LABORATORIO V

• Indice del laboratorio
  • Il "vedere allineato" e il "vedere convergente", l' "apparire" di rette parallele.
  • Il teorema 6 con dimostrazione nel caso di appartenenza dell'occhio al piano di terra. Studio di come appaiono rette parallele.
  • Passaggio dalla visione diretta alla rappresentazione su un quadro.
  • Raggio di fuga, Punto di fuga.
  • Raggio di fuga principale, Punto di fuga principale.
  • Raggio di distanza, Punto di distanza.
  • Linea dell'orizzonte come linea di punti di fuga.
  • Estensione del piano euclideo con i punti all'infinito e la retta all'infinito.
  • Linee orizzontali e verticali nella rappresentazione prospettica.
  • Il quadro e la prospettiva.

Laura Catastini

• Obiettivi disciplinari e formativi della lezione
Questa lezione contiene due punti cruciali:
• L'individuazione dell'unica invariante della trasformazione prospettica, l'allineamento. Si può descrivere concretamente le situazioni da definire con il prospettimetro, arrivando a una definizione condivisa.

• Il passaggio cognitivo-geometrico dalla visione diretta a quella prospettica. Nelle lezioni precedenti il focus degli argomenti proposti era "l'angolo visivo", strumento centrale che permette l'indagine matematica della trasformazione visiva. Ancora nel teorema 6 dell'Ottica siamo in questo contesto, la dimostrazione si fonda sulla misura dell'angolo che sottende i "segmenti di distanza" tra rette parallele. Nel passaggio alla visione prospettica e alla relativa geometria, è necessario spostare l'attenzione dall'angolo visivo al raggio visivo, che diventerà il nuovo focus cognitivo. Verrà così illustrato l'andamento dei raggi visivi che seguono rette parallele tra loro, il loro tendere allo stesso raggio di fuga giacente sul piano dell'orizzonte, oggetto limite di questo andamento. Si ricorderà come nella lezione precedente sia stata dimostrata l'equivalenza visiva (Lab. IV, pg 10) tra tutti i punti dello spazio colti da uno stesso raggio e verrà posta l'attenzione ai punti di intersezione dei raggi col piano del quadro, considerati come elementi rappresentanti di queste classi di equivalenza, e che saranno chiamati punti proiettati. Il tendere al proprio raggio di fuga dei raggi visivi che percorrono un fascio di rette parallele sul piano di terra (dominio), si concretizza così nel tendere di punti proiettati sul piano del quadro (codominio) a un determinato punto di fuga, che appare al finito. La ricerca del corrispondente elemento nel dominio di questo punto di fuga porterà a un modello mentale dinamico che supporterà adeguatamente la definizione di punto all'infinito e quella conseguente di retta all'infinito. L'uso del prospettimetro e di una cornice vuota che simula virtualmente il piano del quadro, lasciando però passare i "fili" visivi, aiuta la formazione di questi modelli mentali mediante il concreto operare dello studente con gli elementi in gioco, permettendo un gioco immaginativo geometricamente corretto – anche se ovviamente non esaustivo riguardo al problema – e assolutamente coerente con il successivo sviluppo della teoria in ambito universitario.

SVOLGIMENTO LABORATORIO

• L'allineamento

Sappiamo dalla geometria euclidea che più punti sono allineati se per essi passa una retta e che data una retta e un punto fuori di essa, esiste solo un piano che contenga la retta e il punto. Ne deriva che se guardiamo punti allineati tra loro, i raggi visivi che colgono questi punti giacciono tutti su uno stesso piano, insieme all'occhio (fig. 1).

Fig.1

Sappiamo anche, per esperienza diretta, che linee rette sono viste sempre come linee rette, che non cambiano forma secondo il punto di vista, come avviene per le altre forme geometriche.
Accade a volte, invece, che vediamo come allineati punti che non lo sono. Pensiamo alle costellazioni celesti, per esempio la costellazione di Orione. Se guardiamo Orione nel cielo notturno, (fig. 2) possiamo vederne al centro tre stelle in file, che paiono approssimativamente allineate. La costellazione rappresenta un guerriero e le tre stelle al centro la sua cintura (fig. 3).

Fig.2 e Fig.3

Le stelle che formano la cintura di Orione non sono allineate nello spazio, se si potessero unire con una linea, questa sarebbe una spezzata, perché rispetto a un osservatore sulla terra sono a profondità molto diverse tra loro, ma appaiono allineate perché i raggi visivi che le colgono stanno sullo stesso piano e perché i raggi visivi non sanno "calcolare" la profondità dei punti visti. (Ricordiamo che la visione diretta è "piatta" (vedi lez. 4 pg 12). Possiamo definire in modo rigoroso quando più punti appaiono allineati:
Definizione di "apparente allineamento": Dati tre o più punti A,B,C, … e un punto O, questi punti sono visti da O allineati se i raggi visivi OA, OB, OC, … giacciono su uno stesso piano.

La definizione di "apparente allineamento" ci permette di affermare che:
Comunque si guardino tre punti allineati, questi vengono visti sempre allineati, un segmento appare sempre rettilineo .
Questo fatto integra nel modello della geometria della visione il concetto di trasformazione e degli elementi in essa invarianti, creando i primi importanti elementi concettuali per lo studio e la comprensione della geometria proiettiva.

L'allineamento è; una proprietà invariante, che non dipende dal punto di vista. Il contrario non è; vero:
Se tre punti si vedono allineati, non è; detto che lo siano anche nella realtà, cioè; non è detto che giacciano realmente su una stessa retta.

• La visione di segmenti paralleli

La dimostrazione che indica Euclide per il teorema 6 e molto importante perche il procedimento seguito permette di ritrovare le prime tracce di quello che poi sara chiamato il punto di fuga. Euclide infatti dimostra che due rette parallele non vengono viste equidistanti ma anzi si vedono convergenti, poiche l'angolo visivo sotto il quale si vedono due punti equidistanti sulle due rette tende, come la dimostrazione accerta, a zero.
Ecco la necessaria:
Definizione di �"apparente convergenza�h": Due rette parallele sono viste convergere a un punto se, dato un qualunque angolo e, esiste un loro segmento di distanza che e visto sotto un angolo più piccolo di e
Egli considera separatamente il caso in cui il punto di vista O sta sul piano delle due rette e il caso in cui O sta su un piano diverso.
La dimostrazione, vista solo nel 1° caso, è essenzialmente identica a quella del teorema 5 e avviene considerando il segmento AB di distanza tra le due parallele a e b e mostrando come questo, allontanandosi dall'occhio, si veda progressivamente diminuire. Per questo i due segmenti non appaiono equidistanti, ma anzi appaiono convergenti.

La circostanza che l'occhio si trovi all'interno della striscia, non è, come per il teorema 5, necessaria alla nostra dimostrazione. Il teorema vale in ogni caso purché si aggiunga un'ipotesi, che molto opportunamente Euclide formula esplicitamente aggiungendo "visti da lontano", l'ipotesi cioè che il segmento di distanza AB sia abbastanza lontano dall'occhio. Qualunque sia la posizione dell'occhio, dentro o fuori la striscia compresa tra le due parallele, da un certo punto in poi, l'angolo con cui si vede il segmento di distanza AB diventa sempre più piccolo.

L 'animazione (Animazione V-1) che abbiamo realizzato permette di vedere come cambia l'angolo visivo mano a mano che il segmento di distanza AB si allontana dall'occhio. Notiamo che, quando l'occhio è fuori dalla striscia compresa tra le due rette parallele, l'angolo può anche aumentare inizialmente, ma, da un certo punto in poi, che può essere determinato con precisione, comincerà a decrescere tendendo a zero.
Il teorema viene simulato al prospettimetro, sul quale di possono misurare direttamente gli angoli sottesi dai segmenti di distanza tra due rette parallele, ed è dimostrato successivamente in maniera rigorosa, con l'appoggio di software di geometria dinamica. Si può darne infine una formulazione moderna, nell'enunciato seguente:
Teorema della convergenza dei segmenti paralleli – Segmenti paralleli, da un certo punto in poi, si vedono convergere a uno stesso punto. –

• Il punto all'infinito, il punto di fuga

Il contesto appena affrontato, ha in qualche modo rafforzato nell'intuizione il concetto di limite, già costruito in parte nella lezione 4, concetto estraneo alla preparazione degli studenti, ma indispensabile per il proseguimento della trattazione, anche se non formalizzato.
Sempre col prospettimetro, si fa ancora notare come raggi visivi che colgono una retta, nel piano di terra, ad esempio, salgono al raggio sul piano dell'orizzonte (raggio di fuga) parallelo alla retta di terra, e contemporaneamente "ruotano" verso destra o verso sinistra, a seconda dei casi (vedi lez.4), tendendo alla sovrapposizione col proprio raggio di fuga.

Il "salire" e il "ruotare" dei raggi visivi al loro raggio di fuga, nel percorrere una retta sul piano di terra, inclinata a 45° rispetto alla linea di terra

Dopo qualche esempio pratico viene aggiunto al prospettimetro una cornice vuota, a una distanza fissa dall'occhio, annunciando il passaggio dalla visione diretta a quella prospettica.
La cornice vuota permette il passaggio dei raggi (fili) visivi ma anche l'individuazione di una virtuale superficie piana da essa contenuta, e la possibile individuazione della intersezione dei raggi visivi con essa. I punti di intersezione saranno segnati sui fili con un pennarello.
Ecco una breve rassegna fotografica di alcuni momenti delle operazioni:

Si richiama l'attenzione alla posizione dell'occhio, all'altezza e alla sua distanza dalla cornice.

Si posiziona il foglio con i segmenti longitudinali e si fissano i "raggi" visivi

Usando la cornice e la riga si segnano i punti di intersezione col vetro virtuale dei raggi visivi che colgono i segmenti longitudinali. è stato segnato anche il punto di fuga principale, qui non visibile.

FOTO CON RAGAZZI

Alcune studentesse, discutendo tra loro, mimano l'andamento delle rette parallele al raggio principale e il tendere ad esso dei raggi visivi che corrono su tali rette

vista di profilo della situazione

Il tendere dei raggi visivi al raggio principale e il corrispondente tendere al punto principale dei punti proiettati sul piano della cornice, rende plausibile la domanda: cosa corrisponde al punto principale? le rette euclidee sono infinite solo potenzialmente, cioè sono prolungabili a piacere: dato un punto lontano a piacere posso trovarne uno ancora più lontano, e proprio questa proprietà rende impossibile determinare in esse un "punto all'infinito". Dagli studenti che osservano la situazione sul prospettimetro viene fuori inoltre quanto segue: il raggio visivo che percorre una retta, più si allontana dall'occhio più tende a sovrapporsi al raggio principale, qualunque sia la retta del fascio, il raggio principale quindi, vista la corrispondenza uno a uno tra raggi visivi e punti in un piano, dovrebbe cogliere un elemento infinitamente lontano comune a ogni retta, se esistesse. Proponiamo di aggiungere questo astratto elemento comune a un fascio di rette parallele al piano euclideo, creando in tal modo un oggetto matematico diverso, il piano proiettivo, che può portare interessanti e feconde informazioni sulla trasformazione visiva, diretta e inversa. Questo astratto elemento comune prende il nome di punto all'infinito, per rimanere nella trasformazione puntuale, e indica ciò che hanno di comune tra loro rette parallele: la direzione.

Ogni fascio di rette, parallele tra loro, avendo una propria direzione, ha quindi un proprio punto all'infinito, che viene colto dal raggio visivo con la stessa direzione. Si può allora pensare al piano proiettivo come contenente anche una retta all'infinito, insieme di tutte le direzioni. Si arriva, riassumendo la situazione, alle seguenti definizioni:

Punto all'infinito di un fascio di rette parallele: elemento comune a tutte le rette del fascio.
Punto di fuga di un fascio di rette parallele: punto corrispondente sul piano del quadro del punto all'infinito di tali rette
Punto di fuga principale: punto corrispondente sul piano del quadro del punto all'infinito di un fascio di rette longitudinali (parallele al piano di profondità e al piano di terra)

Si osserva infine come le direzioni di tutti i fasci di rette parallele contenuti in piani paralleli al piano di terra si proiettano in una linea sul quadro, anch'essa parallela alla linea di terra, contenente il punto di fuga principale. Tale linea si chiama linea dell'orizzonte.

Per esercizio si propone di individuare il punto di fuga di un fascio di rette inclinate a 45° sul piano di terra, con l'aiuto del prospettimetro. Con semplici considerazioni sulle proprietà del triangolo rettangolo con angoli a 45° si arriva a stabilire che il punto cercato si trova sulla linea dell'orizzonte, distante dal punto centrico quanto l'occhio dal piano del quadro. Questo punto di fuga particolare prende il nome di punto di distanza.

• Osservazione dei dipinti

Fig.4

Fig.5

Nel quadro di Duccio, i segmenti che rappresentano la travatura del solaio presumibilmente rappresentano segmenti paralleli. Se prolungati (fig. 6), si vedono incontrarsi in vari punti, non si vedono cioè convergere a uno stesso punto. La distribuzione dei raggi visivi che si produce guardando il quadro non coincide dunque con quella che si otterrebbe guardando a 4 segmenti orizzontali paralleli tra loro posti sopra il piano orizzontale.

Fig.6

Fig.7

Se analizziamo invece la stanza delle maschere (fig. 7) vediamo come tutti i segmenti paralleli all'asse del cono visivo siano disegnati convergenti al punto principale coerentemente col teorema 6

In un altro dipinto di Duccio da Buoninsegna, "L'ultima cena", (fig. 8) gli spigoli laterali del tavolo sembrano all'occhio dell'osservatore contrari a come dovrebbero apparire e le linee del soffitto, che si suppone squadrato con segmenti paralleli, non sono rappresentate coerentemente col teorema 6 di Euclide (fig. 9)

Fig.8

Fig.9

Ad un approccio empirico come è quello dei pittori medioevali, si contrappone nel Rinascimento una ricerca geometrica fondata sui principi della geometria della visione che tenda a dare alla prospettiva lo statuto di scienza. Se, ad esempio, analizziamo l' "Ultima cena" di Andrea del Castagno, contemporaneo di Leon Battista Alberti (fig. 10), notiamo un impianto prospettico nel quale le linee di profondità, parallele tra loro, sono correttamente rappresentate con linee convergenti verso quello che Alberti chiamerà il "punto centrico", cioè il punto di fuga principale (fig. 11). In questa analisi grafica si può notare anche un punto di fuga non appartenente alla linea dell'orizzonte, al quale convergono le linee formate dalle tegole del tetto, non parallelo al piano di terra ma inclinato rispetto ad esso. Questo punto di fuga non appartiene al dipinto ma è stato accuratamente utilizzato dal pittore.

Fig.10

Fig.11