La probabilità con alcune sue applicazioni

Responsabile scientifico: Prof. Paolo Baldi
Collaboratori: Mario Abundo, Domenico Marinucci, Gianpaolo Scalia Tomba

Obiettivi del laboratorio
Il laboratorio si propone di introdurre gli studenti ai concetti di base della probabilità, mediante la modellizzazione di fenomeni reali emergenti nell'ambito delle scienze naturali e sociali. In particolare, dopo aver introdotto la nozione di evento e di probabilità, si cercherà di illustrare il ruolo determinante che la probabilità svolge nell’interpretazione di una vastissima gamma di fenomeni nelle scienze naturali e sociali. Particolare rilievo sarà dedicato al ruolo unificante svolto dai meccanismi probalistici nel generare leggi la cui applicabilità accomuna in maniera spesso sorprendente ambiti molto distanti.

Alcuni aspetti significative del programma
Si definirà rigorosamente e si illustrerà anche mediante esempi applicativi la relazione tra probabilità condizionata e probabilità incondizionata, spiegando come questi concetti possano chiarire apparenti paradossi che emergono anche in ambiti molto semplici. Ad esempio, sarà mostrato come aver osservato n teste consecutive nel lancio di monete regolari non modifichi la probabilità che al n+1-esimo lancio esca una ulteriore testa; si spiegherà come tale risultato non contraddica il fatto che osservare tutte teste in n+1 lanci sia molto meno probabile che osservare n teste ed una croce. Questi risultati saranno confrontati con simulazioni numeriche volte a confermarne la validità .
Si definiranno rigorosamente e si illustreranno anche mediante esempi applicativi le nozioni di probabilità a priori ed a posteriori, spiegando il loro ruolo nella risoluzione di innumerevoli paradossi in ambito scientifico, medico o giuridico. Un esempio classico è il seguente: è noto che per donne trentenni la frequenza di gravidanze affette da sindrome di Down è pari a circa 1/885. Supponiamo sia disponibile un test di gravidanza accurato al 99.5%, tale cioe' per cui il risultato del test sia "+" 199 volte su 200 se il nascituro è affetto da sindrome di Down, e sia "-" 199 su 200 se il nascituro non è affetto da sindrome di Down. Avendo osservato che il test ha ottenuto il valore "+" per una specifica donna di 30 anni, quale è la probabilità che il nascituro sia effettivamente Down? La risposta naturale (99.5%) è errata, mentre una semplice applicazione della formula di Bayes (la cui dimostrazione, che richiede strumenti assolutamente elementari, sarà fornita nel laboratorio) fornisce il risultato corretto, pari a circa il 18%.
Si passerà poi a mostrare come il calcolo combinatorio permetta di ricavare le principali leggi di probabilità discrete, discutendo esempi tratti in particolari dal gioco del poker e dal lotto. I risultati ottenuti saranno confrontati con simulazioni numeriche.
La nozione di valor medio e varianza sarà introdotta per una distribuzione discreta; è possibile sviluppare cenni introduttivi alle leggi dei grandi numeri, mostrando come il valor medio di una legge coincida con il limite empirico della media campionaria della corrispondente variabile aleatoria. La dimostrazione rigorosa della legge dei grandi numeri nei casi piu’ semplici richiede nozioni matematiche elementari e potrebbe quindi essere affrontata se il tempo lo permettesse.
Infine si potrebbero affrontare la legge gaussiana e il teorema del limite centrale, con un approccio intuitivo e volto a sottolinearne la regolarità con la quale questo modello si ritrovi in una vasta moltitudine di esempi (dal peso dei neonati alla nascita, a misure morfologiche delle foglie, agli errori di misura su dati astronomici, alle fluttuazioni di titoli in borsa). Questo argomento può essere considerato solo per studenti che abbiano una qualche familiarità con il concetto di funzione, con particolare riferimento alla funzione esponenziale.

Metodologia didattica
Le prime due lezioni partiranno da alcune osservazioni empiriche sorprendenti, come la regolarità che accomuna la legge di distribuzione di fenomeni naturali molto diversi tra loro. Questa regolarità sarà illustrata con il supporto di immagini e dati sperimentali da ambiti applicativi profondamente diversi. Il corso continuerà a svolgersi sviluppando nel massimo grado possibile il confronto tra dati reali, simulazioni numeriche e previsioni teoriche. Si terrà conto anche delle difficoltà cognitive specificatamente legate alla comprensione intuitiva del concetto stesso di probabilità .