Diario settimanale delle lezioni di

Probabilità e Finanza

a.a. 2007/2008

settimana	contenuto lezioni
1	Introduzione alla teoria della misura: σ-algebre; σ-algebra generata da una classe di insiemi ed in particolare da una partizione al più numerabile. Spazi misurabili e funzioni misurabili; σ-algebra generata da una funzione misurabile. Proprietà delle funzioni misurabili. Spazi di probabilità. [cfr. Appunti, Cap. 2, Par. 1]
2	Indipendenza tra eventi e tra σ-algebre. Le variabili aleatorie (v.a.) come funzioni misurabili: proprietà. In particolare, σ-algebra generata da una v.a. Indipendenza tra v.a.; indipendenza tra v.a. e σ-algebre. Legge e distribuzione: richiami. Speranza matematica, varianza, momenti etc. di v.a. e di funzioni di v.a.: richiami. In particolare, nel caso discreto, rappresentazione della speranza matematica come somma su Ω. Introduzione alla media condizionata. [cfr. Appunti, Cap. 2, Par. 1, 2, 3; Cap. 3, Par. 1]
3	Media condizionata a σ-algebre: il caso discreto. Definizione generale di media condizionale. Proprietà “quasi certamente”. Le proprietà della media condizionale. La probabilità condizionale. Filtrazioni e processi adattati. Definizione di martingale, submartingale e supermartingale a tempo discreto. Esempi e proprietà. Processi predicibili. La decomposizione di Doob per submartingale. [cfr. Appunti, Cap. 3, Par. 1, 2]
4	Introduzione ai mercati finanziari: tassi di interesse; interesse semplice, composto, istantaneo; ipotesi sui mercati finanziari: vendita allo scoperto e mancanza di arbitraggio; titoli derivati: forward ed opzioni. Modelli discreti per la descrizione dei mercati finanziari. Strategie di mercato; strategie autofinanzianti e proprietà. Strategie di arbitraggio e mercati privi di arbitraggio. [cfr. Appunti, Cap. 1; Cap. 4, Par. 1, 2, 3]
5	Misure di probabilità equivalenti. Arbitraggio e martingale: primo teorema fondamentale dell’asset pricing e misura neutrale al rischio. Esempi: la formula di parità call-put come conseguenza dell’ipotesi di mancanza di arbitraggio; modello binomiale ad un periodo. Strategie replicanti, opzioni replicabili. Mercati completi e secondo teorema fondamentale dell’asset pricing. Esempi: modello binomiale ad un periodo; modello trinomiale. [cfr. Appunti, Cap. 4, Par. 4, 5]
6	Il prezzo e la copertura delle opzioni europee nei mercati privi di arbitraggio e completi. Il modello di Cox, Ross e Rubinstein (CRR): esistenza e caratterizzazione della misura neutrale al rischio. Completezza del mercato descritto dal modello CRR. Formula del prezzo e della delta (la copertura) per opzioni di payoff h=F(SN ). Formulazione “all’indietro” del prezzo. Comportamento asintotico del modello CRR: discretizzazione dell’intervallo e scelta dei parametri r, a, b; introduzione della volatilità σ. Passaggio al limite e convergenza alle formule di Black e Scholes. Studio empirico della velocità di convergenza; il metodo di etrapolazione di Romberg e “stimatore” associato. [cfr. Appunti, Cap. 4, Par. 5, da 6.1 a 6.4]
7	Introduzione alle opzioni americane. Tempi d’arresto: definizione, σ-algebra degli eventi antecedenti. Proprietà. Martingale (supermartingale, submartingale) arrestate. Il teorema d’arresto. Metodo “all’indietro” per calcolare il prezzo dell’opzione americana; l’inviluppo di Snell della funzione di payoff scontato. Il problema dell’arresto ottimo e tempo ottimale d’arresto. [cfr. Appunti, Cap. 3, Par. 3; Cap. 5, Par. 1 e 2]
8	Copertura delle opzioni americane. Uguaglianza del prezzo della call americana ed europea. Studio qualitativo del prezzo della put americana nel modello CRR: prezzo critico e esercizio istantaneo. Generalità sui metodi Monte Carlo: stimatore Monte Carlo della media; intervalli di confidenza. Simulazione dell’albero CRR. [cfr. Appunti, Cap. 5, Par. 3 e 4; Cap. 6, Par. 1 e 2]
9	Stima Monte Carlo del prezzo di opzioni europee call/put: standard, asiatiche, con barriera. Simulazione della copertura di opzioni europee. [cfr. Appunti, Cap. 6, Par. 3 e 4]
10	Generazione dell’albero dei prezzi per la put americana nel modello CRR. Verifica Monte Carlo della rappresentazione del prezzo in termini della media del payoff all’istante di esercizio. Simulazione dell’istante di esercizio ed analisi statistiche (media, varianza, legge empirica). Simulazione del lavoro di copertura della put americana. [cfr. Appunti, Cap. 6, Par. 5]