Computational Methods / Metodi Numerici per le equazioni a derivate parziali A.A. 2012/2013

ENGLISH VERSION: see below

Docente: D. Bertaccini e S. Filippone

Nota importante: per motivi organizzativi, coloro i quali sono interessati al corso sono pregati di inviare una mail al docente. Grazie.

Orario: Lunedi e Mercoledi ore 11-13 Aula 29a, Giovedi ore 9-11 Aula 1101

Ricevimento: su appuntamento o dopo la lezione.

Tipologia dell'offerta

Per Laurea Magistrale in Ingegneria e Laurea Magistrale in Matematica Pura e Applicata, 9 crediti per Ingegneria e 8 crediti per Matematica (altri frazionamenti o estensioni sono possibili su richiesta esplicita), I semestre.
Il corso e' valido per i dottorati di ricerca, in particolare per quello di Matematica ma e' stato riconosciuto per vari altri dottorati di Fisica e Ingegneria.

Obiettivi del corso:

Introduzione rigorosa ai metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali con particolare riferimento agli schemi alle differenze finite per problemi di evoluzione.
Soluzione dei modelli discreti tramite metodi proiettivi precondizionati.
Analisi dei metodi su problemi modello lineari e indicazioni sulla costruzione degli algoritmi.
Esempi di problemi nonlineari di evoluzione da elaborazione di immagini, dalle scienze biomediche e Ingegneria.

Verranno considerati con particolare attenzione aspetti quali
*qualita' dell'approssimazione e stabilita' degli algoritmi
*approssimazione delle soluzioni dei problemi discreti generati dagli schemi che verranno trattati

Prerequisiti: corso di Analisi Numerica/Calcolo Numerico; calcolo differenziale in piu' variabili.

Programma sintetico

Parte I. [1]
Introduzione all'approssimazione mediante differenze finite ed elementi finiti.
Metodi per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni: i BVP di equazioni differenziali ordinarie.
Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche

Parte II [1,2]
Problemi ai valori iniziali per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni
Zero-Stabilita' e convergenza per problemi ai valori iniziali
A- e L-stabilita' e metodi per problemi stiff

Parte III [1]
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche, iperboliche
Derivazione delle PDE dalle leggi di conservazione e trasporto, diffusione, reazione-diffusione, trasporto-diffusione, trasporto-reazione-diffusione
Analisi di Fourier delle PDE lineari
Equazione di diffusione
Equazione del trasporto e cenni ai metodi per sistemi iperbolici
Cenni ai metodi di ordine alto
Leggi di conservazione non lineari

Parte IV. [4, 5]
Soluzione sistemi lineari sparsi di grandi dimensioni generati di volta in volta dai modelli discreti e semidiscreti visti. Note sulla soluzione di alcuni sistemi lineari strutturati.

Parte V. [2]
Metodi agli elementi finiti e formulazione debole. Applicazione al caso lineare ellittico e parabolico 1D, cenni al caso 2D.
Parte VI. [3,1,5]
Applicazione a problemi modello lineari e nonlineari.

Prova finale.

La prova finale consiste in una interrogazione orale sui contenuti del corso con esercizi e una tesina (a scelta dello studente e previa approvazione del docente)

Testi

[1] R. J. LeVeque -- Finite Difference Methods for ODEs and PDEs, Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, 2007
[2] Alfio Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi differenziali, Springer editore, 2008
[3] Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, 1996, 2000.
[4] Dispense, articoli e appunti del corso.

ENGLISH VERSION

Important Note: those who are interested in the course, please send an email to the teacher. Thank you.

Hours: Monday and Wednesday, 11-13 Classroom 29th, Thursday 9-11 hours Classroom 1101

Office hours: by appointment or after class.

The Course
The course is offered for the "Laurea Magistrale" in Engineering and "Laurea Magistrale" in Pure and Applied Mathematics, 9 credits for Engineering and 8 credits in Mathematics (splits or other extensions are possible on explicit request)
The course is 'valid for doctoral research, in particular for Mathematics but it' s been recognized for several other PhD in Physics and Engineering.
Objectives of the course:
Rigorous introduction to numerical methods for partial differential equations with particular reference to finite difference schemes for problems of evolution.
Solution of discrete models by preconditioned projection methods.
Analysis of the methods of linear model problems and directions on construction of algorithms.
Examples of nonlinear evolution problems from image processing, biomedical sciences and engineering.

Particular attention will be devoted to aspects such as
* approximation and stability of the algorithms
* Approximation of the solutions of the discrete problems

Prerequisites: a basic course in Numerical Analysis and Numerical Analysis, differential calculus in more 'variables, Mathematical Phisics

Synthetic program
Part I. [1]
Introduction to finite differences and finite elements.
Methods for partial differential equations in zero dimensions: the BVP of ordinary differential equations.
Finite difference methods for elliptic equations

Part II [1,2]
Initial value problems for partial differential equations in zero spatial dimensions, the IVPs of ODEs
Zero-Stability and convergence for initial value problems
A-and L- stability and methods for stiff problems

Part III [1]
Classification of linear partial differential equations of second order elliptic, parabolic, hyperbolic
Derivation of the PDE conservation laws and transport, diffusion, reaction-diffusion, transport-diffusion, transport-reaction-diffusion
Fourier analysis of linear PDEs
Diffusion equation
Transport equation and outline methods for hyperbolic systems
Methods of high order
Nonlinear conservation laws

Part IV. [4, 5]
Solution linear systems large and sparse generated from time to time by discrete and semidiscrete models. Notes on the efficient solution of some linear structured systems.

Part V. [2]
Finite element methods and weak formulation. Application to linear elliptic and parabolic 1D, nods to the 2D case.
Part VI. [3,1,5]
Application to model linear and nonlinear problems.

Final examination.
The final examination consists of an oral on the course content with exercises and a project on some topic related to the course (chosen by the student and with the approval of the teacher)

Daniele Bertaccini