Metodi Numerici per le equazioni a derivate parziali

Docente: D. Bertaccini


Tipologia dell'offerta

Per Laurea specialistica in Matematica e Matematica Applicata, Matematica: 8 crediti, I semestre (da A.A.2009/2010).
Per Laurea specialistica Elaborazione Matematica Segnali e Immagini (EMSI): 8 crediti, I semestre, mutuabile da LS/LT in Matematica.


Obiettivi del corso:

Introduzione rigorosa ai metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali con particolare riferimento agli schemi alle differenze finite per problemi di evoluzione.
Soluzione dei modelli discreti tramite metodi proiettivi precondizionati.
Analisi dei metodi su problemi modello lineari e indicazioni sulla costruzione degli algoritmi.
Esempi di problemi nonlineari di evoluzione da elaborazione di immagini, dalle scienze biomediche e dalla finanza matematica.

Verranno considerati con particolare attenzione aspetti quali
*qualita' dell'approssimazione e stabilita' degli algoritmi
*approssimazione delle soluzioni dei problemi discreti generati dagli schemi che verranno trattati

Sono previste esercitazioni in laboratorio per coloro che necessitano di 7 crediti.

Prerequisiti: corso di Analisi Numerica/Calcolo Numerico; calcolo diff in piu' variabili.

Il corso e' coordinato con AN2/Matematica Computazionale del Prof. Zellini, che cura l'aspetto di complessita' computazionale teorica

Programma sintetico

Parte I. [1]
Introduzione all'approssimazione mediante differenze finite.
Metodi per equazioni alle derivate  parziali in zero dimensioni: i BVP di equazioni differenziali ordinarie.
Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche

Parte II [1,2]
Problemi ai valori iniziali per equazioni alle derivate  parziali in zero dimensioni
Zero-Stabilita'  e convergenza per problemi ai valori iniziali
A- e L-stabilita' e metodi per problemi stiff

Parte III [1]
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche, iperboliche
Derivazione delle PDE dalle leggi di conservazione e trasporto, diffusione, reazione-diffusione, trasporto-diffusione, trasporto-reazione-diffusione
Analisi di Fourier delle PDE lineari
Equazione di diffusione
Equazione del trasporto e cenni ai metodi per sistemi iperbolici
Cenni ai metodi di ordine alto
Cenni ai metodi per leggi di conservazione non lineari

Parte IV. [4, 5]
I sistemi lineari sparsi di grandi dimensioni. Alcuni sistemi lineari strutturati.
Generalita' sui metodi di tipo proiettivo usati come metodi iterativi: metodo del gradiente, metodo del gradiente coniugato, GMRES, Bicgstab.
Analisi di convergenza dei metodi iterativi gradiente coniugato e GMRES.
Il precondizionamento. Fattorizzazioni incomplete. Precondizionamento per sistemi lineari con struttura a blocchi e Toeplitz-like.
Cenni a complessita' computazionale e spaziale dei metodi iterativi e dei precondizionatori.

Parte V. [3,1,5]
Applicazione a problemi nonlineari, in particolare per l'elaborazione di immagini
Inoltre, saranno descritte applicazioni anche a scienze biomediche, reti wireless, dinamica strutturale e chimica dell'atmosfera.

Testi

[1] R. J.  LeVeque -- Finite Difference Methods for ODEs and PDEs, Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, 2007
[2] J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: the Initial Value Problem, Wiley, 1991
[3] G. Aubert, P. Kornprobst, Mathematical Problems in Image Processing. Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer,  2006

[4] Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, 1996, 2000.
[5] Dispense, articoli e appunti del corso, in parte scaricabili dal sito.


Daniele Bertaccini