Iterazioni di funzioni e loro andamento asintotico

Responsabile scientifico: Prof. Lucio Russo
Collaboratore: Prof. Franco Ghione

Obiettivi del laboratorio
La rivoluzione informatica ha alterato in modo significativo il mondo della matematica, in particolare sviluppando la matematica sperimentale e diminuendo l'interesse per i problemi risolubili in modo esplicito, vista la rapidità ed efficienza con cui sono disponibili metodi di approssimazione. Di questi cambiamenti non vi è quasi traccia nei programmi di matematica della scuola primaria e secondaria, che in particolare privilegiano da sempre lo studio di problemi esattamente risolubili con un numero finito di passi, trascurando i metodi di approssimazione. Il laboratorio che si propone mira ad aprire uno spiraglio sulla matematica "sperimentale" attraverso lo studio numerico (e in qualche caso anche teorico) delle iterazioni di alcune funzioni. Gli obiettivi perseguiti prevedono anche una ricaduta sui programmi curriculari, visto che gli argomenti trattati permettono di comprendere il concetto di limite introducendolo nel caso di successioni esplicitamente calcolabili, invece che nel caso di funzioni (approccio questo generalmente seguito ma non sempre efficace). Altra importante ricaduta è la possibilità di utilizzare il concetto di convergenza per la risoluzione di equazioni che non ammettono soluzioni esplicite ed esatte, oppure per la comprensione di algoritmi ricorsivi comunemente utilizzati, come ad esempio nel caso del calcolo di una radice quadrata.

Programma di massima del laboratorio
La trattazione dell’argomento è così suddivisa:

• Prima parte: funzioni da R in R che convergono quando reiterate. Ad esempio si studierà in questo ambito il metodo di Erone per il calcolo delle radici quadrate

• Seconda parte: casi di convergenza non garantita, che dipende da un parametro. Questa seconda parte prevede anche la trattazione di questioni più complesse come la ricerca di eventuali cicli limite. Si studieranno casi, come quello dell'equazione logistica, che forniscono modelli per evoluzioni di tipo caotico.

• Terza parte: Studio delle iterazioni di alcune funzioni di R2 in R2. Si studieranno in particolare la trasformazione del fornaio e quella di Hénon.