I vettori in Matematica e Fisica

Responsabile scientifico: Prof. Franco Ghione
Collaboratori: Giovanni Casini, Laura Catastini

Nota
Questo laboratorio, comune al progetto lauree scientifiche per la matematica e per la Fisica all'Università di Roma "Tor Vergata", sarà progettato e tenuto da matematici e fisici con lo scopo di introdurre nuovi modelli algebrici a partire da idee fisiche utilizzando il classico laboratorio di fisica come strumento didattico per motivare le idee teoriche e la loro ricaduta in ambito fisico. Non solo, dunque, la matematica come strumento per la fisica, ma anche la fisica come strumento per la matematica.

Obiettivi del laboratorio
Oltre ai numeri, altre entità di natura più complessa possono manipolarsi con delle operazioni che assomigliano molto, per le proprietà che le caratterizzano, alle ordinarie operazioni dell'aritmetica elementare. Tra queste i vettori hanno grande importanza perchè prefigurano un paradigma che sarà poi di guida alle moderne indagini matematiche tendenti a classificare le diverse strutture algebriche. I vettori diventano oggetto matematico quando viene esplicitato il modo con il quale si combinano tra loro: fondamentalmente il modo in cui si sommano e si moltiplicano per uno scalare e questo avviene storicamente, in relazione ai suoi studi sulla statica prima ancora negli studi di Archimede sull'equilibrio delle figure piane. Il laboratorio ha lo scopo, partire dalla teoria archimedea, di esemplificare la natura di una teoria scientifica, di evidenziare il rapporto tra gli oggetti teorici e i corrispondenti oggetti concreti cui la teoria si riferisce di introdurre il concetto di distribuzione di massa le operazioni sulle distribuzioni e infine il concetto di vettore con le operazioni vattoriali. Il laboratorio prenderà in esame alcune grandezze vettoriali della Fisica per mostrare come le operazioni matematiche tra i vettori e le loro proprietà formali corrispondano a fatti fisici verificabili sperimentalmente. Lo scopo finale, se il contesto lo consentirà, è quello di introdurre assiomaticamente il concetto matematico di Spazio vettoriale e dimostrare in modo formale, a titolo esemplificativo, qualche semplice teorema e qualche suo utilizzo nella Fisica.

Alcuni aspetti significative del programma
Gli studi di Archimede sulla leva e sul centro di gravità.Algoritmi per il calcolo del baricentro ottenuti a partire dai postulati archimedei. La natura di una teoria scientifica. Il concetto di distribuzione di massa e operazioni sulle distribuzioni. Il concetto di vettore in relazione al concetto di forza. Vettore applicato e forza applicata in un punto. La legge di composizione delle forze e la somma di vettori. Proprietà algebriche delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare. Le combinazioni lineari di vettori: vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti. Le operazioni vettoriali di base vengono simulate con un sistema di carrucole e pesi e le proprietà formali delle operazioni realizzate fisicamente con tali sistemi. L’uso dei vettori per definire e calcolare il baricentro di un sistema di pesi disposti su una tavola rigida. Il baricentro di un segmento parabolico (seguendo Archimede). Calcolo approssimato del baricentro di una figura complessa con l'uso del computer. La velocità come vettore: esempi significativi sulla somma vettoriale di due velocità. Il concetto di lavoro e il prodotto scalare tra vettori. Proiezioni ortogonali, vettori ortogonali. Proprietà di bilinearità del prodotto scalare. Dimostrazioni di alcuni teoremi elementari di geometria euclidea (teorema di Pitagora, teoremi di Euclide, teorema di Talete, ecc) usando le proprietà dei vettori e delle loro operazioni. Il prodotto vettoriale e sue applicazioni al calcolo delle aree e al calcolo dei momenti in fisica. Esempi significativi. Il concetto di dimensione come massimo numero di vettori indipendenti. Il concetto di spazio vettoriale.

Metodologia didattica
La metodologia didattica è fortemente interattiva e di tipo laboratoriale. L'elaborazione dei concetti matematici nasce da un ambito fisico sperimentale attraverso la discussione con gli allievi e la manipolazione di meccanismi concreti appositamente realizzati per simulare le operazione tra distribuzioni e vettori (forze, velocità, colori). Le proprietà algebriche delle operazioni che via via vengono individuate e che saranno postulate nella teoria astratta degli spazi vettoriali, vengono verificate sia per via geometrica che per via sperimentale. L'approccio storico fa parte integrante della metodologia didattica e i riferimenti a Euclide, Archimede e Leonardo sono sviluppati a partire dalla lettura dei testi originali di questi autori. Su questo tema, ancora poco studiato, è possibile sviluppare una ricerca storico-didattica che veda la collaborazione di insegnati e universitari e che possa fare luce sul percorso che, da Archimede a Leonardo a Grassmann ha portato, con Peano, alla moderna Algebra lineare.