Metodi Matematici per l'Ingegneria

La risposta è dentro di voi
(ma è sbagliata)

(C. Guzzanti)

Metodi Matematici per l'Ingegneria 2024-2025 (per Ingegneria Medica)
(Prof. Braides)

Risultati della prova intermedia del 17 aprile

AVVISO: non ci sarà lezione il giorno 23 aprile, ne' il giorno 2 maggio (chiusura dell'Ateneo).

Programma del corso

Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, richiami su convergenza uniforme e sulle serie di potenze, integrazione in campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà, singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su trasformazioni conformi.
Trasformata di Laplace e principali proprietà. Convoluzione. Formula di inversione. Applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie.
Cenni su integrale e misura di Lebesgue. Gli spazi L¹, L^p e L^∞. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, la delta di Dirac come distribuzione. Il Lemma di Riemann-Lebesgue nel senso delle distribuzioni. Derivate ed equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni.
Spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali in L². Serie di Fourier: convergenza in L², puntuale ed uniforme, fenomeno di Gibbs
Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L² e proprietà principali, formula di inversione. Applicazione delle trasformate di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, proprietà del nucleo del calore. Distribuzioni temperate e trasformate di Fourier.

Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione. Zanichelli.
Prerequisiti: Analisi 2
(prerequisiti = nozioni necessarie per comprendere gli argomenti del corso)
(propedeuticità = ... se vi riuscite ad iscrivere alle prove su Delphi vuol dire che avete le necessarie propedeuticità...)

Orario

Mercoledì ore 14:00-16:00 Aula B2

Venerdì ore 9:30-13:30 Aula B3

Orario di ricevimento: chiedere al docente

Distinta delle lezioni

Lezioni 1-2 (5 marzo) Esempi di funzioni complesse. Funzioni affini in campo complesso. Esponenziale complesso. Logaritmo complesso. Convergenza e topologia nel piano complesso. Definizione di derivata complessa e sua equivalenza con la differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann*. Sufficienza delle condizioni di Cauchy-Riemann per funzioni di classe C¹. Funzion olomorfe. Proprietà delle parti reale e complessa di una funzione olomorfa: equazione di Laplace.

Lezioni 3-6 (7 marzo) Serie di potenze in campo complesso. Caratterizzazione del cerchio di convergenza. Raggio di convergenza e suo calcolo. Esempi. Derivabilità (di ogni ordine) delle serie di potenze all'interno del cerchio di convergenza. Serie esponenziali e trigonometriche. Integrazione di funzioni su curve in campo complesso. Interpretazione come integrali di forme differenziali e relative proprietà. Integrazione di 1/z su una circonferenza centrata nell'origine. Primitiva di una funzione complessa. Teorema fondamentale del calcolo per funzioni complesse. Integrale nullo su un circuito di una funzione che ammette primitiva. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un aperto semplicemente connesso. Teorema di Cauchy.

Lezioni 7-8 (12 marzo). Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy*. Indice di una curva. Esempi di calcolo di integrali tramite la formula di Cauchy. Formula di Cauchy per le derivate di ordine superiore. Analiticità delle funzioni olomorfe. Funzioni intere.

Lezioni 9-12 (14 marzo). Teorema di Liouville*. Teorema fondamentale dell'Algebra*. Zeri di una funzione olomorfa. Caratterizzazione degli zeri di ordine n. L'insieme degli zeri di una funzione olomorfa non nulla non ha punti di accumulazione (nel dominio di definizione). Conseguenze. Punti singolari e punti singolari isolati. Classificazione delle singolarità: eliminabili, poli di ordine n, essenziali. Esempi. Residuo. Teorema dei residui. Formula di calcolo per poli di ordine minore o uguale ad n. Esempi di calcolo tramite residui.

Lezioni 13-14 (19 marzo). Calcolo di integrali tramite il teorema dei residui: integrali impropri di funzioni razionali, integrali impropri con funzioni oscillanti. Calcolo dell'integrale improprio di sin x/x sulla retta

Lezioni 15-18 (21 marzo). Serie bilatere e serie di Laurent per funzioni olomorfe in un anello. Esempi di calcolo di serie di Laurent. Classificazione dei punti singolari in termine della serie di Laurent. Residuo come coefficiente della serie di Laurent. Esempi ed esercizi di calcolo.

Lezioni 19-20 (26 marzo). Segnali. Funzione di Heaviside. Funzione caratteristica di un insieme. Funzioni trasformabili secondo Laplace. Ascissa di convergenza. Esempi. Trasformata di Laplace. Esempi. Trasformata di tⁿ. Trasformata di esponenziali. Funzione impulso e sua trasformata. Linearità. Trasformata di seno e coseno. Proprietà della trasformata di Laplace: analiticità, limitatezza, andamento all'infinito.

Lezioni 21-24 (28 marzo). Proprietà della trasformata di Laplace: analiticità, limitatezza, andamento all'infinito. Altre proprietà: cambi di variabile lineari, traslazioni, moltiplicazione per una funzione esponenziale. Formula della trasformata di una funzione periodica. Trasformata delle derivate di ordine successivo. Delta di Dirac. Soluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari con secondo termine contenente Delta e discontinuità tramite la trasformata di Laplace.

Lezioni 25-26 (2 aprile). Derivata (nel senso delle distribuzioni) di una funzione C¹ a tratti. Esempi. Soluzioni di equazioni ordinarie nel senso delle distrubuzioni con termini delta di Dirac. Prodotto di convoluzione di due segnali. Trasformata del prodotto di convoluzione. Esempi

Lezioni 27-30 (4 aprile). Soluzione impulsiva e soluzioni di sistemi nonomogenei mediante convoluzione. Equazioni integro-differenziali. La funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. Trasformata di t^α con esponente non intero. Formula per l'antitrasformata. Calcolo tramite i residui per l'antitrasformata di quoziente di polinomi.

Lezioni 31-32 (9 aprile). Esercizi ed esempi (analisi complessa)

Lezioni 33-36 (11 aprile). Esercizi ed esempi (analisi complessa e trasformata di Laplace)

Lezioni 37-38 (16 aprile). Esercizi ed esempi.

Lezioni 39-42 (17 aprile). Primo test intermedio.

Lezioni 43-46 (18 aprile). Cenni sulla misura di Lebesgue. Insiemi di misura nulla. Cenni su integrazione di Lebesgue. Funzioni sommabili. Norma L¹. Relazione di equivalenza quasi ovunque. Spazi di Lebesgue. Teoremi fondamentali (Beppo Levi, Lebesgue, Fatou). Esempi di funzioni convergenti e non convergenti in L¹.

Mercoledì 23 non si terrà lezione

Lezioni 47-50 (25 aprile). Vacanza accademica.

Lezioni 51-52 (30 aprile). Teoria delle distribuzioni.

Lezioni 53-56 (2 maggio). Vacanza accademica

* = se ne richiede la dimostrazione

Fogli di esercizi

Analisi complessa 1
Analisi complessa 2
Collezione di esercizi su trasformata di Laplace (prof. Tarantello)
Trasformata di Laplace (equazioni integro-differenziali, uso della Gamma di Eulero...)
Distribuzioni
Il metodo di Gram-Schmidt
Il teorema delle proiezioni
Serie di Fourier
Trasformate di Fourier

Esercitazioni a.a. 2023-2024

MODALITÀ D'ESAME
Esame scritto + esame orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il testo e un formulario, ma non gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate fogli per la brutta.

Verranno effettuati 2 TEST INTERMEDI che potranno sostiture l'esame finale.
Il calendario degli orali verrà reso noto su questa pagina. Si può sostenere l'esame orale anche in altro appello ma nella stessa sessione.