Periodo: 5 marzo - 5 giugno 2025
Orario delle lezioni (aula D'Antoni)
Mercoledì ore 11:00-14:00
Giovedì ore 10:15-13:00
Non ci sarà lezione nei giorni 23 e 24 aprile.
Lezioni 1-3 (5 marzo) Presentazione del corso. Funzioni monotone su intervalli di R: proprietà di continuità, Differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone. Conseguenze. La funzione di Cantor. Variazione. Funzioni a variazione puntuale limitata (e localmente limitata). Esempi. Relazione tra funzioni a variazione puntuale limitata e funzioni monotone, Lipschitz, Hölder. Esempi. [L, Chapter 1, Section 2.1]
Lezioni 4-6 (6 marzo) Variazione positiva e negativa. Variazione puntuale e sue proprietà. Ogni funzione BPV si scrive come differenza di funzioni monotone. Relazione tra derivata quasi ovunque e V, variazione puntuale: |u'(x)|=V'(x). Proprietà di BPV(I). Norma BPV. BPV(I) come spazio di Banach. Teorema di Helly. [L, Chapter 2]
Lezioni 7-9 (13 marzo) Funzioni assolutamente continue. Esempi. Relazioni con la continuità uniforme. Relazioni con Lipschitzianità. Le funzioni AC sono BPV. Se u è AC[a,b] e u'=0 q.o., allora u è costante. Risultati ausiliari per la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo per funzioni AC. Teorema fondamentale del calcolo. Scomposizione di funzioni BPV in parte assolutamente continua, di salto e cantoriana. Spazi di Sobolev W^{1,p}(I) come sottospazi di AC_loc. [L, Chapter 3, Chapter 7.2]
Lezioni 10-12 (19 marzo) Disuguaglianza di Poincaré. Norma in W^{1,p}. Se p>1 e le norme sono equilimitate, esiste una sottosuccessione uniformemente convergente sui compatti. Derivata debole e definizione di W^{1,p} mediante la derivata debole. Equivalenza delle due definizioni modulo uguaglianza q.o.
Lezioni 13-15 (20 marzo) Spazi di Sobolev di ordine seperiore e loro proprietà. Spazi di Sobolev frazionari. Seminorma di Gagliardo. Diseguaglianza di Poincarè. Esempi. Funzioni di Sobolev discontinue se sp<1. Confronto con le funzioni nello spazio W1,p. Il teorema di Bourgain-Brezis-Mironescu. [L-2. Chapter 1]
Lezioni 16-18 (26 marzo) Il Teorema di Rademacher. Convergenza in C∞_c(Ω). Definizione dello spazio delle funzioni test D(Ω) e delle distribuzioni D'(Ω). Esempi. Caratterizzazione. Ordine di una distribuzione. Le distribuzioni positive hanno ordine zero. Le distribuzioni di ordine zero sono misure. Derivate distribuzionali. Esempi. Teorema di Schwarz.
Lezioni 19-21 (27 marzo) Convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempi. Convoluzione (richiamo). Date T in D'(RN) e φ in D(RN), definizione di convoluzione T*φ. La convoluzione di una distribuzione è una funzione C∞(RN). Data T in D'(RN), esiste una successione (u_k) in C∞(RN) tale che T_{u_k} converge a T in D'(RN). Definizione di spazi di derivate deboli e di Sobolev in dimensione qualunque. Struttura di Wm,p(Ω) come spazio di Banach. Esempi. Struttura di Wm,2(Ω) come spazio di Hilbert. Definizione di Wm,p_0(Ω) come chiusura di C∞c(Ω) in Wm,p. Nota: Wm,∞_0(Ω) è incluso in Cm_0(Ω). Richiami: approssimazione di u in L^p(Ω) con funzioni in C∞_0(Ω). Estensioni. Spazi Hm,p(Ω). Teorema di Meyers-Serrin (approssimabilità con funzioni C∞ di un aperto per p<∞).
Lezioni 22-24 (2 aprile) Approssimabilità con funzioni C∞ di tutto lo spazio per funzioni definite su insiemi sottografico di funzioni continue. Partizioni dell'unità. Aperti di classe C0. Approssimabilità con funzioni C∞ di tutto lo spazio per funzioni definite su aperti di classe C0. Approssimabilità con funzioni affini a tratti per m=1.
Lezioni 25-27 (3 aprile) Caratterizzazione di W1,2 per sezioni. Applicazioni. Estensione per riflessione. Convergenza debole in Lp. Semicontinuità della norma. Teorema di compattezza debole. Metrizzabilità dei limitati. Equivalenza con la convergenza nel senso delle distribuzioni e la convergenza degli integrali per insiemi limitati in Lp. Lemma di Riemann-Lebesgue in Lp
Lezioni 28-30 (9 aprile) Lemma di Riemann-Lebesgue in L1(Ω). Lemma di Riemann-Lebesgue in W1,p(Ω; RM). Esempi. Semicontinuità debole di funzionali integrali in W1,p. Condizioni necessarie. Condizioni sufficienti (semicontinuità debole e convessità). Approssimazioni Lipschitziane di funzioni semicontinue. Trasformata di Yosida. Approssimazioni C∞. Convessità e semicontinuità debole in L1.
Lezioni 31-33 (10 aprile) Semicontinuità debole di funzionali integrali in W1,p e convessità. Proprietà delle funzioni convesse; esempi. Richiami: teorema di Hahn-Banach. Conseguenze. Condizioni necessarie per la semicontinuità debole di funzionali integrali in W1,p(Ω; RM). Funzioni quasiconvesse (Morrey). Esempio: determinante. Convessità, quasiconvessità, rango-1-convessità.
Lezioni 34-36 (16 aprile) Caratterizzazione di W1,p per traslazioni. Esponente di Sobolev. Diseguaglianza di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg.
Testi
[L] G. Leoni, A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. AMS, 2017
[L-2]
G. Leoni, A First Course in Fractional Sobolev Spaces. AMS, 2023
[BD] A. Braides e A.Defranceschi. Homogenization of Multiple
Integrals. Oxford University Press, 1998
[E] L.C. Evans. Partial
Differential Equations. AMS, 1998