Calcolo delle Probabilità e Statistica   -  Probabilità e Statistica  
Ingegneria  - a.a. 2024-2025, canale A-I (dal 5/3/25  al  13/6/25)

Diario del corso  [tra parentesi i paragrafi del libro di testo, in rosso le lezioni già fatte,
                                   in azzurro gli argomenti ancora da svolgere, con le date dello scorso a.a.]

  5/3   (LEZ IN PRESENZA) Introduzione, sigma algebre, spazi di probabilità, assiomi, proprietà (2.1, 2.2).
  7/3   (LEZ IN PRESENZA) Probabilità condizionali, formula di Bayes. Indipendenza di eventi (2.3).
12/3   (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su:  indipendenza di eventi, probabilità condizionale, formula di Bayes.
14/3   (LEZ IN PRESENZA) Calcolo combinatorio. Estrazioni con e senza rimpiazzo. Schema successo-insuccesso in n prove indipendenti (dipendenti),
          in ciascuna delle quali la probabilità condizionata del successo è costante (variabile). 
19/3  (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su:  calcolo combinatorio; estrazioni con e senza rimpiazzo, schema binomiale, schema ipergeometrico.
21/3  (LEZ IN PRESENZA) Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioni. V.a. di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica (3.1, 3.2).
         Distribuzione di Poisson come limite di distribuzione binomiale.
25/3  (LEZ IN PRESENZA) Istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti in ciascuna delle quali la probabilità del succeso è costante.
         Distribuzione geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Caratterizzazione della v.a. geometrica modificata e
         geometrica mediante la proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi).
26/3  (LEZ IN PRESENZA) Densità congiunta di un vettore aleatorio bidimensionale; densità marginali. V.a. indipendenti (3.4).  
28/3/ (LEZ IN PRESENZA) Densità della somma di v.a. discrete (in particolare somma di v.a. binomiali e di Poisson, indipendenti).
         Distribuzione di max(X,Y), min(X,Y)  (3.4).  Distribuzione del max e min di due v.a. geometriche indipendenti.  Distribuzione di Pascal (istante i-esimo successo). 
 2/4   (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su v.a. Binomiale, Ipergeometrica, Geometrica, Uniforme.
 4/4  (LEZ IN PRESENZA) Speranza matematica (o valor medio) di una v.a. discreta e sue proprietà;  media di v.a. uniforme,  di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica,
         geometrica, di Poisson, di Pascal (3.5).
 8/4  (LEZ IN PRESENZA) Varianza di una v.a. discreta e sue proprietà; momenti di una v.a. Disuguaglianza di Chebicev.
         Varianza di v.a. di Bernoulli, Binomiale, Geometrica, di Pascal, di Poisson. Covarianza . V.a. correlate e scorrelate.
 9/4   (LEZ IN PRESENZA) Varianza di una v.a. Ipergeometrica (formula senza dimostrazione). Esercizi vari su media e varianza.
11/4  (LEZ IN PRESENZA)  Due v.a. indipendenti sono scorrelate, ma non  è vero il viceversa: esempio di due v.a. scorrelate, ma dipendenti (3.6).
         Varianza di v.a. Ipergeometrica. Coefficiente di correlazione e sue proprietà (3.6),  Esercizi vari su media, varianza, etc. 
         Calcoli con densità: calcolo di P( X >Y), P( X = kY), ove X e Y sono v.a. geometriche indipendenti, e k è intero.
16/4  (LEZ IN PRESENZA)  Esercizi di preparazione alla I prova di valutazione in itinere (svolgimento problemi anni passati)
23/4  (LEZ IN PRESENZA)  Introduzione alle v.a. assolutamente continue;  funzione di distribuzione, densità.  V.a. uniformemente distribuita in [0,1].
         V.a. esponenziale. Proprietà di mancanza di memoria della distribuzione esponenziale (§ 4); una v.a. X > 0  assolutamente continua ha distribuzione esponenziale
         se e solo se gode della  proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi).
23/4  (LEZ IN PRESENZA)  V.a. uniformemente distribuita in [a,b];. Densità di Y = aX+b, Y =X^2, Y = g(X), con g(x)  monotona e derivabile,
         in funzione della densità di X. Densità Normale o Gaussiana.
24/4  (LEZ IN PRESENZA)  Esercizi di preparazione alla I prova di valutazione in itinere (svolgimento problemi anni passati)
30/4  (LEZ IN PRESENZA)  Esercizi di preparazione alla I prova di valutazione in itinere (svolgimento problemi anni passati)
 3/5   (LEZ IN PRESENZA) Densita' Normale o Gaussiana. Densità Gamma. Teoremi di addizione per v.a. indipendenti, Gaussiane e Gamma.
 6/5   I prova di valutazione in itinere in presenza (pomeriggio, ore 16.00)
  7/5   (LEZ IN PRESENZA) Momenti di una v.a. assolutamente continua. Media, varianza, covarianza, proprietà (§ 4).
         Disuguaglianza di Chebicev. Media e varianza delle v.a. ass. continue studiate. Densità di Cauchy: un esempio di v.a. ass. cont. sprovvista di valor medio.
         Un esempio di v.a. discreta sprovvista di valor medio.
         Momenti di ordine pari e dispari di una v.a. Gaussiana standard. Formula alternativa per il calcolo della media di una v.a. non negativa. 
 8/5   (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su: calcoli con densità per v.a. assolutamente continue unidimensionali.
10/5  (LEZ IN PRESENZA) Vettori aleatori bidimensionali ass. continui: funzione di distribuzione congiunta, densità congiunta. Densità  marginali. V.a. indipendenti  (§ 4).
15/5  (LEZ IN PRESENZA)  X e Y sono indipendenti se e solo se f(x,y)=u(x)v(y). Trasformazione di un vettore aleatorio (X,Y): formula per la densità congiunta di  (U,V)= G(X,Y).
         Densità di Z = X+Y (formula di convoluzione con dimostrazione) e di Z = X-Y.
17/5  (LEZ IN PRESENZA) Densità di max(X,Y) e min(X,Y), ove X e Y sono indipendenti ed esponenziali di parametri a e b, risp.;           
         min(X,Y) ha densità  esponenziale di  parametro a+b.  Densità  della somma di v.a. esponenziali indipendenti. Esercizi e calcoli con densità di v.a.  continue unidimensionali.
21/5  (LEZ IN PRESENZA) Verifica che l'integrale su R di  exp ( ̶  x^2 /2) / (2π) 1/2 = 1.  Se X ~ Gamma (a,c), Y ~ Gamma (b,c),
         (X, Y indipendenti), allora X+Y ha densità  Gamma (a+b,c)   (con dim.). Densità  Beta in (0,1).
         Densità della somma di v.a. indipendenti, con distribuzione normale (senza dim.). Densità di  Z= X+Y,  Z= X -Y,  Z = aX +bY +c.
22/5  (LEZ. IN PRESENZA) Densità del quoziente Z = Y/X e del prodotto Z=XY. Esercizi vari con v.a. continue bidimensionali e unidimensionali.
24/5  (LEZ. IN PRESENZA) Convergenza di una successione di v.a. in probabilità,.
         Legge dei grandi numeri (LGN), applicazioni (§ 5). Il metodo Montecarlo. Esercizi vari .
28/5  (LEZ. IN PRESENZA) Densità di Z = X/(X+Y), ove X e Y sono indipendenti e hanno legge Gamma; se X ~ Gamma (a,c), Y ~ Gamma (b,c),
         (X, Y indipendenti), allora Z ha densità  Beta (a,b), con supporto in (0,1). Esercizi vari con v.a. continue bidimensionalii.
29/5   (LEZ IN PRESENZA) Densità condizionale e media condizionale di X, dato  Y = y. Esercizi vari con v.a. continue bidimensionali
31/5  (LEZ IN PRESENZA) Il teorema limite centrale (TLC)  e l'approssimazione normale (§ 5). Correzione di continuità nell'approssimazione normale.
         Intervallo di confidenza per la media incognita di una distribuzione, di varianza nota, e di cui si conosce la media campionaria.
 4/6   (LEZ IN PRESENZA)  Esercizi vari su TLC, intervallo di confidenza, quantili.
 5/6  (LEZ IN PRESENZA) Risoluzione prove di esame anni precedenti. 
 7/6  (LEZ IN PRESENZA) Risoluzione prove di esame anni precedenti. CHIUSURA DEL CORSO.



Non e'stato possibile svolgere i sottoelencati argomenti, come negli a.a. precedenti, per mancanza di tempo.
Retta di regressione.
Funzione di distribuzione di una v.a. Gamma col primo parametro, m,  intero (m-Erlangiana)  Il processo di Poisson. (§ 4).
Generatori aleatori e simulazione: generatori di numeri pseudo-random con assegnata distribuzione, a partire da
numeri pseudo-random uniformemente distribuiti in  [0,1] (§ 4).  
Cenni ai vettori Gaussiani bidimensionali (in particolare: le marginali di un vettore
Gaussiano sono Gaussiane; v.a. Gaussiane sono indipendenti se e solo se sono scorrelate).