MODELLO

nº	Cognome	Nome	Dipartimento	Qualifica	Settore Disc.	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	PRESUTTI	Errico	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
2.	BENFATTO	Giuseppe	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
3.	TRIOLO	Livio	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
4.	OLIVIERI	Enzo	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
5.	NICOLO'	Francesco	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
6.	LIVERANI	Carlangelo	Dip. MATEMATICA	Prof. Ordinario	MAT/07	11	11
7.	CAPRINO	Silvia	Dip. MATEMATICA	Prof. Associato	MAT/07	11	11
8.	CELLETTI	Alessandra	Dip. MATEMATICA	Prof. Associato	MAT/07	11	11
9.	MASTROPIETRO	Vieri	Dip. MATEMATICA	Prof. Associato	MAT/07	11	11
10.	SCOPPOLA	Benedetto	Dip. MATEMATICA	Prof. Associato	MAT/07	11	11
11.	LOCATELLI	Ugo		Ricercatore Universitario	MAT/07	11	11
	TOTALE					121	121

nº	Cognome	Nome	Dipartimento	Anno di inizio borsa	Durata (in anni)	Tipologia	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	Caciotta	Giulio	Dip. MATEMATICA	2002	4	Dottorato	11	11
2.	Giampieri	Manuela	Dip. MATEMATICA	2001	4	Dottorato	11	11
	TOTALE						22	22

nº	Qualifica	Costo previsto	Mesi Uomo	Note
1° anno	2° anno
1.	Assegnista	15.000	11
2.	Borsista	13.000	5	5
	TOTALE	28.000	16	5

nº	Cognome	Nome	Nome dell'ente	Qualifica	Mesi Uomo
1° anno	2° anno
1.	Gaudillière	Alexandre	Università di Paris Sud, Orsay	Dottorando	11	11
2.	Giuliani	Alessandro	Università di Roma "La Sapienza"	Dottorando	11	11
3.	Procesi	Michela	SISSA, Trieste	Borsista Post-Doc	11	11
4.	Rüdiger	Barbara	Università di Bonn, Germania	Ricercatore	11	11
5.	Rosatelli	Emanuele	Università di Roma "Tor Vergata"	Dottore in Matematica	11	11
6.	Kuna	Tobias	Rutgers University	Fellowship	1	6
7.	Raparelli	Tiziana	Università di Bologna	Dottorando	11	11
	TOTALE				67	72

Caratteristica precipua di sistemi con infiniti gradi di liberta' e' l'esistenza di fenomeni che avvengono su scale spazio temporali anche molto diverse. La differenziazione tra le varie scale corrisponde a diversi modi di studiare il sistema, per esempio osservando variabili ``locali'' che dipendono solo da ``pochi'' gradi di liberta' oppure variabili collettive che descrivono aspetti piu' globali. Le problematiche e le corrispondenti tecniche matematiche dipendono considerevolmente dalla ``finestra di osservazione''. Si passa cosi' dallo studio delle proprieta' ergodiche di un numero finito di gradi di liberta', all'analisi statistica di variabili collettive, allo studio di campi continui con tecniche di equazioni alle derivate parziali e variazionali. Il collegamento tra i vari livelli dal microscopico al macroscopico e' poi un momento fondamentale nella comprensione unitaria dei vari aspetti presenti nello stesso sistema e apparentemente cosi' diversi. Nel seguito si descrivono le ricerche svolte dalla nostra unita' in questo ambito, collocandole in un quadro locale, nazionale ed internazionale.

1. Proprieta' ergodiche e aspetti caotici dell'evoluzione.

Gli aspetti caotici dell'evoluzione sono particolarmente rilevanti nello studio di fluidi turbolenti. Un'analisi rigorosa delle origini microscopiche della turbolenza e' ancora in una fase iniziale, un importante contributo e' dovuto a Bunimovich e Sinai, [BS], che hanno proposto modelli di mappe debolmente accoppiate su di un reticolo. Per questi sistemi dinamici (deterministici, infinito dimensionali) si hanno risultati rigorosi (e.g. [BS],[BK]). Analisi di natura numerica e simulazioni al computer indicano l'esistenza di transizioni di fasi, la cui dimostrazione rigorosa appare pero' ancora lontana. Interessanti problemi appaiono anche nel caso di trasformazioni finito dimensionali, con applicazioni alla meccanica statistica del non equilibrio [GR], [L]; allo studio del limite semiclassico in sistemi classicamente caotici (il cosidetto "quantum chaos"); allo studio della stabilita' effettiva della dinamica in un intorno dei tori invarianti con applicazioni alla Meccanica Celeste.
Su queste problematiche svolgono ricerche A. Celletti, C. Liverani, U. Locatelli, unita' di Roma 2, G. Keller (Erlangen, Germany), S. Gouzel (ENS, Paris), V. Baladi (Paris 7).

2. Transizioni di fase e coesistenza di fasi.

Tecniche di ``coarse graining'' in sistemi con interazioni di ``lunga portata'', si veda, per esempio, [LMP],[BMPZ], permettono di studiare con metodi di bassa temperatura le transizione di fase liquido-vapore in sistemi di particelle nel continuo, sia classici che quantistici. Un funzionale non locale di energia libera descrive il limite formale del sistema quando la portata dell'interazione diverge e il caso di portata finita si studia con metodi alla Pirogov-Sinai. L'analisi richiede lo studio di problemi variazionali e di equazioni alle derivate parziali per la teoria limite e tecniche probabilistiiche per le deviazioni dal limite. Con metodi analoghi si studia la coesistenza di fasi (problema di Wulff). Partecipano a questa ricerca E.Presutti e E. Rosatelli, unita' di Roma 2, A. De Masi, unita' di L'Aquila, M. Cassandro, unita' di Roma 1, G. Bellettini, Roma2, P. Butta' e I. Merola, Roma1, A. Bovier, Berlino, e M. Zahradnik, Praga.
Lo stesso contesto sembra ben adattarsi allo studio del fenomeno della condensazione di Bose e ad una derivazione rigorosa della teoria di Bogoliubov nell'ambito della meccanica statistica di sistemi di ``loops'', che tramite la formula di Feynmann-Kac, descrivono lo stato quantistico di sistemi bosonici. Su questo svolgono ricerche G. Benfatto ed E. Presutti, unita' di Roma2, M. Cassandro, unita' di Roma1, I. Merola, Roma1, e J. Kahn, Parigi.

3. Comportamenti critici.

In meccanica statistica e' di grande interesse lo studio della struttura dei sistemi in un intorno del punto critico. In alcuni modelli sul reticolo, il problema e' stata affrontato con tecniche del gruppo di rinormalizzazione, [BCO]. In questa direzione svolgono ricerche E. Cirillo, e E. Olivieri, unita' di Roma2, L. Bertini e F. Nardi, Roma1. Le tecniche sviluppate sembrano potersi applicare anche all'analisi di alcuni sistemi disordinati.
Molte nostre conoscenze sui comportamenti critici sono basate su soluzioni esatte di alcuni modelli paradigmatici, come il modello di Ising 2D. Purtroppo, i modelli esattamente risolubili sono pochi, e non e' noto quante delle informazioni che si traggono da essi siano generiche e quante invece specifiche del modello. Recentemente T. Spencer [S] e V. Mastropietro, [M1],[M2], unita' di Roma2, hanno introdotto un nuovo approccio per studiare le proprieta' critiche in modelli non integrabili. Il metodo si basa sullo esprimere le medie termodinamiche come integrali su un'algebra di Grassman, che si possono poi studiare con tecniche di sistemi fermionici interagenti, permettendo in molti casi di calcolare rigorosamente gli indici critici. Si intende applicare queste tecniche allo studio di modelli di spin non esattamente risolubili.
Attualmente uno dei problemi piu' importanti in fisica dello stato solido e' calcolare le funzioni di correlazione per temperature vicine a quella critica in sistemi di fermioni bidimensionali interagenti. In particolare si e' interessati alla forma della superficie di Fermi interagente e a come dipendono dalla temperatura le correzioni al propagatore, informazioni ritenute rilevanti per lo studio dei superconduttori ad alta temperatura. Su questi temi svolgono ricerche G. Benfatto, A. Giuliani e V. Mastropietro, unita' di Roma2, basandosi sui metodi introdotti in [BGM].

4. Fluttuazioni e grandi deviazioni

In presenza di instabilita', le fluttuazioni stocastiche diventano rilevanti, come nel caso di sistemi metastabili. Mentre il fenomeno e' ben compreso in sistemi non conservativi, rimane in gran misura aperto per dinamiche che conservano il parametro d'ordine. Su questo tema e sulle linee tracciate in [HOS], svolgono ricerche E. Olivieri, unita' di Roma2, F. Nardi, Roma1, F. Den Hollander, Eurandom, e E. Scoppola (Roma3).
I fenomeni metastabili sono anche studiati in un contesto puramente analitico, in termini di funzionali che descrivono ``il costo di deviazioni dalle traiettorie deterministiche''. Sulle linee di un lavoro di W. Faris e G. Jona Lasinio, si vuole studiare un funzionale ottenuto come limite formale da un sistema con potenziale di Kac. Collaborano su questo tema, E. Presutti, unita' di Roma2, A. De Masi, unita' di L'Aquila, G. Bellettini, Roma2, L. Bertini e P. Butta', Roma1.
L'analisi delle fluttuazioni statistiche di una interfaccia tra fasi coesistenti di un sistema e' fondamentale nello studio rigoroso del moto di interfacce, in modelli di meccanica statistica. I risultati in questo campo sono ancora scarsi, mentre, in un contesto unidimensionale e nell'ambito di equazioni stocastiche alle derivate parziali, l'analisi e' molto piu' sviluppata, e.g. [BBBP]. La trasposizione a sistemi di spin con dinamiche stocastiche e potenziali di Kac e' oggetto di ricerche svolte da E. Rosatelli ed E. Presutti, unita' di Roma2.

5. Limiti idrodinamici e derivazione di equazioni macroscopiche.

Con questo titolo si raggruppano ricerche tese a collegare i comportamenti di un sistema in diverse scale spazio temporali. Il contesto generale e' lo studio di dinamiche con infinite particelle, oggetto di molte ricerche nell'ambito romano, e la derivazione di equazioni macroscopiche per sistemi stocastici, con i metodi sviluppati in [DP]. In particolare si vogliono studiare applicazioni alla fisica dei plasmi, S. Caprino, unita' di Roma 2, P. Butta', G. Cavallaro e C. Marchioro, Roma 1, e la derivazione di equazioni di reazione e diffusione piu' generali di quelli considerati in [DP], E. Presutti, L. Triolo, unita' di Roma2, A. De Masi, unita' di L'Aquila.
Limiti di scala intervengono in modo particolarmente significativo, in applicazioni di natura medico-biologica, dove e' infatti rilevante sia la descrizione microscopica (livello cellulare), che macroscopica (livello tessutale). Tale approccio e' stato utilizzato recentemente per modellare la crescita tumorale, partendo da un sistema markoviano a molte componenti (ad es. cellule sane e tumorali). Assumendo "semplici" interazioni locali, se ne considera il limite di scala, quando il numero di componenti diventa molto grande per giungere ad una descrizione macroscopica in termini di sistemi di tipo reazione-diffusione, [GST] e [ST]. La creazione e successiva crescita di tumori secondari di dimensione microscopica, si presentano come un fenomeno di natura metastabile, di qui la necessita' di studiare il sistema in situazioni dove le diverse scale non sono chiaramente separate. Queste ricerche sono svolte da L. Triolo, unita' di Roma2, S. Luckhaus, Leipzig, E. Saada e T. Gobron, Parigi.

6. Teorie di campo e Relativita` Generale.

Con le tecniche introdotte in [GM] e metodi del gruppo di rinormalizzazione, V. Mastropietro G. Gentile, unita' di Roma2 e Roma3, intendono studiare le soluzioni periodiche e quasiperiodiche di PDE non lineari, quali l'equazione delle onde non lineare.
Notevoli progressi sono stati conseguiti recentemente in Relativita` Generale in ambito fisico matematico, con la costruzione di soluzioni globali di PDE iperboliche che permettono di affrontare costruttivamente problemi importanti quali la formazione di singolarita` dello spazio-tempo. In questa linea e con l'esperienza maturata nei lavori in [NN], si inquadra l'attivita' di F. Nicolo', unita' di Roma2, G. Caciotta e T. Raparelli, suoi giovani allievi, con principalmente due linee di ricerca: lo studio del problema caratteristico per le equazioni di Einstein e lo studio delle proprieta' asintotiche degli spazi-tempo di Einstein.

The existence of phenomena occurring on distinct space-time scales is characteristic of systems with infinitely many degrees of freedom. The different scales correspond to the various ways we may look at the system, i.e. by observing either local variables which depend only on a few degrees of freedom, or else collective variables which describe the global behavior of the system.
Questions and, correspondingly, mathematical techniques depend heavily on the ``observation window''. We thus go from the analysis of the ergodic properties of a finite number of degrees of freedom to the statistics of collective variables and to the analysis of continuous fields with PDE and variational techniques.
The link between the different levels from the microscopic to the macroscopic one is fundamental for a comprehensive understanding of the often quite different behaviors present in a same system. We will next describe the research of our team of Roma Tor Vergata (Roma2 for short) which is developed in the above context, framing it in a local, national and international context.

1. Ergodic properties and chaotic behavior of time evolution.

Chaotic behavior is particularly relevant in the analysis of turbulent fluids. A rigorous, mathematical analysis of its microscopic origin is still in a preliminary stage, but an important contribution is due to Bunimovich and Sinai, [BS], who have proposed a model for space and time chaos, which consists of a lattice of weakly coupled maps. For such deterministic, infinite dimensional systems, there are rigorous results, [BS],[BK], moreover, numerical analysis and computer simulations indicate the occurrence of phase transitions, but a rigorous proof seems still far. Interesting problems appear also for finite dimensional maps, with applications to: non equilibrium statistical mechanics [GR], [L]; the analysis of the semiclassic limit in chaotic systems (the so called quantum chaos); the study of the effective stability of dynamics in a neighborhood of invariant tori with applications to Celestial Mechanics. On the above themes are working A. Celletti, C. Liverani, U. Locatelli, Roma2 team, G. Keller (Erlangen, Germany), S. Gouzel (ENS, Paris), V. Baladi (Paris 7).

2. Phase transitions and phase coexistence.

By the use of coarse graining techniques in systems with Kac potentials, see for instance [LMP], [BMPZ], one can study the liquid vapor phase transition in continuous particle models with low temperature methods; the approach applies both to classical and quantum models. A non local free energy functional describes the formal limit when the range diverges, the finite range case is studied as a perturbation of the limit one, in the frame of the Pirogov Sinai theory. The analysis of the limit theory involves variational problems and PDE techniques, while probabilistic methods are needed for the study of the deviations from the limit theory. In this research are presently working E.Presutti and E. Rosatelli, Roma2 team, A. De Masi, L'Aquila team, M. Cassandro, Roma1 team, G. Bellettini, Roma2, P. Butta' and I. Merola, Roma1, A. Bovier (Berlin) and M. Zahradnik, Praga.
A similar approach is used to study Bose condensation with the aim of a rigorous derivation of the Bogoliubov theory. The starting point is a statistical mechanics model of ``loops'' which describes (via Feynmann-Kac) quantum boson particles. This research involves G. Benfatto, E.Presutti, Roma2 team, M. Cassandro, Roma1 team, I. Merola, Roma1, J. Kahn (Paris).

3. Critical behaviors.

A very important role in statistical mechanics is played by the analysis of systems close to the critical point. In [BCO] the problem (for a class of lattice systems) is dealt with using the renormalization group approach. In this direction are working E. Olivieri, Roma2 team, L. Bertini, F. Nardi, E. Cirillo, Roma1 team. Analogous techniques may be applied in the analysis of some disordered system.
An important part of our understanding of critical phenomena comes from ``exact solutions'' of special models, like for instance the 2d Ising model. Unfortunately the exactly solvable models are not too many and we do not know how much of their solutions is generic or rather very specific of the model. Recently T. Spencer, [S], and V. Mastropietro, Roma2 team, have introduced a new approach to the study of critical properties in non exactly solvable models, [M1],[M2]. The method starts with an expression of the thermodynamical averages in terms of integrals on a Grassman algebra, which can then be studied with the help of techniques developed in the analysis of interacting fermions systems. This allows in many cases to determine rigorously the critical indices in non exactly solvable models. Presently one of of the most important problems in solid state physics is the computation of the correlation functions close to the critical temperature in two dimensional interacting Fermi systems. In particular we want to determine the Fermi surface and the temperature dependence of the propagator, such information seem to be relevant for high temperature super conductors. This is object of studies by G. Benfatto, A. Giuliani, V. Mastropietro, Roma2 team, based on techniques introduced in [BGM].

4. Fluctuations and large deviations.

Stochastic fluctuations are enhanced by the presence of instabilities and become relevant as, for instance, in the case of metastable states. While the phenomenon is well understood in non conserved systems, it is largely open when dynamics conserves the order parameter. On such problems and on the lines indicated in [HOS], are working E. Olivieri, Roma2 team, F. Nardi, Roma1, F. Den Hollander, Eurandom, E. Scoppola, Roma3.
Metastability is also studied in a purely analytic setting, by introducing functionals which give a penalty for deviations from the deterministic paths. Following W. Faris and G. Jona Lasinio, the project is to study a functional which is obtained as a formal limit from models with Kac potentials. E. Presutti, Roma2 team, A. De Masi, L'Aquila team, G. Bellettini, Roma2, L. Bertini, P. Butta', Roma1, are working in this context.
The understanding of the fluctuation process of an interface is a fundamental step for a rigorous derivation of interface dynamics. There are not many results in this direction, while in a one dimensional setting and for stochastic PDE much more is known, see for instance [BBBP]. A translation to stochastic spin dynamics with Kac potentials is one of the aims of a research by E. Rosatelli and E. Presutti, Roma2 team.

5. Hydrodynamic limits and derivation of macroscopic equations.

Here we collect researches aimed at linking the different space time scales of a same system. The general context is the study of dynamics with infinitely many particles, much studied by the ``roman school'', and the derivation of macroscopic equations from stochastic lattice systems, with the techniques developed in [DP]. In particular we are interested in applications to plasma physics, S. Caprino, Roma 2 team, P. Butta', G. Cavallaro, C. Marchioro, Roma1, and the derivation of reaction diffusion equations more general than those considered in [DP], E. Presutti, L. Triolo, Roma2 team, A. De Masi, L'Aquila team.
Scaling limits are very important in medical-biological applications, where a microscopic description (at a cellular level) coexists with a macroscopic description (at a tissue level). The approach has been recently used to model tumor growths, starting from a multi component (e.g. sane and tumor cells) Markov system. By assuming simple local interactions, the scaling limits when the number of cells diverges, leads to a macroscopic reaction diffusion equation, [GST] e [ST]. The birth and the successive growth of secondary tumors of microscopic size, has a metastable like behavior and the system needs to be studied in regimes where there is not a sharp distinction of scales. On this are working L. Triolo, Roma2 team, S. Luckhaus, Leipzig, E. Saada and T. Gobron, Paris.

6. Field theory and general relativity.

With the help of the techniques introduced in [GM] and using renormalization group methods, V. Mastropietro and G. Gentile, Roma2 and Roma3 teams, want to study the periodic and quasiperiodic solutions of non linear PDEs, as the non linear wave equation.
Remarkable progresses have been recently obtained in general relativity in a mathematical physics context, with the construction of global solutions of hyperbolic PDEs, which allow to attack constructively important problems as the formation of singularities in space-time. By the help of several previous works in this area, see [NN], there is a research activity by F. Nicolo', Roma2 team, with two young students G. Caciotta and T. Raparelli, on the following two reserach lines: the study of the characteristic problem for the Einstein equations and the study of the asymptotic properties of the Einstein space-time.

[B] V. Baladi: Positive transfer operators and decay of correlations.
Advanced Series in Nonlinear Dynamics, 16.
World Scientific Publishing Co. (2000).

[BBBP] L. Bertini, S. Brassesco, P. Butta', E. Presutti:
Front fluctuations in one dimensional stochastic phase
field equations. AHP {bf 3} 29-86, (2002).

[BCCM] P. Butta', S. Caprino, G. Cavallaro, C. Marchioro:
On the dynamics of infinitely many charged particles with
magnetic confinement. Inviato a Bollettino U.M.I.

[BCO] L. Bertini, E.N.M. Cirillo, E. Olivieri:
Renormalization-group transformations under strong mixing
conditions: gibbsianness and convergence of renormalized
interactions. J.Stat.Phys. 97, 831-915 (1999).

[BGM] G Benfatto, A Giuliani, V Mastropietro: Low
temperature analysis of two-dimensional Fermi systems with
symmetric Fermi surface. Ann. H. Poincare' 4 (2003).

[BK] J. Bricmont, A. Kupiainen: High temperature expansions
and dynamical systems. Comm.Math.Phys. 178, 3, 703-732 (1996).

[BKL] M.Blank, G.Keller, C.Liverani: Ruelle-Perron-Frobenius spectrum for Anosov maps.
Nonlinearity, 15, n.6, pp. 1905-1973 (2002).

[BKS] D. Brydges, P. K. Mitter, B.Scoppola: Critical (phi^4)_{3,epsilon}.
Comm.Math.Phys. 240, 281-327 (2003).

[BM] G. Benfatto, V. Mastropietro: On the density density
critical indices in interacting Fermi systems. Comm.Math.Phys.
231,97-134 (2002).

[BMPZ] A. Bovier, I. Merola, E. Presutti, M. Zahradnik: On
the Gibbs phase rule in the Pirogov-Sinai regime. J. Stat.
Phys. 114, 1235--1267 (2004).

[BP] T. Bodineau, E. Presutti: Surface tension and Wulff
shape for a lattice model without spin flip symmetry.
Ann. H. Poincare', 4, 847-896,(2003).

[BS] L. A. Bunimovich, Ya. G. Sinai: Space-time chaos in
coupled map lattices. Nonlinearity, 1, 491-516 (1988).

[C] S. Caprino: A Vlasov-Poisson plasma model with
non-$L_1$ data. In press on Math. Meth. in Appl. Sci.

[CC] A. Celletti, L. Chierchia: On the stability of
realistic three-body problems. Commun. Math. Phys. 186),413 (1997).

[CCMP] E. Caglioti, S. Caprino, C. Marchioro, M. Pulvirenti: The Vlasov equation with infinite mass.
Arch. Rat. Mech. Anal. 159, 85-108 (2001).

[CMP] S. Caprino, C. Marchioro, M. Pulvirenti: On the two-dimensional Vlasov-Helmholtz equation with infinite mass.
Commun. Part. Diff. Eq. 27, 791-808 (2002).

[DP] A. De Masi, E. Presutti: Mathematical methods for hydrodynamical limits.
Lecture Notes in Mathematics, 1501, Springer-Verlag, (1991).

[FS] J.Frohlich, T.Spencer: The phase transition in the
one-dimensional Ising model with 1/r^2 interaction
energy. Commun. Math. Phys. 84, 87-101 (1982).

[GJL] F. Gabern, A. Jorba, U. Locatelli: KAM Theory of the
Trojan Asteroids. Part I, submitted to Nonlinearity

[GM] G.Gentile, V. Mastropietro. Construction of periodic
solutions in nonlinear wave equation by Lindstedt series
method. In press on: J. Math. Pures Appl.

[GR] G. Gallavotti, D. Ruelle: SRB states and
nonequilibrium statistical mechanics close to equilibrium,
Comm. Math. Phys. 190, 279-285 (1997).

[GST] T.Gobron, E.Saada, L.Triolo: The competition-diffusion limit of a stochastic growth model.
Math.Comp.Model. 37, 1153-1161, (2003).

[HOS] F. Den Hollander , E.Olivieri and E. Scoppola:
Metastability and nucleation for conservative dynamics
Journ. Math. Phys. 41, 1424-1498 (2000).

[IKS] K. Iwata, K. Kawasaki and N.Shigesada: A Dynamical
Model for the growth and size distribution of multiple
metastatic tumors, J.Theor. Biol. 203, 177-186 (2000).

[J] K. Johansson: Condensation of a one dimensional lattice
gas. Commun. Math. Phys. 141, 41-61 (1991).

[L] C. Liverani: On Contact Anosov flows. In press on Annals of Mathematics.

[LG] U. Locatelli, A. Giorgilli: Invariant tori in the
secular motions of the three-body planetary systems, Cel.
Mech. and Dyn. Astr. 78, 47 (2000).

[LMP] J.L. Lebowitz, A. Mazel, E. Presutti: Liquid-vapor
phase transitions for systems with finite range
interactions. J.Stat.Phys. 94, 955-1025 (1999).

[M1] V. Mastropietro: Non universality in Ising models with
quartic interactions. J.Stat.Phys. 111, 201-259 (2003).

[M2] V. Mastropietro: Ising models with four spin
interaction at criticality. CMP, 244, 595--642 (2004)

[MG] A. Morbidelli, A. Giorgilli: Superexponential
stability of KAM tori. J.Stat.Phys. 78, 1607-1617 (1995).

[MH] J.Miller, D.A.Huse: Macroscopic equilibrium from
microscopic irreversibility in a chaotic couple-map
lattice. Phys.Rev.E 48, 2528 (1993).

[NN]:

S. Klainerman, F. Nicolo': On local and global aspects
of the Cauchy problem in General Relativity, Classical and
quantum Gravity 16, 73-157 (1999).

F. Nicolo': Lecture notes on the General Relativity
radiation problem. Lecture notes series, 51, (2000),
Research Institute of Mathematics- Global Analysis Research
Center; Seoul National University.

W. Inglese, F. Nicolo': Asymptotic properties of the
electromagnetic field in the external Schwarzschild
spacetime" "Ann.H.Poincare' 1, 895-944 (2000).

S. Klainerman, F. Nicolo': The Initial value problem in
General Relativity. Birkhauser. PMP 25 (2003).

S. Klainerman, F. Nicolo': Peeling properties of
asymptotically flat solutions to the Einstein vacuum
equations. Classical Quantum Gravity (20), 3215-3257 (2003).

[P] K. Pfaffelmoser: Global classical solutions of the
Vlasov-Poisson system in three dimensions for general
initial data. Jour. Diff. Eq. 95, 281-303 (1992).

[RG]:

A.D.Rendall: Reduction of the characteristic initial
value problem to the Cauchy problem and its applications to
the Einstein equations. Proc.Roy.Soc.Lond. A427,221-239 (1990).

H.Muller Zum Hagen: Characteristic initial value problem
for hyperbolic systems of second order differential
equations. Ann.Inst.H.Poincare' 53, 2, 159-216 (1990).

M.Dossa: Espaces de Sobolev non isotropes a' poids et
problemes de Cauchy quasi-lineaires sur un conoide
caracteristique. Ann.Inst.H.Poincare' 66, 1, 37-107 (1997).

R.Penrose: Conformal treatment of infinity. Relativity,
Groups, and Topology. B. deWitt and C. deWitt, (eds), Gordon
and Breach, (1963).

R.Penrose: Zero rest mass fields including gravitation:
asymptotic behavior. Proc.Roy.Soc.Lond. A284, 159-203 (1962).

H.Friedrich: Existence and structure of past
asymptotically simple solutions of Einstein's field
equations with positive cosmological constant.
J.Geom.Phys. 3, 101-117 (1986).

H.Friedrich: Cauchy problems for the conformal vacuum field equations in General Relativity.
Comm.Math.Phys. 91, 445-472 (1983).

[S] H.Pinson, T.Spencer. Universality in 2D Ising model. In
prss on Comm.Math.Phys.

[SCB] Special Issue on Dormancy in Seminars in Cancer
Biology 4, 11, (2001).

[St] J.Struckmeier: A mathematical Investigation of a
Dynamical Model for the growth and size distribution of
multiple metastatic tumors, Preprint Dept Math. Hamburg
Univ. (2003).

[ST] S.Luckhaus, L.Triolo: The continuum reaction-diffusion
limit of a stochastic cellular growth model, Preprint 10/03, Dip. Mat. Univ. Tor Vergata.

1. Proprieta' ergodiche e aspetti caotici dell'evoluzione.

Mappe accoppiate: si intende sviluppare (in una ricerca condotta da C. Liverani, G. Keller) un approccio alternativo alla cluster expansion per lo studio delle mappe accoppiate. Lo scopo ultimo e' di riuscire ad ottenere risultati per mappe meno regolari di quelle fin qui studiate e con accoppiamento diffusivo (situazione per cui transizioni di fase sono state evidenziate numericamente [MH]).
Trasformazioni finito dimensionali (studiate da C. Liverani, S.Gouzel and V. Baladi): lo studio delle misure SRB per sistemi finito dimensionali e' considerato rilevante per la meccanica statistica del non equilibrio [GR]. In particolare, la dipendenza delle misure SRB da un parametro ha rilevanti implicazioni sul calcolo dei coefficienti di diffusione e sulla produzione di entropia. Si intende sviluppare ulteriormente il punto di vista analitico funzionale [BKL] che permette di studiare agevolmente questo tipo di problemi attraverso le proprieta' spettrali dell'operatore di trasferimento agente su opportuni spazi di Banach di distribuzioni.
Limite semiclassico in sistemi classicamente caotici: lo studio del limite semiclassico per sitemi classicamente caotici e' strettamente legato al problema della comprensione delle orbite periodiche, problema a sua volta collegato alle formule di traccia ed alla cosidetta funzione zeta dinamica [B]. Si intendono utilizzare risultati sull'operatore di trasferimento per dimostrare l'analiticita' della suddetta funzione.
Studi di stabilita' in intorni di tori invarianti (condotti da A. Celletti e U. Locatelli). Uno dei nostri obiettivi specifici e' di dimostrare rigorosamente che la diffusione caotica e' al piu' super-esponenzialmente lenta rispetto alla distanza da un fissato toro KAM. La tecnica si basa su applicazioni computer-assisted dei teoremi KAM e Nekhoroshev ([CC], [LG]). Questo risultato consentirebbe di fornire delle limitazioni esplicite al moto caotico, traducendo in pratica lo schema dimostrativo illustrato in [MG], prima per modelli semplici (pendoli accoppiati forzati periodicamente e/o mappe simplettiche) e, successivamente, per sistemi di interesse in Meccanica Celeste (moto dei pianeti maggiori e di alcuni asteroidi).

2. Transizioni di fase e coesistenza di fasi.

Sono in via di completamento due lavori sull'estensione al caso quantistico della transizione di fase per sistemi continui, ad opera di Baffioni, Kuna, Merola, Presutti.
Transizioni di fase in sistemi di particelle (hard cores) sulla retta che interagiscono tramite forze di lunga portata (che decadono come R^{-2 + alpha}, alpha in [0,1). L'analogo risultato per il modello di Ising `e stato ottenuto in [FS] (e precedentemente da Dyson per un modello gerarchico). Il caso nel continuo e' stato studiato in [J] per la misura canonica. La ricerca, cui collaborano Cassandro, Merola, Presutti e Zahradnik, intende dimostrare la validita' di stime di Peierls per contorni opportunamente definiti (sulla linea proposta in [FS]) e si basa sull'uso di tecniche di coarse graining. Coesistenza di fasi. Si vuole calcolare la tensione superficiale e dimostrare la validita' della costruzione di Wulff per la forma ottimale dell'interfaccia nel sistema di particelle nel continuo introdotto in [LMP]. Il progetto, cui collaborano Bisceglia, Merola e Presutti, si basa su un nuovo metodo per calcolare la tensione superficiale introdotto in [BP] e sull'uso delle tecniche di coarse graining sviluppate in [LMP] e [BMPZ].
Condensazione di Bose. Si intende completare una ricerca gia' in fase molto avanzata cui hanno partecipato Benfatto, Cassandro, Merola Presutti, in cui si studia la statistica dei ``lunghi loops'' nella rappresentazione di Ginibre di un gas di Bose con interazioni di campo medio. In collaborazione poi con J. Kahn si intende estendere tali risultati al caso di potenziali di Kac e studiare il problema di una derivazione rigorosa della teoria di Bogoliubov in un opportuno limite di scala.

3. Comportamenti critici.

Nell'ambito della meccanica statistica dei sistemi di spin su reticolo si studiano trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione al di fuori della linea di coesistenza e in particolare nell'intorno del punto critico. Si vogliono studiare proprieta' di convergenza sotto iterazione della trasformazione. Quando la misura rinormalizzata e' solo debolmente gibbsiana, per calcolare il potenziale rinormalizzato si opera in un contesto simile a quello dei sistemi disordinati in presenza di una singolarita' di Griffiths. E' necessaria un'analisi multiscala alla Froelich e Spencer. Si sviluppa una teoria perturbativa adattata alla scala (divergente) in cui si analizza il sistema. I tradizionali metodi basati su sviluppi di alta temperatura e/o alto campo magnetico non sono utilizzabili nell'intorno del punto critico. I metodi sviluppati permettono l'analisi di sistemi disordinati prossimi alla criticalita'.
Mastropietro ha in programma di studiare alcuni modelli di spin bidimensionali su reticolo che sono generalizzazioni del modello di Ising e non esattamente risolubili; un esempio e' costituito dal modello di Ashkin Teller, che costituisce una generalizzazione del modello di Ising in cui gli spin hanno quattro stati e che viene utilizzato per spiegare le proprieta' magnetiche di alcuni sistemi planari. Si vuole dimostrare che tale modello ha in generale due temperature critiche, e che le grandezze fisiche vicino al punto critico sono descritte da indici critici universali eccetto che quando le due temperature critiche coincidono; si tratta quindi di un tipo di comportamento del tutto diverso da quelli noti in precedenza tramite le soluzioni esatte.
B. Scoppola e P.K.Mitter (Montpellier), studieranno le funzioni di correlazione dei voli di Levy con autointerazione repulsiva. In tale studio si usano risultati in [BKS] e una versione rigorosa della rappresentazione di Parisi-Sourlas, descrivendo il sistema in termini di una teoria dei campi supersimmetrica definita sul reticolo, e si costruira' la varieta' stabile della teoria risultante. Si calcolera' poi il decadimento delle funzioni di correlazione per questa teoria critica.
Sotto la voce ``Comportamenti critici'' inseriamo anche delle ricerche svolte nell'ambito della Teoria Euclidea dei Campi da Benfatto e Mastropietro. Le teorie dei campi relativistiche, come la QED o Y4, sono basate sulle identita' di Ward, non vi sono pero' studi rigorosi su tali identita'; il problema e' sottile perche' bisogna vedere se tali identita' sopravvivono alla procedura di rinormalizzazione. Benfatto e Mastropietro intendono studiare tale problema nel modello di Gross-Neveu in d=2 con numero di colori maggiore di 1, usando i metodi in [BM].

4. Fluttuazioni e grandi deviazioni.

E' in fase di completamento un libro sulle grandi deviazioni ad opera di E. Olivieri e M.E. Vares: titolo ``Large deviations and metastability", casa editrice Cambridge University Press, di circa 550 pagine, uscita prevista entro il 2004. Il libro contiene una trattazione autosufficiente di risultati classici e recenti della teoria delle grandi deviazioni e una serie di applicazioni alla teoria della metastabilita' nell'ambito di varie dinamiche stocastiche di interesse in meccanica statistica del non equilibrio.
Metastabilita' per dinamiche conservative. A. Gaudilliere, F. Nardi, E. Olivieri, E. Scoppola stanno ultimando un lavoro sulla caratterizzazione delle traiettorie tipiche che realizzano la transizione fra metastabilita' e stabilita' per il modello di Ising nel caso di dinamiche locali di Kawasaki a bassa temperatura. A. Gaudilliere,F. Nardi, E. Olivieri, E. Scoppola stanno studiando gli aspetti essenziali del comportamento metastabile di modelli di Ising anisotropi sempre nel caso di dinamiche locali di Kawasaki a bassa temperatura. F. Nardi, A. Gaudilliere, F. den Hollander, E. Olivieri, E. Scoppola stanno studiando il modello completo di Kavasaki su volumi divergenti esponenzialmente con la temperatura inversa.
E. Rosatelli ed E. Presutti svolgono ricerche tese ad estendere a modelli di Ising in d=1 con potenziali di Kac, i risultati ottenuti sul moto dell'interfaccia in equazioni di reazione e diffusione con perturbazioni stocastiche. L'influenza delle pareti (condizioni al contorno) sul moto dell'interfaccia in PDE stocastiche e' oggetto di studi da parte di E. Presutti, A. De Masi, P. Butta', L. Bertini, S. Brassesco.

5. Limiti idrodinamici e derivazione di equazioni macroscopiche.

La transizione dal microscopico (meccanica statistica) al macroscopico (meccanica dei continui) e l'analisi di tutti quei fenomeni che la determinano e' l'argomento centrale di un libro in via di completamento in cui E. Presutti elabora e organizza alcune delle ricerche che ha svolto negli ultimi anni. Titolo provvisorio dell'opera e' ``From statistical mechanics towards continuum mechanics''.
Derivazione delle equazioni di Vlasov-Poisson, su cui e' impegnata S. Caprino. Il problema centrale e' indagare se e quando le equazioni di Vlasov-Poisson siano ottenibili, nel limite di campo medio, a partire da sistemi di particelle in interazione coulombiana. Quindi la ricerca vertera', di volta in volta, a) sullo studio dei sistemi di infinite particelle, b) sullo studio dell'equazione limite e c) sul possibile passaggio dal sistema discreto a quello continuo. Lo studio di esistenza ed unicita' delle soluzioni per i casi a) e b) e' ovviamente preliminare al problema c). a) Il problema e' fortemente dipendente dalla dimensione dello spazio. A tutt'oggi non esistono risultati di esistenza di soluzioni classiche per un sistema di infinite particelle interagenti coulombianamente in R^3. In questo ambito si e' conseguito un risultato parziale, con P. Butta, G. Cavallaro e C. Marchioro, nel caso di particelle confinate in un cilindro (vedi [BCCM]). In questo caso il potenziale, pur essendo a lunga portata, presenta un decadimento esponenziale all'infinito. Si ha quindi intenzione di continuare lo studio, allo scopo di arrivare a trattare potenziali autenticamente Coulombiani e/o sistemi di particelle in tutto lo spazio tridimensionale. b) L'equazione di Vlasov-Poisson e' stata molto studiata nel caso di dati iniziali sommabili. A questo proposito si cita per tutti il lavoro [P]. Si vuole considerare plasmi in domini non limitati, nel caso di dati non integrabili. Questa e' una naturale generalizzazione, che pero' e' assai difficile da affrontare, venendo a mancare in questo caso gli integrali primi dell'energia e della massa. Risultati parziali in questo ambito sono stati ottenuti nei lavori [CCMP] e [CMP] e, piu' recentemente in [C], dove si considerano dati "quasi sommabili". Il programma e' di generalizzare questo risultato a dati non sommabili. c) Un primo passo in questa direzione consiste nell'analisi dell'evoluzione temporale di un sistema molto semplice, costituito da un plasma in interazione con una particella. Si vuole studiare il limite in cui la distanza iniziale plasma-particella tende a zero.
Derivazione di equazioni di reazione e diffusione. Si vogliono estendere risultati ormai classici, si veda per esempio [DP], al caso in cui la diffusione non e' omogenea e il termine di reazione non polinomiale. I metodi sviluppati in [DP] danno luogo a processi duali in cui si hanno processi di diramazione con numero illimitato di rami. La convergenza delle serie puo' allora dipendere dal segno dei vari termini e la derivazione richiede conseguentemente un approccio nuovo. Per applicazioni a modelli biologici, inoltre, si intende studiare il caso in cui siano presenti due specie di particelle e per una, la diffusione sia molto piu' lenta. Su questi argomenti svolgono ricerche E. Presutti, E. Rosatelli, L. Triolo, in collaborazione con A. De Masi, e P. Ferrari.
Applicazioni di natura biologica. Si vuole esplorare anche in casi concreti la peculiare assenza di una chiara separazione di scale che si riscontra in sistemi biologici. La caratteristica che si vuole approfondire nel progetto e' che la dinamica macroscopica puo' essere determinata da eventi che riguardano poche componenti microscopiche. In particolare la formazione delle metastasi (tumori secondari), secondo un modello bene accettato, avviene per disseminazione di strutture inizialmente unicellulari e soggette quindi a dinamiche stocastiche del tipo nascita e morte. La loro crescita le porta a dimensioni macroscopiche, e anch'esse contribuiscono alla disseminazioni di ulteriori metastasi, ma il processo inizia necessariamente in una fase microscopica, dove le fluttuazioni giocano un ruolo assai importante. L'esplorazione del ruolo dei parametri del processo e l'identificazione di valori soglia diventa quindi rilevante per capire anche come poter modificare drasticamente l'evoluzione. Tale ricerca parte da un lavoro deterministico di [IKS], migliorato da [St], dove l'evoluzione di un singolo tumore (primario o secondario) e' di tipo deterministico (Gompertziano), e la proliferazione avviene indipendentemente da ogni struttura tumorale, con un tasso di creazione di metastasi unicellulari dipendente solamente dalla dimensione dell'oggetto "madre". In questo modo s'ignora il fatto che le singole cellule sono soggette ad una probabilita' positiva di estinzione. Si vuole quindi introdurre una descrizione piu' realistica ed eventualmente, oltre alla valutazione del ruolo dei diversi parametri della dinamica di crescita e di disseminazione, anche quanto una piccola modifica della dinamica nella fase "microscopica", possa alterare significativamente l'intero processo. Si puo' arrivare ad una situazione di metastabilita' nella crescita a piccola dimensione, in modo da controllare per lunghi tempi la proliferazione e crescita delle metastasi. Questa possibilita' di persistenza di molte metastasi di piccola dimensione si collega alla cosidetta "dormancy" delle metastasi: sperimentalmente si verifica in taluni casi che si ha un bilancio dinamico a dimensione piccola (sotto la soglia strumentale) per tempi assai lunghi, e lo studio di questo fenomeno ha rilevanza terapeutica [SCB]. Infine potrebbe essere interessante introdurre una dipendenza spaziale nell'intero processo, dato che in talune situazioni (dimensioni macroscopiche piccole) l'ipotesi d'indipendenza potrebbe rivelarsi eccessivamente semplificatrice.

6. Teoria di campo e Relativita` Generale.

Si intende investigare le soluzioni globali delle equazioni di Einstein nel vuoto con dati iniziali assegnati su coni nulli (uscenti) invece che su di una superficie del genere spazio. Questo e' un problema difficile gia' al livello delle equazioni delle onde non lineari ed e' ancora piu` complicato nel caso delle equazioni di Einstein dove i dati iniziali devono soddisfare delle equazioni di vincolo anche nel caso non caratteristico. La bibliografia su questo soggetto non e' molto ricca e, sostanzialmente, tutti i risultati recenti sono nelle prime 3 referenze in [RG]. Un secondo problema che riguarda lo studio delle proprieta' asintotiche degli spazi-tempo di Einstein, viene affrontato usando la vasta conoscenza ricavata dai metodi di compattificazione iniziati da R.Penrose negli anni sessanta e sviluppati da molti autori, tra cui ricordiamo in particolare H. Friedrich, vedi bibliografia in [RG] e l'informazione sulle soluzioni globali a nostra disposizione oggi sugli spazi di Einstein vuoti, dovuta ai risultati ottenuti precedentemente, si veda [RG]. Si ritiene che l'unione dei metodi generali di compattificazione, non costruttivi, e i risultati costruttivi ottenuti risolvendo globalmente le equazioni di Einstein nel vuoto, con dati appropriati, possano permettere di ottenere una migliore comprensione del soggetto, in particolare capire quali delle ipotesi asintotiche dei metodi di compattificazione possano essere realmente soddisfatte.

1. Ergodic properties and chaotic behavior of time evolution.

Coupled maps: the aim (of a research involving C. Liverani, G. Keller) is to develop an approach alternative to cluster expansion with the ultimate purpose of extending the results to maps less regular than those studied so far, and to consider a diffusive coupling, where phase transitions may occur, as indicated by computer simulations, [MH].
Finite dimensional maps (studied by C. Liverani, S.Gouzel and V. Baladi). The study of the SRB measures on finite dimensional systems is considered as relevant in non equilibrium statistical mechanics, [GR]. In particular the dependence of the SRB measures on some special parameter of the model is relevant for computing diffusion coefficients and entropy production. The aim is to expand the analytic-functional approach, [BKL], where such problems are related to spectral properties of a transfer operator on suitable Banach spaces of distributions. Semiclassic limit in classical chaotic systems: this is closely related to an understanding of the periodic orbits which, in turns, is related to trace formulas and the dynamic zeta function, [B]. The idea is to use results on the transfer operator to prove analyticity of the zeta function.
Stability in a neighborhood of invariant tori is an issue studied by A. Celletti and U. Locatelli. A specific aim is a rigorous proof that chaotic diffusion is at most super-exponentially slow w.r.t. the distance from a given KAM torus. The techniques which are used are based on computer assisted investigations and the KAM and Nekhoroshev theorems, [CC], [LG]. Such a result would yield explicit bounds on the chaotic motion, realizing in practice the scheme proposed in [MG], relative to simple models first (periodically forced coupled pendula), and then to systems from Celestial Mechanics (planets and asteroids motions).

2. Phase transitions and phase coexistence.

Phase transitions. Two papers by Baffioni, Kuna, Merola, Presutti are in their final stage, they extend the results in [LMP] proving the occurrence of phase transitions in quantum systems in the continuum. Phase transitions for a system of hard cores on the line and with slow decay of the interaction (as R^{-2 + alpha}, alpha in [0,1)), are presently studied by Cassandro, Merola, Presutti and Zahradnik. Phase transitions have been proved in [FS] in the lattice (and previously by Dyson in a hierarchical model). The continuous case has been studied in [J] for the canonical measure. The aim is to use coarse graining techniques to prove Peierls bounds on suitably defined contours (extending the approach in [FS]).
Phase coexistence. The aim here is to determine surface tension and the optimal geometry of the interface in the Wulff problem for the continuous model introduced in [LMP]. On this project are working Bisceglia, Merola and Presutti, exploiting a method for computing the surface tension introduced in [BP] and the techniques in [LMP] and [BMPZ].
Bose condensation. A paper by Benfatto, Cassandro, Merola, Presutti is in its final stage. It concerns the statistics of the ``long loops'' in the Ginibre version of a system of bosons with mean field interactions. A project in collaboration with J. Kahn is then to extend the analysis to Kac potentials and to prove a Lebowitz-Penrose like theorem with a rigorous derivation of the Bogoliubov theory on a suitable scaling limit.

3. Critical behaviors.

The renormalization group is studied by E. Olivieri, L. Bertini, F. Nardi, E. Cirillo, in a statistical mechanics setting, for lattice spin systems outside the coexistence line and close to the critical point. The aim is to study convergence properties of iterates of the renormalization map. When the renormalized measure is only weakly Gibbs, the renormalized potential is computed as in disordered systems with Griffiths singularities. For that a multi-scale analysis a la Froelich and Spencer is required, where a perturbative analysis is adapted to the specific divergent scale which is considered. While the traditional high/low temperature and high magnetic field techniques cannot be used close to the critical point, our methods apply to disordered systems till criticality.
The aim of a research by Mastropietro is the analysis of 2D lattice spin systems which generalize the Ising model and which are not exactly solvable; an example is the Ashkin-Teller model where the spins have 4 states; the model is used to explain the magnetic properties of some planar systems. The aim is to prove the existence of two critical temperatures and universality of the critical indices except when the two critical temperatures coincide. This would be a very interesting result with the appearence of a totally new behavior different than what found in the exactly solvable systems.
B. Scoppola and P.K. Mitter (Montpellier) are studying the structure of the correlation functions in repulsively self interacting Levy flights based on previous results in [BKS]. A rigorous version of the Parisi-Sourlas representation will be used (by describing the system as a super-symmetric lattice field theory) and the stable manifold of the corresponding theory will be constructed. The decay of correlations for such a critical theory will then be established.
Under the present title, we insert also some researches by Benfatto and Mastropietro on Euclidean field theory. Relativistic field theories, as QED and Y4, are based on the Ward identity, but there are no rigorous studies: the subtlety being that it is not at all evident that such identities survive the renormalization procedure. The purpose is to study the phenomenon in the d=2 Gross-Neveu model with more than 1 color using the methods of [BM].

4. Fluctuations and large deviations.

A book by E. Olivieri and M.E. Vares on large deviations is in its final stage. Its title is ``Large deviations and metastability", it has approximately 550 pages and it will be published this year by the Cambridge University Press. The book gives a self contained account of classic and recent results on large deviations and applications to metastability for several stochastic dynamics arising in non equilibrium statistical mechanics.
Metastability for conserved dynamics. A. Gaudilliere, F. Nardi, E. Olivieri, E. Scoppola have almost completed a work on typical trajectories connecting the metastable and the stable states, for local Kawasaki dynamics in Ising systems at low temperatures. A. Gaudilliere, F. Nardi, E. Olivieri, E. Scoppola are working on the metastable behavior when the interaction is anisotropic. A. Gaudilliere, F. den Hollander, F. Nardi , E. Olivieri, E. Scoppola are studying the complete problem when the volume diverges exponentially in terms of the inverse temperature.
E. Rosatelli and E. Presutti are working on the interface dynamics in d=1 spin systems with Kac potentials, with the aim of extending results obtained on reaction diffusion equation with additive noise.
E. Presutti, A. De Masi, P. Butta', L. Bertini, S. Brassesco are working on a d=1 stochastic PDE with the aim of understanding the influence of the boundaries on the evolution of the interface.

5. Hydrodynamic limits and derivation of macroscopic equations.

The transition from microscopics (statistical mechanics) to macroscopics (continuum mechanics) and the analysis of the phenomena involved in such a transition are the main arguments of a book by E. Presutti which is in its final stage and collects and organizes researches done in the last years. The preliminary title is ``From statistical mechanics towards continuum mechanics''.
S. Caprino is working on the derivation of the Vlasov-Poisson equations in a scaling limit on a model of particles with Coulomb interactions. Main topics of the research are: a) analysis of systems with infinitely many particles; b) study of the limit equation; c) Transition from the discrete to the continuum model. Existence and uniqueness for a) and b) are obviously preliminary to c). a). The problem depends strongly on the space dimensions, we still do not have an existence theorem for classical solutions in R^3 with coulomb interactions. A partial result has been obtained by P. Butta', G. Cavallaro and C. Marchioro, when the particles are confined in a cylinder, [BCCM], and the potential has long range but decays exponentially at infinity. The aim of the research is to treat true Coulomb interactions in d=3. b). The Vlasov-Poisson equation has been much studied for summable initial data, see for instance [P]. The aim is to extend the analysis to unbounded spatial domains with non summable initial data, the problem being the absence of first integrals coming from energy and mass conservation. Partial results have been obtained in [CCMP], [CMP] and, more recently, in [C], where the initial data are "quasi summable". c) A first step is to study a very simple model, with an isolated particle and a plasma. The aim is to study the limit when the distance plasma-particle vanishes.
E. Presutti, E. Rosatelli, L. Triolo, with A. De Masi and P. Ferrari are trying to extend by now classical results on the derivation of reaction diffusion equations, see for instance [DP], to the case where the particles diffusion is not homogeneous and the reaction is not given by a polynomial. The difficulty is that the DP methods lead to dual processes with infinite branchings and the convergence of the series depends on the sign of the various terms. Moreover, in some applications, the aim is to extend the analysis to models with two types of particles, one diffusing on a much slower time scale than the other.
Reaction diffusion equations coupled with stochastic effects appear in medical-biological models studied by L. Triolo. A characteristic feature is the absence of a clear cut separation of scales, which should therefore be present in realistic models. The main effect to be captured is that the macroscopic dynamics is determined by events involving only a few microscopic components. According to a well accepted theory, the formation of secondary tumors is due to emission of unicellular structures, which then undergo a stochastic birth and death process. Their successive growth leads eventually to macroscopic sizes which at that stage evolve deterministically, but the emission of new secondary tumors of microscopic size involves again effects where stochastic fluctuations are relevant. The aim is to determine the relevant parameters of the process, to identify threshold values and possibly find how parameters should be modified to have desired changes in the evolution. Starting points are [IKS] and its improvement [St], where the evolution of a single tumor (primary or secondary) is deterministic and the proliferation occurs independently of the tumor structure, with births of unicellular tumors which depend only on the ``mother'' size. This model neglects the possibility of extinction of the tumor cells, and the project is to introduce and study a more realistic model where extinction is included together with several parameters appearing in the dynamics, whose role has to be investigated in details. Due, to instabilities, small changes may significantly affect the successive evolution. Metastable effects appear in some experimental situations, with a dormancy state of secondary tumors of small, microscopic size, which persist for very long times. The analysis of such a state may have therapeutical significance, [SCB]. A spatial dependence may also be an interesting issue to include in the model, to relax the mean field and independence assumptions.

6. Field theory and general relativity.

The aim is to study global solutions of the Einstein equations in the void with space-like initial data rather than on outgoing cones. This is a problem already difficult in the context of non linear wave equations when the initial data must satisfy constraints even in the non characteristic case. The literature is not very rich on this subject, see the first 3 references in [RG]. A second issue is the analysis of the asymptotic properties of the Einstein space-time, a problem attacked using compactification techniques (introduced by R.Penrose in the 60's and developed later by several authors, see Friedrich's reference in [RG]) and the knowledge on the global solutions in empty Einstein spaces, see again [RG]. The combination of such abstract and constructive methods may lead to a better understanding, in particular to determine which are the asymptotic assumptions in the compactification approach which are really satisfied.

Nessuna

Testo inglese

Nessuna

2.7 Descrizione delle Grandi attrezzature da acquisire (GA)

Testo italiano

Nessuna

Testo inglese

Nessuna

2.8 Mesi uomo complessivi dedicati al programma

Testo italiano

		Numero	Mesi uomo 1° anno	Mesi uomo 2° anno	Totale mesi uomo
Personale universitario dell'Università sede dell'Unità di Ricerca		11	121	121	242
Personale universitario di altre Università		0	0	0	0
Titolari di assegni di ricerca		0
Titolari di borse	Dottorato	2	22	22	44
	Post-dottorato	0
	Scuola di Specializzazione	0
Personale a contratto	Assegnisti	1	11	0	11
	Borsisti	1	5	5	10
	Dottorandi	0
	Altre tipologie	0
Personale extrauniversitario		7	67	72	139
TOTALE		22	226	220	446

Testo inglese

		Numero	Mesi uomo 1° anno	Mesi uomo 2° anno	Totale mesi uomo
University Personnel		11	121	121	242
Other University Personnel		0	0	0	0
Work contract (research grants, free lance contracts)		0
PHD Fellows & PHD Students	PHD Students	2	22	22	44
	Post-Doctoral Fellows	0
	Specialization School	0
Personnel to be hired	Work contract (research grants, free lance contracts)	1	11	0	11
	PHD Fellows & PHD Students	1	5	5	10
	PHD Students	0
	Other tipologies	0
No cost Non University Personnel		7	67	72	139
TOTALE		22	226	220	446

PARTE III

3.1 Costo complessivo del Programma dell'Unità di Ricerca

Testo italiano

Voce di spesa	Spesa in Euro	Descrizione
Materiale inventariabile	10.000	Acquisto attrezzature di calcolo e di stampa; acquisto libri
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo e funzionamento	2.000	Materiale vario per PC, fotocopiatrici e stampanti
Spese per calcolo ed elaborazione dati	1.500	Software per calcolo ed alaborazione dati
Personale a contratto	28.000	Assegno di ricerca e borse Post-doc
Servizi esterni	3.000	Posta celere, manutenzione attrezzature
Missioni	35.000	Spese di viaggio e soggiorno per convegni e collaborazioni scientifiche
Pubblicazioni	1.000	Spese per stampa preprint e acquisto reprints
Partecipazione / Organizzazione convegni	8.000	Tasse iscrizione e organizzazione convegni
Altro	35.000	Inviti per seminari e collaborazioni scientifiche
TOTALE	123.500

Testo inglese

Voce di spesa	Spesa in Euro	Descrizione
Materiale inventariabile	10.000	Upgrade of computing and printing devices; books
Grandi Attrezzature
Materiale di consumo e funzionamento	2.000	Consumables for PC, printers and copiers
Spese per calcolo ed elaborazione dati	1.500	Software for computations and data elaboration
Personale a contratto	28.000	Research contract and Post-doc Fellowships
Servizi esterni	3.000	Fast delivery; servicing expenses for PC, printers and similar
Missioni	35.000	Travel and living expenses for participation to conferences and scientific collaborations
Pubblicazioni	1.000	Preprints and reprints expenses
Partecipazione / Organizzazione convegni	8.000	Conference registration fees and conferences organization
Altro	35.000	Expenses for visitors
TOTALE	123.500

3.2 Costo complessivo del Programma di Ricerca

		Descrizione
Costo complessivo del Programma dell'Unità di Ricerca	123.500
Fondi disponibili (RD)	19.200	Provenienti da fondi dell'Università degli anni precedenti
Fondi acquisibili (RA)	17.900	Assegnati dall'Università e disponibili in caso di accettazione della domanda
Cofinanziamento di altre amministrazioni	0
Cofinanziamento richiesto al MIUR	86.400

3.3.1 Certifico la dichiarata disponibilità e l'utilizzabilità dei fondi di Ateneo (RD e RA)

(per la copia da depositare presso l'Ateneo e per l'assenso alla diffusione via Internet delle informazioni riguardanti i programmi finanziati e la loro elaborazione necessaria alle valutazioni; legge del 31.12.96 n° 675 sulla "Tutela dei dati personali")

Firma _____________________________________

Data 18/03/2004 ore 07:41

. measure is only weakly Gibbs, the renormalized potential is computed as in disordered systems with Griffiths singularities. For that a multi-scale analysis a la Froelich and Spencer is required, where a perturbative analysis is adapted to the specific divergent scale which is considered. While the traditional high/low temperature and high magnetic field techniques cannot be used close to the critical point, our methods apply to disordered systems till criticality.

JONA LASINIO	GIOVANNI	gianni.jona@roma1.infn.it
FIS/02 - Fisica teorica, modelli e metodi matematici
Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"
Facoltà di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI
Dipartimento di FISICA

PRESUTTI	ERRICO
Professore Ordinario	26/09/1942	PRSRRC42P26H501G
MAT/07 - Fisica matematica
Università degli Studi di ROMA "Tor Vergata"
Facoltà di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI
Dipartimento di MATEMATICA
06-72594687 (Prefisso e telefono)	0672594699 (Numero fax)	presutti@mat.uniroma2.it (Email)

1.	A. BOVIER; I. MEROLA; PRESUTTI E.; M. ZAHRADNIK (2004). On the Gibbs phase rule in the Pirogov-Sinai regime JOURNAL STATISTICAL PHYSICS. (vol. 114 pp. 1235-1267)
2.	T. BODINEAU; PRESUTTI E. (2003). Surface tension and Wulff shape for a lattice model without spin flip symmetry ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-PROBABILITES ET STATISTIQUES. (vol. 4 pp. 847-896)
3.	L. BERTINI; S. BRASSESCO; P. BUTTA'; PRESUTTI E. (2002). Stochastic phase field equations: existence and uniqueness ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-PROBABILITES ET STATISTIQUES. (vol. 3 pp. 87-98)
4.	G. BELLETTINI; P. BUTTA'; PRESUTTI E. (2001). Sharp interface limits for non local anisotropic interactions ARCHIVE FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS. (vol. 159 pp. 109-135)
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