Lezione dell' 08-03-2023:Elementi di analisi funzionale: Spazi vettoriali, spazi normati, distanza indotta da norma, equivalenza tra norme in spazi di dimensione finita, distanza e convergenza di successioni in spazi normati, esempi: lo spazio delle funzioni continue su un compatto con norma lagrangiana e norme integrali. Non equivalenza di norma lagrangiana e norme integrali in C([a,b]).Successioni di Cauchy e spazi di Banach, C([a,b]) con norma lagrangiana è uno spazio di Banach; C^1([a,b]) con norma lagrangiana non è uno spazio di Banach così come C([a,b]) con norma L^1 non è uno spazio di Banach: controesempio alla completezza. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 10-03-2023:Lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili rispetto alla norma L^1 non è completo. Cenni al completamento di C([a,b]) rispetto a norme integrali:introduzione alla integrazione secondo Lebesgue.Definizione di misura di Lebesgue (cenni): misura esterna, insiemi misurabili secondo Lebesgue, insiemi di misura di Lebesgue nulla, proprietà vere quasi ovunque, funzioni misurabili e approssimazione con funzioni semplici, .Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 13-03-2023: Cenni ai teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale (teorema di convergenza monotona e di convergenza dominata). Definizione di spazi L^p. Relazione tra l'integrale in senso improprio e l'integrabilità secondo Lebesgue delle funzioni non negative, proprietà di inclusione tra gli spazi L^1 e L^2 per insiemi di misura finita e non, definizione di prodotto scalare in spazi vettoriali, norme indotte, disuguaglianza di Cauchy Schwarz, spazi di Hilbert. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 15-03-2023:Spazi di Hilbert: identità del parallelogramma, Vettori ortogonali, esempi in L^2(-\pi,\pi), sottospazio vettoriale dei polinomi trigonometrici Base reale e complessa del sottospazio di L^2(-\pi,\pi) dei polinomi trigonometrici. Teorema della proiezione su un sottospazio V_N di uno spazio di Hilbert H, disuguaglianza di Bessel, applicazione al caso di L^2 (-\pi,\pi) ed al sottospazio generato dai polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier per una funzione 2\pi periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 17-03-2023: Esempi di proiezioni di funzioni di L^2 su sottospazio dei polinomi di primo o di secondo grado, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Convergenza puntuale di serie di Fourier, legami tra coefficienti di Fourier di una funzione e della sua derivata. Convergenza uniforme di serie di Fourier (dimostrazione), coefficienti di Fourier per una funzione T periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval, esempi; Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 20-03-2023: Espressione delle serie di Fourier in termini dello spettro di ampiezza e spettro di fase. Esercizi su proiezioni su sottospazi di spazi di Hilbert e su serie di Fourier:calcolo coefficienti, convergenza, calcolo di somme di serie numeriche utilizzando le serie di Fourier. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 22-03-2023:Applicazione delle serie di Fourier per determinare la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde unidimensionale (corda vibrante) omogenea (metodo di separazione di variabili). Richiamo al metodo di variazione delle costanti per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, introduzione al problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde unidimensionale non omogeneo. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 24-03-2023: Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet non omogeneo per l'equazione della corda vibrante (mediante sviluppo in serie di Fourier) Unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet (stima dell'energia), Equazione del calore per un conduttore unidimensionale: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo (metodo di separazione di variabili). Cenno alla deduzione dell'equazione del calore nel caso multidimensionale. Caso di assenza di condizioni di Dirichlet, dalla serie di Fourier all'integrale di Fourier. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 27-03-2023:Richiami sui numeri complessi, potenze, radici n-me, esponenziale e logaritmo complesso, limiti, funzioni continue, derivabilità in senso complesso. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 29-03-2023: Condizioni di Cauchy-Riemann (dim.); conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann, funzioni olomorfe, esempi; funzioni armoniche, integrale curvilineo di funzioni complesse, teorema di Cauchy, proprietà, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 31-03-2023:Formula integrale di Cauchy per funzioni olomorfe (con dim) e per le loro derivate, conseguenze: teorema di Liouville (dim), teorema fondamentale dell'algebra, teorema del massimo e del minimo modulo, teorema di Morera, teorema di Goursat. Definizione di funzione analitica, richiami sulle serie di potenze in campo complesso, le funzioni analitiche sono olomorfe (dim) Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 03-04-2023:Analiticità delle funzioni olomorfe (dim.). Esempi di funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di Taylor.Esempi di funzioni olomorfe ottenute derivando (o prendendo primitiva di) serie di potenze.Zeri di funzioni analitiche:ordine di uno zero, gli zeri hanno molteplicità finita (se la funzione non si annulla identicamente) (dim), gli zeri sono isolati (se la funzione non è identicamente nulla) (dim), esempi, conseguenze:prolungamento analitico,definizione di sin(z),cos(z) e proprietà. Singolarità isolate e non isolate, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 05-04-2023: Serie di Laurent, definizione, proprietà, esempi. Classificazione delle singolarità isolate, esempi di singolarità eliminabili, di poli, di singolarità essenziali. Definizione di residuo Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 07-04-2023 : Calcolo del residuo in una singolarità essenziale, formula del residuo per poli di ordine K, esempi, teorema dei residui, esempi. Esercizi su classificazione singolarità isolate e calcolo residui. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 12-04-2023 : Relazione tra coefficienti della serie di Laurent di una funzione e coefficienti di Fourier della restrizione della funzione ad una circonferenza di centro l'origine e raggio fissato, applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali di funzioni trigonometriche. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri di funzioni reali: 1/(x^4+1) tutto l'asse reale Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 14-04-2023 :Calcolo dei residui utilizzando il prodotto alla Cauchy di serie. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri di funzioni reali cos(3x)/(x^2+1) su tutto l'asse reale, definizione di valor principale di un integrale, lemma di Jordan e applicazione al calcolo dell' integrale di sin(x)/x su tutto l'asse reale.Altri esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 17-04-2023 :Esercizi su serie di Laurent, classificaione di singolarità isolate, applicazione teorema dei residui al calcolo di integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 19-04-2023 :Esercizi di riepilogo su serie di Laurent e su classificazione di singolarità isolate e calcolo residui. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 21-04-2023 : Esercizi di riepilogo su serie di Laurent, singolarità isolate e integrali impropri risolti con il metodo dei residui. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 24-04-2023 :Non ha avuto luogo causa chiusura programmata Università

Lezione del 26-04-2023 : Integrali impropri di funzioni del tipo 1/[x^\alpha(1+x)] su (0,+\infty) per 0<\alpha<1 con il metodo dei residui (la cui estensione al campo complesso contiene punti di diramazione): cfr. Barozzi (esempio 4.8.4).Serie prodotto alla Cauchy per determinazione dei residui. Esercizi di riepilogo:correzione test assegnato. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 28-04-2023 :Non ha avuto luogo per indisposizione della docente. Sarà recuperata nelle prossime settimane.

Lezione del 03-05-2023:Esercizi di riepilogo sul programma svolto fino ad ora. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files del test.

Lezione 05-05-2023 :Prima prova di verifica in itinere

Lezione dell' 08-05-2023: Dalla serie all'integrale di Fourier: definizione di trasformata di Fourier per una funzione L^1(R), proprietà principali, trasformata di Fourier della funzione caratteristica di un intervallo, esempio di f in L^1 la cui trasformata non è L^1. Lo spazio L^\infty, Trasformate di Fourier e operazioni algebriche, derivata della trasformata e trasformata della derivata. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 10-05-2023: Formula di inversione e di dualità. Esercizi su trasformate di Fourier e applicazione alle equazioni a derivate parziali del primo ordine.Trasformata di Fourier di funzioni Gaussiane (dim). Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 12-05-2023: Definizione di convoluzione e sua trasformata di Fourier (dim). Esempio, applicazione della Trasformata di Fourier per la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore su tutta la retta, proprietà del nucleo del calore.trasformata di Fourier in R^N, equazione del calore nel piano,esercizi su convoluzione e su trasformate di Fourier e problemi integro differenziali in forma di convoluzione Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 15-05-2023:Trasformata di Fourier in L^2(R): definizione e proprietà, teorema di Plancherel. Teorema di Shannon sul campionamento di segnali digitali (dim.). Cenni di teoria delle distribuzioni: spazio di funzioni test, def. di distribuzione, distribuzioni associate a funzioni localmente sommabili, Delta di Dirac. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 17-05-2023:Limiti nel senso delle distribuzioni, successioni delta-approssimanti, esempi. Definizione di derivata distribuzionale, derivata della funzione di Heaviside e di suoi multipli: la Dirac come forza impulsiva. Confronto tra derivata distribuzionale e derivata classica, derivate distribuzionali successive esempi di derivate distribuzionali ed esercizi su trasformate di Fourier. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 19-05-2023:(recupero lezione del 28-04-23)Esercizi su trasformate di Fourier e applicazione ad equazioni di convoluzione, esercizi su derivate distribuzionali, limiti nel senso delle distribuzioni del nucleo del calore (per t tendente a zero), di cos(nx) per n tendente a infinito.Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 19-05-2023: Lo spazio di Schwarz S(R), Distribuzioni temperate, esempi, trasformata della Dirac e di funzioni esponenziali complesse, applicazione alle funzioni periodiche.Introduzione alla trasformata di Laplace.Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 22-05-2023 (anche recupero parziale della lezione del 24-04-23): Definizione di Trasformata di Laplace, dominio della trasformata, ascissa di convergenza, funzioni di ordine esponenziale e trasformabilità, trasformata del gradino di Heaviside, linearità della trasformata, trasformate dei segnali seno, coseno, seno e coseno iperbolici, t^n, trasformata di Laplace e operazioni algebriche, trasformata della funzione caratteristica di [0,h] e sua ascissa di convergenza. Proprietà della trasformata di Laplace: limitatezza, andamento a zero se Re(s) tende a +\infty, olomorfia e derivate della trasformata, trasformata di segnali causali periodici, convoluzione di segnali e trasformata di Laplace della convoluzione, trasformata della primitiva di un segnale.Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 24-05-2023 (anche recupero parziale della lezione del 24-04-23): trasformata di Laplace delle derivate di una funzione, esempi, terorema del valore finale (dim nel caso di derivata sommabile), trasformata della funzione integral-seno. Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti, funzione di trasferimento, soluzione fondamentale, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 26-05-2023 (09:30-11:15): Funzione Gamma di Eulero:definizione e proprietà, trasformata del segnale t^\alpha per \alpha>-1, antitrasformata di Laplace e collegamento con l'antitrasformta di Fourier: formula di Riemann-Fourier, condizioni sufficienti per l'esistenza dell'antitrasformata.Antitrasformata di funzioni razionali proprie.Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione di recupero 26-05-2023 (11:30-13:00):Esercizi su trasformata di Laplace e applicazioni a problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti o polinomiali (soluzione foglo di esercizi n.9) Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 29-05-2023: Calcolo dell'antitrasformata di Laplace di funzioni razionali proprie con integrale complesso. Esercizi su trasformata di Laplace e applicazioni ad equazioni integro-differenziali di tipo convoluzione e a problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di sviluppo per l'antitrasformata di Laplace di funzioni olomorfe in |z|>R_0 ed espresse in serie di Laurent, generalizzazione teoremi valor iniziale e finale (teoremi tauberiani). Soluzione di un' equazione delle onde con dati di Cauchy-Dirichlet in [0,+infty) usando la trasformata di Laplace. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 31-05-2023: Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dim. (caso dominio spaziale limitato-collegamento con la soluzione per separazione di variabili). Supporto di una distribuzione, trasformata di Laplace di distribuzioni temperate con supporto in [0,+\infty), proprietà delle trasformate di distribuzioni, trasformata della distribuzione derivata e collegamento con la trasformata di derivate di segnali, trasformata di Laplace della delta e delle sue derivate, applicazione ad equazioni differenziali ordinarie con termini forzanti di tipo impulsivo, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 05-06-2023:Applicazione alla TAC del metodo delle trasformate di Fourier: generalità, trasformata di Radon, sinogramma, esempio di problema inverso, Slice central theorem, retroproiezione filtrata per determinare la densità della sruttura. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 07-06-2023:Introduzione alle funzioni di Bessel: equazione delle onde (problema di Cauchy-Dirichlet) su membrana circolare, espressione del Laplaciano in coordinate polari, separazione di variabili, equazione di Bessel di ordine intero per la parte radiale. Funzione generatrice delle funzioni di Bessel J_n(x) di ordine n, dipendenza lineare tra J_n(x) e J_{-n}(x) per n intero, Espressione di J_n come coefficienti di Fourier della restrizione della funzione generatrice alla circonferenza unitaria (espressione integrale di J_n). Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 09-06-2023 (lezione 1):Formule ricorsive per la determinazione delle funzioni di Bessel J_n, verifica dell'equazione di Bessel soddisfatta da J_n, Procedimento di riduzione di D'Alembert per il calcolo delle funzioni di Neumann (o funzioni di Bessel di secondo tipo), proprietà qualitative delle funzioni di Bessel (disposizione degli zeri). Funzioni di Bessel di ordine non intero. Dimostrazione che J_{1/2}(x)=\sqrt{2/(pi x)}sin(x), formule ricorsive, equazione di Bessel di ordine non intero Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 09-06-2023 (lezione 2):Esercizi di riepilogo su trasformata di Laplace ed applicazione ad equazioni integrali di convoluzione, equazioni differenziali ordinarie con termini forzanti anche di tipo impulsivo, derivate distribuzionali Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 12-06-2023:Correzione del test di preparazione al secondo esonero:, esercizi di riepilogo su trasformate di Fourier, di Laplace, derivate distribuzionali Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione dell' 14-06-2023: Esercizi di riepilogo sul programma svolto. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 16-06-2023: Seconda prova di verifica in itinere (esonero)