Metodi classici del Calcolo delle Variazioni
Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni
Problemi con mancanza di esistenza. Soluzioni generalizzate e
rilassamento
Applicazioni. Gamma-convergenza.
Prerequisiti: elementi di equazioni differenziali
ordinarie, integrale di Lebesgue
Distinta delle lezioni (ogni lezione è di due ore)
1 (3 marzo). Introduzione al corso. Esempi e cenni
storici. Funzionali integrali. Esemplificazione dei problemi
in ambiti finito dimensionali.
2 (7 marzo). Calcolo delle condizioni necessarie per
un minimo locale di un funzionale integrale. Condizioni al
bordo di Dirichlet. Equazioni di Eulero-Lagrange in forma
integrale. Lemma di Du Bois-Reymond per funzioni continue e
sue varianti. Equazioni di Eulero-Lagrange in forma
differenziale. Cenni sul lemma di Du Bois-Reymond per
funzioni L^1. Esempio di dimostrazione usando la
convoluzione. Esempi di equazioni di E-L. Semplici esempi di
esistenza, non-esistenza e non-unicità per integrali di
f(u').
3 (10 marzo). Esempi di non esistenza:
concentrazione per funzionali concavi, oscillazioni per
funzionali a due pozzi, esempi di soluzioni C^1-a-tratti e
C^2 a tratti.
Esempio di Weierstass. Non esistenza del minimo di superfici
di rivoluzione per una classe di dati. Teorema di esistenza
per funzionali convessi in (u,p).
4 (14 marzo). Esempi di non esistenza. Diseguaglianza
di Poincaré. Teorema di esistenza per funzionali convessi
della sola u'. Esempi. Altre condizioni al bordo: condizioni
naturali (Neumann), condizioni periodiche, condizioni di
tipo Robin. Esempi. Il funzionale di Mumford-Shah come somma
di problemi di minimo con condizioni al bordo di Neumann.
5 (17 marzo). Lemma di Du Bois-Reymond (seconda
versione). Altre forme delle equazioni di Eulero-Lagrange:
in forma Du Bois-Reymond, in forma Erdmann. Estensioni delle
equazioni di Eulero-Lagrange: a più variabili, a più
derivate, a dimensioni maggiori di uno. Legami con la teoria
Hamiltoniana.
6 (21 marzo). Il metodo diretto del calcolo delle
variazioni. Funzioni semicontinue e loro proprietà.
Approssimabilità con funzioni continue. Il Teorema di
Weierstrass per funzioni semicontinue su uno spazioncon una
nozione di convergenza e sue varianti. Breve introduzione
agli spazi di Lebesgue. Teoremi di convergenza. Lemma di
Fatou. Norma e distanza in L^p. Continuità della norma.
esempi di funzionali continui e semicontinui in L^p tramite
il lemma di Fatou. Esponente coniugato. Diseguaglianza di
Hölder. Funzionali lineari e continui. Teorema di Riesz.
7 (24 marzo). Completezza di L^p. Densità delle
funzioni continue a supporto compatto in L^p. Separabilità
di L^p. Esempi di mancanza di compattezza per oscillazioni e
per concentrazione di successioni limitate in L^1. Esempio
di applicazione del metodo diretto per un problema di
segmentazione.
8 (31 marzo). Discussione sull'esempio di
applicazione della lezione precedente. Introduzione alla
teoria delle distribuzioni. Definizione di distribuzione.
Esempi. Delta di Dirac. Derivata nel senso delle
distribuzioni. Esempi. Derivate di funzioni C^1 a tratti.
Derivata della funzione di Heaviside. Derivata della delta.
Convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempio di
convergenza per concentrazione alla delta di Dirac. Lemma di
Riemann-Lebesgue nel senso delle distribuzioni (enunciato-la
dimostrazione viene fatta poi nell'ambito più generale degli
spazi di Lebesgue).
9 (4 aprile). Esempi di convergenza nel senso delle
distribuzioni. Convergenza debole negli spazi di Lebesgue.
Teorema di precompattezza debole per insiemi limitati in
spazi di Lebesgue. Lemma di Riemann-Lebesgue in spazi di
Lebesgue. Dimostrazione per funzioni limitate.
10 (7 aprile). Completamento della dimostrazione del
lemma di Riemann-Lebesgue. Metrizzabilità della convergenza
debole sui limitati. Continuità debole. Caratterizzazione
della norma come estremo superiore di funzionali lineari e
sua semicontinuità inferiore. Controesempio alla continuità
della norma. Necessità della convessità per la
semicontinuità di integrali autonomi.
11 (11 aprile). Sufficienza della convessità per la
semicontinuità debole di funzionali integrali in L^1.
12 (14 aprile). Introduzione agli spazi di Hilbert.
Convergenza debole negli spazi di Hilbert. Equivalenza di
convergenza forte e convergenza debole più convergenza delle
norme.
13 (18 aprile). Definizione di spazio di Sobolev
W^{1,p}. Chiusura degli spazi di Sobolev per convergenza
debole. Definizione di
spazio di Sobolev H^{1,p}. Equivalenza delle definizioni H e
W per p finito (cenno alla dimostrazione dell'inclusione di
W in H in dimensione maggiore di 1). Teorema fondamentale
del calcolo per funzioni W^{1,1}. Hölderianità delle
funzioni di Sobolev.
14 (21 aprile). Convergenza debole in spazi di
Sobolev - caratterizzazioni alternative. Teorema di
compattezza debole in spazi di Sobolev. Immersione compatta
in spazi L^p (Teorema di Rellich - dimostrazione in
dimensione 1). Diseguaglianze di Poincaré (con dato zero al
bordo o a media fissata). Lo spazio W^{1,p}_0.
15 (25 aprile). (festività del 25 aprile)
16 (28 aprile). Esempi di applicazioni del metodo
diretto in spazi di Sobolev. Cenno al caso vettoriale:
continuità debole del determinante Jacobiano.
17 (2 maggio). Esempi di problemi per funzioni a
valori vettoriali. Problemi con mancanza di semicontinuità.
Cenni alle misure di Young. Funzionale rilassato e sue
proprietà. Inviluppo semicontinuo inferiore. Recovery
sequences. Teorema di Weierstrass per il funzionale
rilassato.
18 (5 maggio). Definizione per rilassamento (esempio di
definizione di spazi di Sobolev come dominio del rilassato
dell'integrale di Dirichlet). Uso di insiemi densi in energia
per semplificare il calcolo. Esempio: rilassato di funzionali
integrali autonomi in dimensione uno. Applicazioni.
19 (9 maggio). Esempi: Rilassamento e condizioni al
bordo di tipo Dirichlet. Rilassamento di problemi con
condizioni al bordo sulla derivata prima. Rilassamento
dell'esempio di Weierstass.
20 (12 maggio). Il problema del passaggio al limite in
problemi di minimo. Esempi. Condizioni che permettono
l'applicazione del metodo diretto lungo una successione.
Definizione di Gamma-convergenza. Teorema di Weierstrass per una
successione di funzioni. Esempi sulla retta reale. Gamma-liminf
e Gamma-limsup. Loro semicontinuità. Stabilità per perturbazioni
che convergono con continuità.
21 (23 maggio). Approssimazione di problemi integrali
mediante problemi alle differenze finite. Equazioni di Eulero
discrete. Un esempio di omogeneizzazione in dimensione uno.
Media armonica e passaggio al limite in successioni oscillanti.
22 (26 maggio). Esempio di un problema di perturbazione
singolare (perturbazione di un problema non convesso). Selezione
dei minimi tramite perturbazione singolare.
23 (30 maggio). Problemi di segmentazione di immagine
alle differenze finite e loro approssimazione con problemi su
funzioni H^1 a tratti
24 (30 maggio). Schemi di Eulero discreti e definizione
di un flusso gradiente mediante approssimazioni con problemi
variazionali a tempi discreti. Esempio: esistenza di soluzioni
per l'equazione del calore.
25 (2 giugno). (festività del 2 giugno)
Orario delle lezioni (3 marzo-2 giugno 2016)
Lunedì ore 14:00-16:00 Aula 16
Giovedì ore 9:00-11:00 Aula L3
Appunti
Dispense
del prof. Gobbino