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 10/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 14/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 15/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 16/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.

Lezione del 17/01/2025:
Esercizi di ricapitolazione.