Gli esami di martedì 26 e mercoledì 27
giugno saranno in "aula comune" al
Dipartimento di Matematica
Breve descrizione del corso
Il corso si incentra sul Calcolo delle
Variazioni, ovvero il problema dello studio dei minimi di
funzionali (così vengono chiamate le funzioni reali che dipendono
da funzioni), con lo scopo di esaminare come i ragionamenti
finito-dimensionali visti nei primi corsi di Analisi debbano
essere adattati per poter essere estesi a dimensione infinita. A
tale scopo si dovranno trovare i giusti spazi di definizione, le
giuste nozioni di convergenza, e le estensione opportune dei
teoremi relativi all'esistenza e alla caratterizzazioni dei punti
di minimo. Il corso sarà un'occasione per ripercorrere metodi
classici, introdurre nozioni fondamentali della matematica moderna
legate all'Analisi funzionale e dare una introduzione elementare
ad alcune applicazioni. Programma
Metodi classici del Calcolo delle Variazioni. Derivazione
delle equazioni di Eulero-Lagrange, ed esempi di loro soluzioni
per problemi classici. Esempi di non esistenza.
Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Introduzione alle
soluzioni deboli, agli spazi di Sobolev e alla teoria delle
distribuzioni. Convergenze deboli e proprietà di semicontinuità.
Teoremi di esistenza. Ruolo della convessità.
Problemi con mancanza di esistenza. Soluzioni generalizzate e
rilassamento. Applicazioni.
Cenni a nozioni di convergenza di funzionali.
Prerequisiti: elementi di equazioni differenziali
ordinarie, integrale di Lebesgue
Distinta delle lezioni (ogni lezione è di due ore)
Lezione 1 (6 marzo 2018). Esempi introduttivi e descrizione degli argomenti
principali del corso: metodi indiretti, metodi, diretti,
rilassamento, approssimazione.
Lezione 2 (7 marzo 2018). Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange in
forma integrale per funzionali integrali. Osservazioni sullo
spazio delle funzioni C^\infinito a supporto compatto. Il
lemma fondamentale del calcolo delle variazioni per funzioni
continue e per funzioni integrabili. Lo spazio normato L^1. Varianti del lemma.
Lezione 3 (13 marzo 2018). Nuclei
di convoluzione e densità delle funzioni C^\infinito a
supporto compatto in L^1. Il lemma di Du
Boys-Reymond. Derivazione delle equazioni di
Eulero-Lagrange in forma differenziale.
Esempi di equazioni di Eulero-Lagrange e di
soluzione di problemi di minimo.
Lezione 4 (14 marzo 2018). Sufficienza
delle equazioni di Eulero-Lagrange per
integrandi convessi. Esempi di esistenza per
problemi riconducibili a soluzioni di
equazioni ordinarie. Condizioni al bordo di
Dirichlet. Altre condizioni al bordo.
Condizioni di Neumann. Esempio: il problema
di Mumford-Shah per la ricostruzione di
segnali.
Lezione 5 (20 marzo 2018). Esistenza
di problemi omogenei per funzioni convesse
della derivata anche non regolari. Non
esistenza per problemi delle superfici
minime di rotazione e di rivoluzione. Non
esistenza per alcuni problemi con dipendenza
nella funzione illimitata dal basso.
Diseguaglianza di Poincaré e conseguente
esistenza di alcuni minimi.
Lezione 6 (21 marzo 2018). La
diseguaglianza di Poincaré in dimensione
qualunque. La diseguaglianza
di
Poincaré-Wirtinger.
I problemi di minimo per funzioni C^1-a
tratti. Esempi di non-esistenza per funzioni
non convesse: l'integrale della radice di
u', il potenziale a doppio pozzo più il
termine u^2, l'esempio di Weierstrass.
Esistenza di soluzioni C^1-a-tratti: il
potenziale a doppio pozzo, funzionali
degeneri per u=0.
Lezione 7 (27 marzo 2018). Estensioni
delle equazioni di Eulero-Lagrange: a più
funzioni (sistemi di EDO), a derivate di
ordine più alto (EDO di ordine 2n), a più
variabili (EDP). Esempio: integrale di
Dirichlet ed equazione di Laplace.
Introduzione al metodo diretto: il teorema
di Weierstrass per funzioni semicontinue
inferiormente (s.c.i.), e alcune sue
varianti. Sup di funzioni s.c.i. Ogni
funzione (positiva) s.c.i. in uno spazio
metrico è sup di funzioni Lipschitziane.
Lezione 8 (28 marzo 2018). Spazi di
Lebesgue. Teoremi di convergenza per
funzioni misurabili: Beppo Levi, Lebesgue,
Fatou. Norme L^p. Cenni al caso L^2
(rappresentazione come serie.
Indentificazione con l^2). Convergenza
puntuale quasi
ovunque di
sottosuccessioni di
successioni convergenti in L^p. Continuità
della norma. Funzionali integrali continui e
semicontinui rispetto alla convergenza L^p.
Esponente coniugato. Diseguaglianza di
Hölder. Identificazione delle funzioni in
L^{p'} come elementi del duale di L^p.
Teorema di rappresentazione di Riesz (solo
enunciato). Esempi di successioni limitate
da cui non si estrae una sottosuccessione
convergente in L^p.
Lezione 9 (3 aprile 2018). Convergenza
debole (debole* se p=infinito) negli spazi
L^p. Analogie con il caso
finito-dimensionale ed il caso speciale l^2
(convergenza in norma e convergenza delle
componenti). Teorema della precompattezza
debole dei limitati in L^p. Proprietà degli
spazi L^p rispetto alla convergenza forte:
completezza e separabilità (se p finito).
Densità delle funzioni C^infinito_0 (se p
finito).
Lezione 10 (4 aprile 2018). Il Lemma
di Riemann-Lebesgue (convergenza debole alla
media di funzioni periodiche oscillanti).
Caratterizzazioni della convergenza debole
per successioni limitate in L^p.
Metrizzabilità debole degli insiemi limitati
di L^p. Distribuzioni. Identificazione di
funzioni localmente integrabili con
distribuzioni. Delta di Dirac. Convergenza
nel senso delle distribuzioni e confronto
con la convergenza debole in spazi di
Lebesgue. Successioni convergenti alla delta
di Dirac.
Lezione 11 (10 aprile 2018). Esempi
di successioni convergenti nel senso delle
distribuzioni. Due proprietà facili da
dimostrare in L^2: semicontinuità debole
della norma e convergenza forte di
successioni convergenti debolmente di cui
converge anche la norma. La norma L^p come
sup di funzionali lineari, e sua
semicontinuità. Necessità e sufficienza
della convessità per la semicontinuità
debole di funzionli integrali.
Lezione 12 (11 aprile 2018). Derivate
nel senso delle distribuzioni. Esempi di
derivate nel senso delle distribuzioni.
Derivata della funzione |x|. La delta di
Dirac come derivata della funzione di
Heaviside. Derivate di funzioni C^1 a
tratti. Derivata debole di una funzione L^p.
Spazi di Sobolev W^{1,p} (esistenza di
derivate deboli in L^p) Caso
uni-dimensionale: teorema fondamentale del
calcolo e definizione puntuale di una
funzione di Sobolev. Spazi di Sobolev
H^{1,p} (chiusura forte di
C^infinito). Convergenza debole e chiusura
debole degli spazi di Sobolev. H^{1,p} è
contenuto in W^{1,p}. Approssimabilità delle
funzioni W^{1,p} (dimostrazione in
dimensione 1). W^{1,p} è contenuto in H^{1,p}.
Osservazione: la "scala del diavolo" non è
una funzione di Sobolev e, essendo continua,
la sua derivata non ha delta di Dirac.
Lezione 13 (17 aprile 2018). Approssimabilità
delle funzioni W^{1,p}
(dimostrazione in
dimensione qualsiasi
- H=W).
Partizioni del'unità. Esempio di
applicazione del metodo diretto (esistenza
per un problema convesso con condizioni di
Neumann). Il teorema di Ascoli e Arzelà (e
una sua piccola variante). Hölderianità
delle funzioni W^{1,p} con p>1 in una
dimensione. Precompattezza nella norma
uniforme dei limtati in W^{1,p}. Teorema di
Rellich (solo enunciato). Esempio: esistenza
per un problema con condizioni di Neumann
senza convessità nella u.
Lezione 14 (18 aprile 2018). Lo
spazio H^{1,p}_0 come chiusura delle
funzioni C^infinito_0. Sua caratterizzazione
come le funzioni W^{1,p} che valgono 0 fuori
del dominio se questo è regolare.
Controesempio: il dominio una palla meno un
raggio. Diseguaglianza di Poincaré in
W^{1,p}_0. Esempi di applicazioni con dati
al bordo. Esistenza di funzioni C^infinito
usando il metodo di "bootstrap".
Diseguaglianza di Poincaré con la media.
Esempi di applicazioni.
Lezione 15 (24 aprile 2018). Cenni a
problemi su funzioni vettoriali: necessità
della convessità nelle direzioni di rango
uno, continuità debole del determinante e
funzioni policonvesse. Esempi di problemi di
meccanica dei continui: elasticità
nonlineare, frame indifference. Esempio di
funzionale definito su funzioni
Sobolev-a-tratti: il funzionale di
Mumford-Shah e sua semicontinuità.
Lezione 16 (2 maggio 2018). Flussi
gradiente. Lo schema di Eulero implicito.
Definizione di movimento minimizzante.
Esistenza di movimenti minimizzanti.
Applicazione: teoremi di esistenza per
equazioni differenziali ordinarie. Esempi di
non unicità. Un risultato di esistenza per
l'equazione del calore.
Lezione 17 (15 maggio 2018). Cenni
sulle misure di Young. Funzionale rilassato
o inviluppo semicontinuo inferiore. Alcune
sue proprietà. Il teorema di Weierstrass per
il funzionale rilassato. Esempio:
definizione per rilassamento (definizione H
degli spazi di Sobolev). Insiemi densi in
energia e loro utilizzo nel calcolo di un
rilassato. Rilassato di funzionali integrali
inspazi di Sobolev autonomi in una
dimensione e inviluppo convesso e
semicontinuo degli integrandi. Lezione 18 (16 maggio 2018). Estensione
del calcolo del rilassato a funzionali non
autonomi e per funzioni scalari in più
dimensioni. Osservazione che il teorema non
vale per funzioni vettoriali. Compatibilità
del rilassamento con perturbazioni continue.
Esempi. Aggiunta delle condizioni al bordo.
Compatibilità delle condizioni al bordo
(dimostrazione). Esempio: il problema di
Newton del solido di minima resistenza.
Lezione 19 (22 maggio 2018). Rilassamento
e condizioni al bordo per funzionali che
dipendono dalla derivata: condizioni sulla
derivata prima, condizioni al borso e
funzionali a crescita 1. Esempio:
rilassamento del funzionale dell'esempio
di Weierstrass. Esempi di successioni di
funzionali: perturbazioni singolari,
funzionali oscillanti, funzionali alle
differenze finite. Definizione di
Gamma-convergenza. Teorema di Weierstass
per una successione di funzionali.
Lezione 20 (23 maggio 2018). Osservazioni
ed esempi sulla definizione di
Gamma-convergenza. Gamma-liminf e
Gamma-limsup. Esempio: discretizzazione
dell'integrale di Dirichlet, convergenza
di problemi alle differenze finite e
relative equazioni di Eulero.
Lezione 21 (29 maggio 2018).
Esempio: convergenza di funzionali
quadratici troncati al funzionale di
Mumford-Shah. Esempio: omogeneizzazione di
funzionali quadratici in dimensione uno.
Cenni all'ogeneizzazione di funzionali in
dimensione maggiore.
Lezione 22 (30 maggio 2018).
Esempio: teoria di gradiente delle
transizioni di fase. Cenni al caso
n-dimensionale e dimostrazione in
dimensione 1.
Lezione 23 (5 giugno 2018). Funzionali
energia per metriche Riemanniane. Esempio
di convergenza a una metrica Finsleriana.
Lezione 24 (6 giugno 2018). Cenni
alla teoria degli insiemi di perimetro
finito. Cenni al moto per curvatura.
Calcolo nel caso di dato iniziale una
palla.
Altri testi utili B. Dacorogna. Introduction to the Calculus of
Variations. Imperial College Press
I.M. Gelfand, S.M. Fomin. Calculus of Variations.
Prentice-Hall
J. Jost, X. Li-Jost Calculus of Variations. Cambridge
University Press
G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt. One-dimensional
Variational Problems. Oxford University Press
A. Braides. Gamma-convergence for Beginners. Oxford University
Press
