Metodi classici del Calcolo delle Variazioni. Derivazione
delle equazioni di Eulero-Lagrange, ed esempi di loro soluzioni
per problemi classici. Esempi di non esistenza.
Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Introduzione alle
soluzioni deboli, agli spazi di Sobolev e alla teoria delle
distribuzioni. Convergenze deboli e proprietà di semicontinuità.
Teoremi di esistenza. Ruolo della convessità.
Problemi con mancanza di esistenza. Soluzioni generalizzate e
rilassamento. Applicazioni.
Cenni a nozioni di convergenza di funzionali.
Prerequisiti: elementi di equazioni differenziali
ordinarie, integrale di Lebesgue
1 (7 marzo). Introduzione al
corso. Esempi e cenni storici. Funzionali integrali.
Esemplificazione dei problemi in ambiti finito dimensionali.
2 (8 marzo). Calcolo delle condizioni necessarie per
un minimo locale di un funzionale integrale. Condizioni al
bordo di Dirichlet. Equazioni di Eulero-Lagrange in forma
integrale. Lemma di Du Bois-Reymond per funzioni continue e
sue varianti. Equazioni di Eulero-Lagrange in forma
differenziale. Cenni sul lemma di Du Bois-Reymond per
funzioni integrabili. Esempio di dimostrazione usando la convoluzione.
Esempi di equazioni di E-L. Semplici esempi di esistenza,
non-esistenza e non-unicità per integrali di f(u').
3 (14 marzo). Esempi di non esistenza: concentrazione
per funzionali concavi, oscillazioni per funzionali a due pozzi,
esempi di soluzioni C1 a tratti e C1 a tratti. Esempio di
Weierstass.
4 (15 marzo). Esempi di non esistenza per condizioni di
crescita. Diseguaglianza di Poincaré. Non esistenza del minimo
di superfici di rivoluzione per una classe di dati. Teorema di
esistenza per funzionali convessi in (u,p). Teorema di esistenza
per funzionali convessi della sola u' senza condizioni di
derivabilità. Esempi. Altre condizioni al bordo: condizioni
naturali, condizioni di Neumann.
5 (21 marzo). Esempio: il funzionale di Mumford-Shah come
somma di problemi di minimo con condizioni al bordo di Neumann.
Lemma di Du Bois-Reymond (seconda versione). Altre forme delle
equazioni di Eulero-Lagrange: in forma Du Bois-Reymond, in forma
Erdmann.
6 (22 marzo). Estensioni delle equazioni di
Eulero-Lagrange: a più variabili, a più derivate, a dimensioni
maggiori di uno. Il metodo diretto del calcolo delle variazioni.
Funzioni semicontinue e loro proprietà. Approssimabilità con
funzioni continue. Il Teorema di Weierstrass per funzioni
semicontinue su uno spazio con una nozione di convergenza e sue
varianti.
7 (28 marzo). Breve introduzione agli spazi di Lebesgue.
Teoremi di convergenza. Lemma di Fatou. Norma e distanza in Lp. Continuità della norma. esempi di funzionali
continui e semicontinui in Lp tramite il lemma di Fatou. Esponente coniugato.
Diseguaglianza di Hölder. Funzionali lineari e continui. Teorema
di Riesz. Completezza di Lp. Densità delle funzioni continue a supporto compatto
in Lp. Separabilità di Lp.
Esempi di mancanza di compattezza per oscillazioni e per
concentrazione di successioni limitate in L1.
8 (29 marzo). Introduzione alla teoria delle
distribuzioni. Definizione di distribuzione. Esempi. Delta di
Dirac. Derivata nel senso delle distribuzioni. Esempi. Derivate
di funzioni C1 a tratti.
Derivata della funzione di Heaviside. Derivata della delta.
Convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempio di
convergenza per concentrazione alla delta di Dirac. Lemma di
Riemann-Lebesgue per funzioni limitate. Esempi di convergenza
nel senso delle distribuzioni.
9 (4 aprile). Convergenza debole negli spazi di
Lebesgue. Teorema di precompattezza debole per insiemi limitati
in spazi di Lebesgue. Lemma di Riemann-Lebesgue in spazi di
Lebesgue. Metrizzabilità della convergenza debole sui limitati.
Continuità debole. Necessità della convessità per la
semicontinuità di integrali autonomi.
10 (5 aprile). Necessità della convessità per integrandi
f(x,u). Caratterizzazione della norma come estremo superiore di
funzionali lineari e sua semicontinuità inferiore. Controesempio
alla continuità della norma. Sufficienza della convessità per la
semicontinuità debole e nel senso delle distribuzioni di
funzionali integrali in L1.
11 (11 aprile). Introduzione agli spazi di Hilbert.
Convergenza debole in spazi di Hilbert.
12 (12 aprile). Definizione di spazio di Sobolev W1,p. Chiusura degli spazi di Sobolev per convergenza
debole. Definizione di spazio di Sobolev H1,p. Equivalenza delle definizioni H e W per p finito
(cenno alla dimostrazione dell'inclusione di W in H in
dimensione maggiore di 1). Teorema fondamentale del calcolo per
funzioni W1,1. Hölderianità
delle funzioni di Sobolev. Convergenza debole in spazi di
Sobolev -caratterizzazioni alternative. Teorema di compattezza
debole in spazi di Sobolev.
13 (18 aprile). Una versione generale del teorema di
Ascoli-Arzelà. Immersione compatta in spazi Lp (Teorema di Rellich - dimostrazione in dimensione 1).
Diseguaglianze di Poincaré (con dato zero al bordo). Lo spazio W01,p. Esempi di soluzioni di problemi di minimo
14 (19 aprile). Diseguaglianze di Poincaré a media
fissata. Diseguaglianza di Wirtinger-Poincaré. Esempi di
applicazioni del metodo diretto in spazi di Sobolev. Cenno al
caso vettoriale: continuità debole del determinante Jacobiano.
15 (26 aprile). Schema di Eulero implicito. Esistenza di
soluzioni di equazioni differenziali ordinarie tramite
approssimazione. Esempi di non unicità e di esistenza a meno di
sottosuccessioni. Esempio in dimensione infinita: esistenza di
soluzioni per l'equazione del calore.
16 (2 maggio). Cenni alle misure di Young. Calcolo del
limite per |u_h|=1 e u_h=sin(hx). Problemi con mancanza di
semicontinuità. Funzionale rilassato e sue proprietà.
Inviluppo semicontinuo inferiore. “Recovery sequences”. Teorema
di Weierstrass per il funzionale rilassato.
17 (3 maggio). Definizione per rilassamento (esempio di
definizione di spazi di Sobolev come dominio del rilassato
dell'integrale di Dirichlet). Uso di insiemi densi in energia
per semplificare il calcolo. Rilassato di funzionali integrali
autonomi in dimensione uno. Esempio: Il problema di Newton del solido di
minima resistenza. Rilassamento e condizioni al bordo di tipo
Dirichlet.
18 (10 maggio). Osservazioni sul caso vettoriale.
Rilassamento di problemi non-convessi e loro interpretazione in
termini di problemi di minimo. Rilassamento di problemi
con condizioni al bordo sulla derivata prima. Rilassamento
dell'esempio di Weierstass. Cenni sul fenomeno di Lavrentiev.
19 (16 maggio). L'esempio di Manià. Fenomeno di
Lavrentiev per il determinante Jabobiano. Convergenza di
problemi di minimo: esempi sulla retta, funzionali oscillanti,
perturbazioni singolari di funzionali non-convessi.
20 (17 maggio). Definizione di Gamma-convergenza e il
teorema sulla convergenza dei minimi. Compatibilità con
perturbazioni convergenti con continuità.
Esempio: approssimazioni alle differenze finite del funzionale
di Dirichlet e sue perturbazioni.
21 (23 maggio). Gamma-limiti inferiore e
superiore. Definizione topologica della Gamma-convergenza.
Semicontinuità dei Gamma-liminf e limsup. Compattezza della
Gamma-convergenza. Esempio: convergenza di funzionali alle
differenze finite al funzionale di Mumford-Shah.
22 (24 maggio). Esempio di un problema di perturbazione
singolare (perturbazione di un problema non convesso). Selezione
dei minimi tramite perturbazione singolare. Energie di
interfaccia. Cenno al caso più dimensionale e agli insiemi di
perimetro finito.
23 (30 maggio). Formule di ottimizzazione:
problemi di profilo ottimale per transizioni di fase e problemi
di cella per problemi oscillanti. Omogeneizzazione di funzionali
integrali
24 (31 maggio). Esempi di perdita di simmetria,
regolarità e quadraticità nel passaggio al limite in problemi
integrali.
Orario delle lezioni (7 marzo-7 giugno 2017)
Appunti
Dispense
del prof. Gobbino