Lezione del 02-03-2022:Elementi di analisi funzionale:Spazi vettoriali, spazi normati, distanza indotta da norma, equivalenza tra norme in spazi di dimensione finita, distanza e convergenza di successioni in spazi normati, esempi: lo spazio delle funzioni continue su un compatto con norma lagrangiana e norme integrali. Non equivalenza di norma lagrangiana e norme integrali in C([a,b]).Successioni di Cauchy e spazi di Banach, C([a,b]) con norma lagrangiana è uno spazio di Banach; C^1([a,b]) con norma lagrangiana non è uno spazio di Banach così come C([a,b]) con norma L^1 non è uno spazio di Banach: controesempio alla completezza. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 04-03-2022:Lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili rispetto alla norma L^1 non è completo. Cenni al completamento di C([a,b]) rispetto a norme integrali:introduzione alla integrazione secondo Lebesgue.Definizione di misura di Lebesgue (cenni): misura esterna, insiemi misurabili secondo Lebesgue, insiemi di misura di Lebesgue nulla, proprietà vere quasi ovunque, funzioni misurabili e approssimazione con funzioni semplici, cenni ai teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale (teorema di convergenza monotona e di convergenza dominata).Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 07-03-2022: Definizione di spazi L^p. Relazione tra l'integrale in senso improprio e l'integrabilità secondo Lebesgue delle funzioni non negative, proprietà di inclusione tra gli spazi L^1 e L^2 per insiemi di misura finita e non, definizione di prodotto scalare in spazi vettoriali, norme indotte, disuguaglianza di Cauchy Schwarz, identità del parallelogramma, spazi di Hilbert, vettori ortogonali, esempi in L^2(-\pi,\pi), sottospazio vettoriale dei polinomi trigonometrici Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 09-03-2022: Base reale e complessa del sottospazio di L^2(-\pi,\pi) dei polinomi trigonometrici. Teorema della proiezione su un sottospazio V_N di uno spazio di Hilbert H, disuguaglianza di Bessel, applicazione al caso di L^2 (-\pi,\pi) ed al sottospazio generato dai polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier per una funzione 2\pi periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval. Esempi di proiezioni di funzioni di L^2 su sottospazio dei polinomi di primo o di secondo grado, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione dell' 11-03-2022: Convergenza puntuale di serie di Fourier, legami tra coefficienti di Fourier di una funzione e della sua derivata. Convergenza uniforme di serie di Fourier (dimostrazione), coefficienti di Fourier per una funzione T periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval, esempi; espressione delle serie di Fourier in termini dello spettro di ampiezza e spettro di fase. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 14-03-2022: Esercizi su serie di Fourier:calcolo coefficienti, convergenza, calcolo di somme di serie numeriche utilizzando le serie di Fourier. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 16-03-2022:Applicazione delle serie di Fourier per determinare la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde unidimensionale (corda vibrante) omogenea (metodo di separazione di variabili). Richiamo al metodo di variazione delle costanti per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, introduzione al problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde unidimensionale non omogeneo. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 18-03-2022: Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet non omogeneo per l'equazione della corda vibrante (mediante sviluppo in serie di Fourier) Unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet (stima dell'energia), Equazione del calore per un conduttore unidimensionale: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo (metodo di separazione di variabili). Cenno alla deduzione dell'equazione del calore nel caso multidimensionale Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 21-03-2022:Richiami sui numeri complessi, potenze, radici n-me, esponenziale e logaritmo complesso, limiti, funzioni continue, derivabilità in senso complesso. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 23-03-2022: Condizioni di Cauchy-Riemann (dim.); conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann, funzioni olomorfe, esempi; funzioni armoniche, integrale curvilineo di funzioni complesse, teorema di Cauchy, proprietà, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 25-03-2022:Formula integrale di Cauchy per funzioni olomorfe (con dim) e per le loro derivate, conseguenze: teorema di Liouville (dim), teorema fondamentale dell'algebra, teorema del massimo e del minimo modulo, teorema di Morera, teorema di Goursat. Definizione di funzione analitica, richiami sulle serie di potenze in campo complesso, le funzioni analitiche sono olomorfe (dim) Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 28-03-2022:Analiticità delle funzioni olomorfe (dim.). Esempi di funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di Taylor.Esempi di funzioni olomorfe ottenute derivando (o prendendo primitiva) di serie di potenze.Zeri di funzioni analitiche:ordine di uno zero, gli zeri hanno molteplicità finita (se la funzione non si annulla identicamente) (dim), gli zeri sono isolati (se la funzione non è identicamente nulla) (dim), esempi, conseguenze:prolungamento analitico,definizione di sin(z),cos(z) e proprietà. Singolarità isolate e non isolate, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 30-03-2022: Serie di Laurent, definizione, proprietà, esempi. Classificazione delle singolarità isolate, esempi di singolarità eliminabili, di poli, di singolarità essenziali. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione dell' 01-04-2022 : Residuo, calcolo del residuo in una singolarità essenziale, formula del residuo per poli di ordine K, esempi, teorema dei residui, esempi. Esercizi su classificazione singolarità isolate e calcolo residui. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 04-04-2022 : Relazione tra coefficienti della serie di Laurent di una funzione e coefficienti di Fourier della restrizione della funzione ad una circonferenza di centro l'origine e raggio fissato, calcolo dei residui utilizzando il prodotto alla Cauchy di serie; applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali di funzioni trigonometriche. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri di funzioni reali: 1/(x^4+1) tutto l'asse reale Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 06-04-2022 :Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri di funzioni reali cos(3x)/(x^2+1) su tutto l'asse reale, definizione di valor principale di un integrale, lemma di Jordan e applicazione al calcolo dell' integrale di sin(x)/x su tutto l'asse reale.Altri esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione dell' 08-04-2022 :Esercizi su serie di Laurent, classificaione di singolarità isolate, residui. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione dell' 11-04-2022 : Integrali impropri di funzioni del tipo 1/[x^\alpha(1+x)] su (0,+\infty) per 0<\alpha<1 con il metodo dei residui (la cui estensione al campo complesso contiene punti di diramazione): cfr. Barozzi (esempio 4.8.4).Serie prodotto alla Cauchy e determinazione dei residui. Esercizi di riepilogo su applicazione del teorema dei residui per il calcolo di integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 13-04-2022 :Esercizi di riepilogo su integrali con il teorema dei residui e su classificazione di singolarità. Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files relativi alla lezione.

Lezione del 15-04-2022:Test in preparazione del primo esonero, Sulla piattaforma MSTeams si trovano i files del test.

Lezione del 20-04-2022 :Correzione del test del 15-04-22.

Lezione del 22-04-2022 :(prof.Perfetti) Esercizi di riepilogo su serie di Laurent, singolarità isolate.

Lezione del 27-04-2022 :(prof.Perfetti) Esercizi di riepilogo su integrazione complessa e applicazione teorema dei residui al calcolo di integrali reali.

Lezione 29-04-2022 :Prima prova di verifica in itinere

Lezione del 02-05-2022:(prof. Morsella) Dalla serie all'integrale di Fourier: definizione di trasformata di Fourier per una funzione L^1(R), proprietà principali, trasformata di Fourier della funzione caratteristica di un intervallo, esempio di f in L^1 la cui trasformata non è L^1. Lo spazio L^\infty, Trasformate di Fourier e operazioni algebriche,

Lezione del 04-05-2022: (prof. Morsella) derivata della trasformata e trasformata della derivata. Formula di inversione e di dualità. Esercizi su trasformate di Fourier e applicazione alle equazioni a derivate parziali del primo ordine.Trasformata di Fourier di funzioni Gaussiane (dim).

Lezione del 04-05-2022: (prof. Perfetti) Esercizi su trasformate di Fourier

Lezione del 09-05-2022: Definizione di convoluzione e sua trasformata di Fourier (dim). Esempio, applicazione della Trasformata di Fourier per la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore su tutta la retta, proprietà del nucleo del calore.trasformata di Fourier in R^N, equazione del calore nel piano,esercizi su convoluzione e su trasformate di Fourier e problemi integro differenziali in forma di convoluzione

Lezione dell' 11-05-2022:Trasformata di Fourier in L^2(R): definizione e proprietà, teorema di Plancherel. Teorema di Shannon sul campionamento di segnali digitali (dim.). Cenni di teoria delle distribuzioni: spazio di funzioni test, def. di distribuzione, distribuzioni associate a funzioni localmente sommabili, Delta di Dirac, limiti nel senso delle distribuzioni, successioni delta-approssimanti, esempi.

Lezione del 13-05-2022: Definizione di derivata distribuzionale, derivata della funzione di Heaviside e di suoi multipli: la Dirac come forza impulsiva. Confronto tra derivata distribuzionale e derivata classica, derivate distribuzionali successive esempi di derivate distribuzionali ed esercizi su trasformate di Fourier.

Lezione del 16-05-2022: Lo spazio di Schwarz S(R), Distribuzioni temperate, esempi, trasformata della Dirac e di funzioni esponenziali complesse, applicazione alle funzioni periodiche.Introduzione alla trasformata di Laplace

Lezione del 18-05-2022 (mattina dalle 09:30 alle 11:15): Definizione di Trasformata di Laplace, dominio della trasformata, ascissa di convergenza, funzioni di ordine esponenziale e trasformabilità, trasformata del gradino di Heaviside, linearità della trasformata, trasformate dei segnali seno, coseno, seno e coseno iperbolici, t^n, trasformata di Laplace e operazioni algebriche, trasformata della funzione caratteristica di [0,h] e sua ascissa di convergenza.

Lezione del 18-05-2022 (recupero dalle 11:15 alle 13:00): Proprietà della trasformata di Laplace: limitatezza, andamento a zero se Re(s) tende a +\infty, olomorfia e derivate della trasformata, trasformata di segnali causali periodici, convoluzione di segnali e trasformata di Laplace della convoluzione, trasformata della primitiva di un segnale, trasformata di Laplace delle derivate di una funzione, esempi, terorema del valore finale (dim nel caso di derivata sommabile), trasformata della funzione integral-seno. Soluzione esercizi di riepilogo su trasformate di Fourier.

Lezione del 20-05-2022: Funzione Gamma di Eulero:definizione e proprietà, trasformata del segnale t^\alpha per \alpha>-1, antitrasformata di Laplace e collegamento con l'antitrasformta di Fourier: formula di Riemann-Fourier, condizioni sufficienti per l'esistenza dell'antitrasformata, calcolo dell'antitrasformata con integrale complesso (lemmi di Jordan). Antitrasformata di funzioni razionali proprie.

Lezione del 23-05-2022: Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti, funzione di trasferimento, soluzione fondamentale, esempi.Soluzione di un' equazione delle onde con dati di Cauchy-Dirichlet in [0,+infty) usando la trasformata di Laplace. Esercizi su trasformata di Laplace e applicazioni a problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie

Lezione del 25-05-2022: Esercizi su trasformata di Laplace e applicazioni ad equazioni integro-differenziali di tipo convoluzione e a problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di sviluppo per l'antitrasformata di funzioni olomorfe in |z|>R_0 ed espresse in serie di Laurent, generalizzazione teoremi valor iniziale e finale. Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dim. (caso dominio spaziale limitato-collegamento con la soluzione per separazione di variabili)

Lezione del 27-05-2022:Supporto di una distribuzione, trasformata di Laplace di distribuzioni temperate con supporto in [0,+\infty), estensione della trasformata di Laplace a distribuzioni D' con supporto in [0,+\infty), proprietà delle trasformate di distribuzioni, trasformata della distribuzione derivata e collegamento con la trasformata di derivate di segnali, trasformata di Laplace della delta e delle sue derivate, applicazione ad equazioni differenziali ordinarie, esempi.

Lezione del 30-05-2022:Applicazione alla TAC del metodo delle trasformate di Fourier: generalità, trasformata di Radon, sinogramma, esempio di problema inverso, Slice central theorem, retroproiezione filtrata per determinare la densità della sruttura.

Lezione del 01-06-2022:Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dim. (caso dominio semiretta e soluzioni limitate: calcolo antitrasformata di Laplace di exp(-\sqrt{s}). Applicazione delle trasformate di Laplace di distribuzioni per determinare soluzione di problemi di Cauchy per EDO lineari con termini forzanti tipo Delta di Dirac.

Lezione del 06-06-2022 (mattina): Test di preparazione all'esonero

Lezione del 06-06-2022 (pomeriggio:2 lezioni):Correzione del test, esercizi di riepilogo su trasformate di Fourier, di Laplace, derivate distribuzionali

Lezione dell' 08-06-2022: È stata anticipata al 06/06/2022 come richiesto dagli studenti.

Lezione del 10-06-2022: Seconda prova di verifica in itinere (esonero)