Lezione del 03-03-2021:Elementi di analisi funzionale:Spazi vettoriali, spazi normati, distanza indotta da norma, equivalenza tra norme in spazi di dimensione finita, distanza e convergenza di successioni in spazi normati, esempi: lo spazio delle funzioni continue su un compatto con norma lagrangiana e norme integrali. Non equivalenza di norma lagrangiana e norme integrali in C([a,b]).Successioni di Cauchy e spazi di Banach, C([a,b]) con norma lagrangiana è uno spazio di Banach. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 05-03-2021:C^1([a,b]) con norma lagrangiana non è uno spazio di Banach così come C([a,b]) con norma L^1 non è uno spazio di Banach: controesempio alla completezza, lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili rispetto alla norma L^1 non è completo. Cenni al completamento di C([a,b]) rispetto a norme integrali:introduzione alla integrazione secondo Lebesgue.La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 08-03-2021: definizione di misura di Lebesgue (cenni): misura esterna, insiemi misurabili secondo Lebesgue, insiemi di misura di Lebesgue nulla, proprietà vere quasi ovunque, funzioni misurabili e approssimazione con funzioni semplici, cenni ai teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale (teorema di convergenza monotona e di convergenza dominata). Definizione di spazi L^p, La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 10-03-2021:Relazione tra l'integrale in senso improprio e l'integrabilità secondo Lebesgue delle funzioni non negative, proprietà di inclusione tra gli spazi L^1 e L^2 per insiemi di misura finita e non, definizione di prodotto scalare in spazi vettoriali, norme indotte, disuguaglianza di Cauchy Schwarz, identità del parallelogramma, spazi di Hilbert, vettori ortogonali, esempi in L^2(-\pi,\pi), sottospazio vettoriale dei polinomi trigonometrici La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 12-03-2021: Base reale e complessa del sottospazio di L^2(-\pi,\pi) dei polinomi trigonometrici. Teorema della proiezione su un sottospazio V_N di uno spazio di Hilbert H, disuguaglianza di Bessel, applicazione al caso di L^2 (-\pi,\pi) ed al sottospazio generato dai polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier per una funzione 2\pi periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 15-03-2021: esempi di proiezioni di funzioni di L^2 su sottospazio dei polinomi di primo o di secondo grado, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. convergenza puntuale di serie di Fourier, legami tra coefficienti di Fourier di una funzione e della sua derivata, esempi La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 17-03-2021: convergenza uniforme di serie di Fourier (dimostrazione), coefficienti di Fourier per una funzione T periodica, disuguaglianza di Bessel, completezza di L^2, serie di Fourier ed identità di Parseval, esempi; espressione delle serie di Fourier in termini dello spettro di ampiezza e spettro di fase. Esercizi su serie di Fourier:calcolo coefficienti, convergenza, calcolo di somme di serie numeriche utilizzando le serie di Fourier. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 19-03-2021:Metodo di variazione delle costanti per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, soluzione di esecizi su serie di Fourier e applicazioni al calcolo di somme di serie numeriche La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 22-03-2021:Applicazione delle serie di Fourier per determinare la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde unidimensionale (corda vibrante) sia omogenea che non omogenea (metodo di separazione di variabili). La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma q MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 24-03-2021:Unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione della corda vibrante (stima dell'energia), Equazione del calore per un conduttore unidimensionale: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo (metodo di separazione di variabili). Caso di assenza di condizioni di Dirichlet, dalla serie di Fourier all'integrale di Fourier.Esercizi di riepilogo sul teorema della proiezione su sottospazi di L^2 La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 26-03-2021:Richiami sui numeri complessi, potenze, radici n-me, esponenziale e logaritmo complesso, limiti, funzioni continue, derivabilità in senso complesso, condizioni di Cauchy-Riemann (dim.) La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 29-03-2021:Alcune conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann, funzioni olomorfe, esempi; funzioni armoniche, integrale curvilineo di funzioni complesse, teorema di Cauchy, proprietà, esempi.Formula integrale di Cauchy per funzioni olomorfe (con dim) e per le loro derivate, conseguenze: teorema di Liouville (dim), teorema fondamentale dell'algebra, La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 31-03-2021:Conseguenze delle Formule integrali di Cauchy per funzioni olomorfe: teorema del massimo e del minimo modulo, teorema di Morera. Definizione di funzione analitica, richiami sulle serie di potenze in campo complesso, le funzioni analitiche sono olomorfe (dim) e, viceversa, le funzioni olomorfe sono analitiche (dim.). Esempi di funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di Taylor.Esempi di funzioni olomorfe ottenute derivando (o prendendo primitiva) di serie di potenze. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:20 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 02-04-2021:zeri di funzioni analitiche:ordine di uno zero, gli zeri hanno molteplicità finita (se la funzione non si annulla identicamente) (dim), gli zeri sono isolati (se la funzione non è identicamente nulla) (dim), esempi, conseguenze:prolungamento analitico,definizione di sin(z),cos(z) e proprietà. Singolarità isolate e non isolate, esempi, serie di Laurent, classificazione delle singolarità isolate, esempi di singolarità eliminabili, di poli, di singolarità essenziali. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 12:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 07-04-2021 : Residuo, calcolo del residuo in una singolarità essenziale, formula del residuo per poli di ordine K, esempi, teorema dei residui, esempi. Relazione tra coefficienti della serie di Laurent di una funzione e coefficienti di Fourier della restrizione della funzione ad una circonferenza di centro l'origine e raggio fissato, applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali di funzioni trigonometriche. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:20 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 09-04-2021 :Esercizi su serie di Laurent, classificaione di singolarità isolate, residui La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 12-04-2021 :Test in preparazione del primo esonero, discussione/correzione degli esercizi La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:10 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) e su Moodle.

Lezione del 14-04-2021 :Esercizi di riepilogo su serie di Fourier, proiezioni su sottospazi di L^2, funzioni complesse di variabile complessa La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:20 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) e su Moodle.

Lezione 16-04-2021 :Prima prova di verifica in itinere è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 08:30 alle 10:30 sulla piattaforma MSTeams con l'ausilio di Moodle.

Lezione del 19-04-2021:Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri di funzioni reali: 1/(x^4+1) e cos(3x)/(x^2+1) su tutto l'asse reale, definizione di valor principale di un integrale, lemma di Jordan e applicazione al calcolo dell' integrale di sin(x)/x su tutto l'asse reale. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 21-04-2021: Dalla serie all'integrale di Fourier: definizione di trasformata di Fourier per una funzione L^1(R), proprietà principali, trasformata di Fourier della funzione caratteristica di un intervallo, esempio di f in L^1 la cui trasformata non è L^1. Trasformate di Fourier e operazioni algebriche, derivata della trasformata e trasformata della derivata. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 23-04-2021:Integrali impropri di funzioni del tipo 1/[x^\alpha(1+x)] su (0,+\infty) per 0<\alpha<1 con il metodo dei residui (la cui estensione al campo complesso contiene punti di diramazione): cfr. Barozzi (esempio 4.8.4). Esercizi su trasformate di Fourier (calcolo con il teorema dei residui ed utilizzando proprietà algebriche e derivazione. Formula di inversione della trasformata e formula di dualità. Esercizi. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 26-04-2021:Trasformata di Fourier di funzioni Gaussiane (dim). Definizione di convoluzione e sua trasformata di Fourier (dim). Esempio, applicazione della Trasformata di Fourier per la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore su tutta la retta, proprietà del nucleo del calore.trasformata di Fourier in R^N, equazione del calore nel piano,esercizi su convoluzione e su trasformate di Fourier e problemi integro differenziali in forma di convoluzione La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore

Lezione del 28-04-2021:Trasformata di Fourier in L^2(R): definizione e proprietà, teorema di Plancherel. Teorema di Shannon sul campionamento di segnali digitali (dim.). Cenni di teoria delle distribuzioni: spazio di funzioni test, def. di distribuzione, distribuzioni associate a funzioni localmente sommabili, Delta di Dirac, limiti nel senso delle distribuzioni, successioni delta-approssimanti, esempi. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 30-04-2021: Definizione di derivata distribuzionale, derivata della funzione di Heaviside e di suoi multipli: la Dirac come forza impulsiva. Confronto tra derivata distribuzionale e derivata classica, derivate distribuzionali successive, la derivata distribuzionale di log|x|: la distribuzione v.p.1/x, esempi di derivate distribuzionali ed esercizi su trasformate di Fourier. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 03-05-2021: Lo spazio di Schwarz S(R), Distribuzioni temperate, esempi, trasformata della Dirac e di funzioni esponenziali complesse, applicazione alle funzioni periodiche, cenni sulla DFT. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 05-05-2021: Introduzione alla trasformata di Laplace, segnali causali, definizione di Trasformata di Laplace, dominio della trasformata, ascissa di convergenza, funzioni di ordine esponenziale e trasformabilità, trasformata del gradino di Heaviside, linearità della trasformata, trasformate dei segnali seno, coseno, seno e coseno iperbolici, t^n, trasformata di Laplace e operazioni algebriche, trasformata della funzione caratteristica di [0,h] e sua ascissa di convergenza. Correzione esercizio su trasformate di Fourier. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 07-05-2021:Proprietà della trasformata di Laplace: limitatezza, andamento a zero se Re(s) tende a +\infty, olomorfia e derivate della trasformata, trasformata di segnali causali periodici, convoluzione di segnali e trasformata di Laplace della convoluzione, trasformata della primitiva di un segnale, trasformata di Laplace delle derivate di una funzione, esempi, terorema del valore finale (dim nel caso di derivata sommabile), trasformata della funzione integral-seno. Soluzione esercizi di riepilogo su trasformate di Fourier. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 10-05-2021: Funzione Gamma di Eulero:definizione e proprietà, trasformata del segnale t^\alpha per \alpha>-1, Funzione beta di Eulero (cenni), antitrasformata di Laplace e collegamento con l'antitrasformta di Fourier: formula di Riemann-Fourier, calcolo nel caso di F(s)=1/s, condizioni sufficienti per l'esistenza dell'antitrasformata, calcolo dell'antitrasformata con integrale complesso (lemmi di Jordan). La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 12-05-2021: Antitrasformata di funzioni razionali proprie, esempi. Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti, funzione di trasferimento, soluzione fondamentale, esempi. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 14-05-2021: Soluzione di un' equazione delle onde con dati di Cauchy-Dirichlet in [0,+infty) usando la trasformata di Laplace. Esercizi su trasformata di Laplace e applicazioni ad equazioni differenziali ed integro-differenziali di tipo convoluzione.Soluzione di parte degli esercizi di attività assegnata. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo)dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 17-05-2021:Supporto di una distribuzione, trasformata di Laplace di distribuzioni temperate con supporto in [0,+\infty), estensione della trasformata di Laplace a distribuzioni D' con supporto in [0,+\infty), proprietà delle trasformate di distribuzioni, trasformata della distribuzione derivata e collegamento con la trasformata di derivate di segnali, trasformata di Laplace della delta e delle sue derivate, applicazione ad equazioni differenziali ordinarie, esempi. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo)dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 19-05-2021:Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie, e per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti polinomiali. Teorema di sviluppo per l'antitrasformata di funzioni olomorfe in |z|>R_0 ed espresse in serie di Laurent, generalizzazione teoremi valor iniziale e finale. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo)dove può essere reperito materiale ulteriore.

Lezione del 21-05-2021:Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di problemi di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dim. (caso dominio spaziale limitato-collegamento con la soluzione per separazione di variabili), caso semiretta per soluzioni limitate. calcolo antitrasformata di Laplace di exp(-\sqrt{s}). La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore

Lezione del 24-05-2021:Applicazione alla TAC del metodo delle trasformate di Fourier: generalità, trasformata di Radon, sinogramma, esempio di problema inverso, Slice central theorem, retroproiezione filtrata per determinare la densità della sruttura. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione ed alcuni riferimenti bibliografici sull'argomento.

Lezione del 26-05-2021:Esercizi di riepilogo sulle trasformate di Fourier, derivate distribuzionali, proiezioni su sottospazi di L^2, trasformate di Laplace. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione.

Lezione del 28-05-2021:Esercizi di riepilogo sulle trasformate di Fourier, derivate distribuzionali. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione.

Lezione del 31-05-2021: Esercizi di riepilogo sulle trasformate di Fourier e applicazione ad equazioni a derivate parziali, limiti di successioni nel senso delle distribuzioni, equazioni integro differenziali di convoluzione. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:15 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione.

Lezione del 04-06-2021: Test di preparazione all'esonero e relativa correzione La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:50 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione.

Lezione del 07-06-2021: Test di preparazione all'esonero e relativa correzione La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:15 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams (accedere con credenziali fornite da ateneo) dove può essere reperito materiale ulteriore, tra cui la lavagna della lezione.

Lezione del 09-06-2021: Riepilogo di alcuni argomenti trattati nel corso (distribuzioni, trasformate di Laplace e di Fourier):osservazioni e chiarimenti agli studenti. La lezione è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 09:30 alle 11:30 sulla piattaforma MSTeams.

Lezione dell' 11-06-2021: Seconda prova di verifica in itinere (esonero) La prova è stata effettuata in modalità telematica dalle ore 08:15 alle 10:30 sulla piattaforma MSTeams.