Metodi Numerici per le equazioni a derivate parziali A.A. 2011/2012

Docente: D. Bertaccini


Nota importante: per motivi organizzativi, coloro i quali sono interessati al corso sono pregati di inviare una mail al docente. Grazie.

Tipologia dell'offerta

Per Laurea Magistrale in Matematica Pura e Applicata, 8 crediti, I semestre (da A.A.2011/2012).
Il corso e' valido per il dottorato di ricerca.

Obiettivi del corso:

Introduzione rigorosa ai metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali con particolare riferimento agli schemi alle differenze finite per problemi di evoluzione.
Soluzione dei modelli discreti tramite metodi proiettivi precondizionati.
Analisi dei metodi su problemi modello lineari e indicazioni sulla costruzione degli algoritmi.
Esempi di problemi nonlineari di evoluzione da elaborazione di immagini, dalle scienze biomediche e dalla finanza matematica.

Verranno considerati con particolare attenzione aspetti quali
*qualita' dell'approssimazione e stabilita' degli algoritmi
*approssimazione delle soluzioni dei problemi discreti generati dagli schemi che verranno trattati

Sono previste esercitazioni in laboratorio.

Prerequisiti: corso di Analisi Numerica/Calcolo Numerico; calcolo diff in piu' variabili.

Programma sintetico

Parte I. [1]
Introduzione all'approssimazione mediante differenze finite.
Metodi per equazioni alle derivate  parziali in zero dimensioni: i BVP di equazioni differenziali ordinarie.
Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche

Parte II [1,2]
Problemi ai valori iniziali per equazioni alle derivate  parziali in zero dimensioni
Zero-Stabilita'  e convergenza per problemi ai valori iniziali
A- e L-stabilita' e metodi per problemi stiff

Parte III [1]
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche, iperboliche
Derivazione delle PDE dalle leggi di conservazione e trasporto, diffusione, reazione-diffusione, trasporto-diffusione, trasporto-reazione-diffusione
Analisi di Fourier delle PDE lineari
Equazione di diffusione
Equazione del trasporto e cenni ai metodi per sistemi iperbolici
Cenni ai metodi di ordine alto
Leggi di conservazione non lineari

Parte IV. [4, 5]
Cenni ai sistemi lineari sparsi di grandi dimensioni generati di volta in volta dai modelli discreti e semidiscreti visti. Note sulla soluzione di alcuni sistemi lineari strutturati.

Parte V. [3,1,5]
Applicazione a problemi nonlineari: modelli per la chemotassi, in particolare al modello base di Keller-Segel; modelli per pattern formation (diffusione-reazione) e altri dalle scienze biomediche.

Prova finale.

La prova finale consiste in una interrogazione orale sui contenuti del corso con esercizi, oppure in una tesina (a scelta dello studente e previa approvazione del docente)

Testi

[1] R. J.  LeVeque -- Finite Difference Methods for ODEs and PDEs, Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, 2007
[2] J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: the Initial Value Problem, Wiley, 1991
[3] W. Hundsdorfer, J.G. Verwer, Numerical Solution of Time-dependent Advection-Diffusion-Reaction Equations, Springer, 2003.
[4] Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, 1996, 2000.
[5] Dispense, articoli e appunti del corso, in parte scaricabili dal sito.


Daniele Bertaccini