Trasformazioni puntuali

Responsabile scientifico: Prof. Franco Ghione
Collaboratore: Prof. Laura Catastini

Obiettivi del laboratorio
Il concetto di trasformazione puntuale tra una superficie e un'altra (solitamente due piani) è dato per fare esempi non banali di applicazioni di un insieme in un altro e creare un contesto nel quale si possa, all'Università, collocare il concetto astratto di applicazione tra insiemi (strutturati e no). Per questo si specificherà bene il concetto di dominio di codominio e i caratteri generali della trasformazione (biunivocità e continuità) evitando di confondere, anche da un punto di vista intuitivo, il concetto di trasformazione con quello di movimento. L'esempio principale che sarà presentato è quello di proiezione (di un piano su un altro o di una sfera su un piano) perché la proiezione "figura" molto bene la legge che associa a un punto del dominio un punto del codominio: i raggi che proiettano rendono concreta e visibile questa associazione.
La notazione simbolica f: P -----> Q, viene presentata come una conquista da raggiungere possibilmente con gli allievi. Essa viene data subito perché riesce bene ad evidenziare i vari ingredienti che danno luogo alla trasformazione (dominio codomino e legge).
La continuità della trasformazione f può essere data o in termini di intorni circolari (come si fa in topologia) o in termini di successioni richiedendo che

se x_n converge a x_o allora f(x_n) converge a f(x_o).

Si ritiene utile dare la nozione di successione di punti di un piano, e la conseguente definizione di convergenza, perché si lega direttamente alla costruzione dei numeri reali a partire da quelli razionali e perché viene utilizzata nella teoria delle trasformazioni puntuali quando si voglia estendere "al continuo" qualcosa che è definito "sul discreto". Essa inoltre permette di creare subito delle giuste immagini mentali in un ambiente bidimensionale (alternativo e complementare all'ambiente numerico) che prefigurano, in modo intuitivo ma non scorretto, il concetto topologico di successione convergente.

Alcuni aspetti significativi del programma
Il programma che ora viene rappresentato vuole dare solo un quadro generale all'interno del quale ritagliare, un opportuno percorso scolastico.
Si presenteranno le similitudini, le affinità, le proiezioni centrali e le proiezioni stereografiche (di una sfera su un piano). Le trasformazioni saranno definite tramite proprietà generali (biunivocità e continuità) e proprietà geometriche di conservazione (allineamento, angoli, ecc). Si darà spazio ai teoremi di estendibilità: se una trasformazione è definita in particolari punti (due, tre o quattro) è possibile (conoscendo il tipo di trasformazione) estenderla in modo univoco a tutto il piano. Si potranno dare dimostrazioni grafico-costruttive da realizzare con gli allievi. Come esercizi e attività laboratoriale si proporrà la ricostruzione di una immagine anche complessa a partire da un suo dettaglio sapendo che è simile o affine o prospettica a una figura data e si applicherà questa tecnica allo studio di alcuni dipinti. Questi esercizi sono propedeutici all'uso delle coordinate che permettono di fare la stessa cosa e realizzare un programma per "far disegnare" un computer. Il passaggio dal carattere normale al corsivo nei font informatici sarà presentato come esempio di affinità arrivando eventualmente alla costruzione, per gruppi di studenti, di un "corsivo personalizzato". Le proiezioni centrali saranno studiate inizialmente da un punto di vista insiemistico: alcuni punti non hanno immagine altri non hanno immagine inversa. Si cercherà di introdurre con gli allievi i "punti all'infinito" per mantenere la biunivocità e arrivare al piano affine completato. Si cercherà di discutere con gli allievi su alcune proprietà topologiche "strane" di questo nuovo oggetto (orientabilità, continuità, compattezza) con lo scopo di giustificare la necessità di strumenti matematici più complessi.
La proiezione stereografica di una sfera in un piano verrà utilizzata per realizzare delle mappe della terra e del cielo. Le prorietà geometriche della trasformazione stereografica (la conservazione di cerchi e angoli) saranno solo accennate fornendo delle giustificazioni geometriche e storiche. Con questi strumenti sarà possibile descrivere le proprietà geometriche dell'astrolabio e il suo straordinario funzionamento.
Si proporranno altri esempi di trasformazioni conformi di una superficie in un'altra, trasformazioni cioè bicontinue che conservano gli angoli Questi esempi, molto importanti anche in fisica, non saranno trattati in modo rigoroso ma illustrati, nelle lezioni introduttive, attraverso grafici che rappresentano un foglio quadrettato che si trasforma in una griglia di curve ortogonali.

Metodologia didattica
Le due lezioni iniziali saranno di tipo frontale con molte immagini e animazioni al computer che dovrebbero introdurre il concetto generale di trasformazione puntuale di una superficie in un'altra e una serie di applicazioni ed esempi che poi verranno sviluppati, anche tecnicamente, nel Laboratorio. Il Laboratorio sperimenterà una didattica fortemente interattiva presentando una geometria costruttiva e rigorosa al tempo stesso sollecitando il contributo diretto e creativo degli allievi. Molti tra gli argomenti proposti trovano un supporto scientifico e didattico (schede, esercizi significativi, problemi) e informatico (animazioni geometriche interattive) nel libro con CD di Catastini - Ghione, Le Geometrie della Visione, Springer-Verlag Italia 2004.