Le coniche

Responsabile scientifico: Prof. Franco Ghione
Collaboratore: Prof. Francesca Tovena

Obiettivi del laboratorio
Lo scopo del laboratorio è quello presentare la teoria delle coniche da un punto di vista storico con particolare riguardo a quegli aspetti della teoria in grado di interagire con problemi matematici e non matematici estranei alla teoria stessa. Lo studio delle coniche e i problemi che ad esso si legano può essere fatto da un punto di vista sintetico, riferendosi al cono e al piano col quale il cono è tagliato, o da un punto di vista analitico determinando l’equazione del luogo. I due punti di vista nel laboratorio sono ugualmente trattati evitando di confondere, come spesso avviene, la definizione geometrica del luogo e la sua rappresentazione cartesiana strettamente legata alla scelta del sistema di riferimento. Il ruolo che le coniche rivestono in problemi non banali come lo studio delle orbite planetarie o dei fenomeni ottici esemplifica la possibilità di legare tematiche tradizionali elementari a problemi difficili esaltando il ruolo della metodologia didattica applicabile poi ad altri contenuti. Lo studio geometrico delle coniche si sviluppa in un ambiente tridimensionale che viene riproposto, per il suo insostituibile ruolo formativo, assieme alle proprietà geometriche più semplici di rette, piani, coni, cilindri e sfere che sono spesso, malgrado la loro importanza fondante, escluse dai programmi tradizionali.

Alcuni aspetti significative del programma
Il programma presenta molti argomenti all’interno dei quali poter progettare, insieme agli insegnati, un percorso legato al contesto scolastico nel quale si propone la realizzazione del laboratorio.
La visione di una circonferenza. I raggi visivi, i postulati dell'Ottica euclidea, il cono visivo, l'equivalenza di visione di due oggetti diversi. Chi era Euclide? Lo studio geometrico dei coni: vertice, generatrici, rotazione di una retta rispetto a un dato asse complanare, cono tangente a una sfera. I primi teoremi di Aristarco. Chi era Aristarco? La visione della Luna. Il cerchio che separa la zona in ombra da quella in luce. La Luna in quadratura. Condizioni necessarie e sufficienti affinché due oggetti siano visti nello stesso modo. La rappresentazione pittorica di oggetti tondi su un piano (affresco) o su un vaso nella pittura antica: scudi , aiuole, aureole. La distinzione tra una sezione conica e un ovale. Come sapere se un ovale è la proiezione di una circonferenza? Metodi empirici. Il "compasso" di Leonardo da Vinci per tracciare sezioni coniche. Vari tipi di sezioni coniche: l'ombra di una sfera.
La ricerca di proprietà caratterizzanti delle sezioni coniche.
L'approccio di Apollonio "l'ordinata quadrata è equivalente al rettangolo applicato sull'ascissa più meno (iperbole o ellisse) il quadrato dell'ascissa" (yy = px + qxx). Chi era Apollonio? Nascono i termini ascissa e ordinata e i punti della conica sono descritti dando, per un dato valore dell'ascissa, la corrispondente ordinata. Il disegno dei tre tipi di coniche con Cabri seguendo l'impostazione di Apollonio. Analogie tra la circonferenza e l’iperbole equilatera. Le coniche a centro come "stiramento" di una circonferenza o di una iperbole equilatera. Area dell’ellisse seguendo Archimede (chi era Archimede?)
L’uso delle coniche per lo studio delle equazioni algebriche:

• Gli studi di Keplero sull'orbita di Marte. (Chi era Keplero?) Le orbite ellittiche e la costanza della velocità aereolare come ipotesi che si prestano bene a interpretare i dati sperimentali.

• La soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado secondo la tradizione araba: la soluzione si ottiene sempre intersecando cerchi, parabole o iperboli equilatere.